Ութ քառակուսիների նույնություն

Կաղապար:Անաղբյուր Ութ քառակուսիների նույնություն, մաթեմատիկական թեորեմ այն մասին, որ Կաղապար:Շրջանակ ութ քառակուսիների գումարի արտադրյալը ութ քառակուսիների գումար է։ Կաղապար:Շրջանակի վերջ

Ապացույց

Իրոք.

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2} + a_{6}^{2} + a_{7}^{2} + a_{8}^{2}) \cdot (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2} + b_{5}^{2} + b_{6}^{2} + b_{7}^{2} + b_{8}^{2}) =

(a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2} - a_{3} b_{3} - a_{4} b_{4} - a_{5} b_{5} - a_{6} b_{6} - a_{7} b_{7} - a_{8} b_{8})^{2} +

(a_{2} b_{1} + a_{1} b_{2} + a_{4} b_{3} - a_{3} b_{4} + a_{6} b_{5} - a_{5} b_{6} - a_{8} b_{7} + a_{7} b_{8})^{2} +

(a_{3} b_{1} - a_{4} b_{2} + a_{1} b_{3} + a_{2} b_{4} + a_{7} b_{5} + a_{8} b_{6} - a_{5} b_{7} - a_{6} b_{8})^{2} +

(a_{4} b_{1} + a_{3} b_{2} - a_{2} b_{3} + a_{1} b_{4} + a_{8} b_{5} - a_{7} b_{6} + a_{6} b_{7} - a_{5} b_{8})^{2} +

(a_{5} b_{1} - a_{6} b_{2} - a_{7} b_{3} - a_{8} b_{4} + a_{1} b_{5} + a_{2} b_{6} + a_{3} b_{7} + a_{4} b_{8})^{2} +

(a_{6} b_{1} + a_{5} b_{2} - a_{8} b_{3} + a_{7} b_{4} - a_{2} b_{5} + a_{1} b_{6} - a_{4} b_{7} + a_{3} b_{8})^{2} +

(a_{7} b_{1} + a_{8} b_{2} + a_{5} b_{3} - a_{6} b_{4} - a_{3} b_{5} + a_{4} b_{6} + a_{1} b_{7} - a_{2} b_{8})^{2} +

(a_{8} b_{1} - a_{7} b_{2} + a_{6} b_{3} + a_{5} b_{4} - a_{4} b_{5} - a_{3} b_{6} + a_{2} b_{7} + a_{1} b_{8})^{2}

Պատմություն

Նույնությունն առաջին անգամ բացահայտել է դանիացի մաթեմատիկոս Ֆերդինանտ Դեգենը մոտ 1818 թվականին։ Այս հրաշալի նույնությունը ևս երկու անգամ վերաբացահայտվել է. սկզբում Թոմաս Գրեյվսի կողմից 1483 թվականին, ապա՝ Արթուր Կելիի կողմից 1845 թվականին։ Կելին դուրս բերեց այն, աշխատելով կվատերնիոնների ընդհանրացման վրա, դրանց անվանելով օկտոնիոններ։ Հանրահաշվական եզրույթներով նույնությունը նշանակում է, որ երկու օկտոնիոնների արտադրյալի նորման հավասար է նրանց նորմաների արտադրյալին. $‖ a b ‖ = ‖ a ‖ ‖ b ‖$ ։

Նման պնդումը ճիշտ է կվատերնիոնների («չորս քառակուսիների նույնություն»), կոմպլեքս թվերի, («երկու քառակուսիների նույնություն») և իրական թվերի համար։

1898 թվականին Ադոլֆ Գուրվիցն ապացուցեց, որ նմանատիպ նույնություն գոյություն չունի ոչ 16, ոչ այլ քառակուսիների թվի համար, բացառությամբ 1, 2, 4 և 8։

Արտաքին հղումներ

Degen’s eight-square identity Կաղապար:Ref-en

Ութ քառակուսիների նույնություն

Ապացույց

Պատմություն

Արտաքին հղումներ

Նավարկման ցանկ

Որոնում