Պուասոնի ինտեգրալ

Պուասոնի ինտեգրալ, մաթեմատիկական ինտեգրալ հավասարում։ Բանաձևային տեսքը`

$I=\int exp(-x^2)dx$ :

Պուասոնի ինտեգրալի իմաստն այն է, որ ինտեգրման միջակայքը անվերջ թվային առանցքն է։ Արգումենտի մեծ արժեքների դեպքում էքսպոնենտի արագ ձգումը զրոյի ապահովում է ինտեգրալի վերջավոր լինելը, չնայած ինտեգրման միջակայքի անվերջությանը։

Այն հավասար է $\sqrt{\pi }$:

Ապացույց

$\{\begin{array}{c}I=\int exp(-x^2)dx\\ I=\int exp(-y^2)dy\end{array}$ (1)

(1) հավասարումները ճիշտ են քանի որ որոշյալ ինտեգրալը կախված չէ ինտեգրման փոփոխականից։

Բազմապատկելով այս երկու ինտեգրալները, կստացվի՝

$I\cdot I=I^2=\iint exp(-(x^2+y^2))dxdy$ (2)

Դիտարկելով x-ն ու y-ն որպես կոորդինատական առանցքներ, կրկնակի ինտեգրալը կունենա անվերջ հարթությամբ ինտեգրման իմաստ և կարելի է հաշվել հարթության վրա այն կոորդինատային համակարգում, որը հարմար է տվյալ դեպքում։ Քանի որ էքսպոնենտի ցուցիչում գրված է բևեռային շառավղի արտահայտությունը բևեռային կոորդինատային համակարգում։

Գաուսյան ինտեգրալի հաշվման հեղինակ Սիմեոն Պուասոնը:

Անցնելով բևեռային համակարգի, (2) արտահայատությունը կգրվի հետևյալ կերպ՝

$I^2={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\int }_0^{2\pi }exp(-(r^2))rdrd\phi$ (3)

Այստեղ առաջին հերթին փոխարինվել է կոորդինատային համակարգի $x^2+y^2$ արտահայտությունը բևեռային համակարգի $r^2$-ով, երկրորդ՝ դեկարտյան կորդինատային համակարգի մակերեսի $dxdy$ միավորը՝ բևեռային $drd\phi$ -ով, երրորդը՝ փոխվել են ինտեգրման սահմանները՝ համաձայն նոր փոփոխականների։

Այստեղ ենթաինտեգրալային արտահայտությունը վերածվում է երկու արտահայտությունների արտադրյալի, որոնցից յուրաքանչյուրը կախված է միայն մեկ փոփոխականից՝

$I^2={\int }_0^{\mathrm{\infty }}exp(-(r^2))rdr{\int }_0^{2\pi }d\phi$ (4)

Այս անորոշ ինտեգրալները կարելի է հեշտորեն հաշվել։ Հարկ է ուշադրություն դարձնել, որ (4)-ի առաջին ինտեգրալը $rdr=-\left(\frac{1}{2}\right)d(-r^2)$ արտահայտության առկայությամբ տարբերվում է (1) ինտեգրալից, որտեղ դիֆերենցիալի և էքսպոնենտի տակ գտնվող արտահայտությունները չեն համընկնում։

(4)-ը կգրվի որպես՝

$I^2={\int }_0^{\mathrm{\infty }}dexp(-(r^2)){\int }_0^{2\pi }d\phi =-\left(\frac{1}{2}\right)(0-1)2\pi =\pi$

Ստացվում է Պուասոնի ինտեգրալի հետևյալ արտահայտությունը՝

$I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}exp(-x^2)dx=\sqrt{\pi }$:

Ընդհանրացում և վարիացիա

Պուասոնի ինտեգրալի հիմք և ընդհանրացում է համարվում Գաուսյան ինտերգրալը (նաև անվանում են Էյլեր-Պուասոնի ինտերգալ), որը գաուսյան ֆունկցիայի ինտեգրա է։

Վարիացիաներ

Մաստշտաբավորված գաուսյան ֆունկցիայի գաուսյան ինտերգրալները՝

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\alpha e^{-x^2/{\beta }^2}dx=\alpha \beta \sqrt{\pi }$,

և բազմաչափ գաուսյան ինտեգրալները՝

$\int \alpha e^{-(x^2/{\beta }_1^2+y^2/{\beta }_2^2+z^2/{\beta }_3^2+\dots )}dxdydz\dots =\alpha {\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3\dots \sqrt{{\pi }^n}$,

պազրորեն բերվում են սովորական միաչափ ինտեգրալների (ինտեգրումը կատարվում է ողջ տարածությունով)։

Վերոնշյալը վերաբերվում է նաև հետևյալ տեսքի բազմաչափ ինտեգրալներին՝

$\int e^{xMx}d{x}_{1}d{x}_{2}d{x}_3\dots d{x}_n=\sqrt{\frac{{\pi }^n}{|\det (M)|}}$, որտեղ x-ը վեկտոր է, իսկ M-ը՝ բացասական սեփական թվերով սիմետրիկ մատրից։

Գործնական խնդիրներում (օրինակ` գաուսյան ֆունկցիայի ֆուրյե-ձևափոխության ժամանակ), հաճախ ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a{x}^2+bx+c}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{\frac{b^2}{4a}+c},$

Պատմություն

Լեոնարդ էյլեր

Առաջին անգամ գաուսյան ինտեգրալը հայտաբերել է Էյլերը 1729 թվականին, հետո Պուասոնը գտել է հաշվման պարզ մեթոդ։

Այդ պատճառով այն անվանվում է էյլեր-պուասոնի ինտեգրալ։

Գրականություն

• Վ. Ֆ. Մորոզով, «Պուասոնի ինտեգրալը և նրա ածանցյալները», Երևանի համալսարանի հրատարակչություն, Երևան 2002։