Ռոլլի թեորեմ

Ռոլլի թեորեմը սահմանվում է հետևյալ կերպ՝

Դիցուք $[a,b]$ հատվածի վրա որոշված $f(x)$ իրականարժեք ֆունկցիան անընդհատ է այդ հատվածի վրա, ծայրակետերում ընդունում է նույն արժեքը՝ $f(a)=f(b)$, և ածանցելի է $(a,b)$ միջակայքում։ Այդ դեպքում $\mathrm{\exists }c\in (a,b)$ այնպիսին որ $f^{\prime }(c)=0$։

Ապացույցի տրամաբանությունը

Ապացույցի համար կիրառվում է Ֆերմայի թեորեմը՝ պնդում այն մասին, որ ածանցելի ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը իր էքստրեմումում հավասար է 0-ի։ Ըստ Վայերշտրասի թեորեմի՝ հատվածում անընդհատ ֆունկցիան ընդունում է իր մեծագույն և փոքրագույն արժեքները։ Հետևաբար մնում է ցույց տալ որ այդ արժեքներից գոնե մեկին նա հասնում է հատվածի ներքին կետում։ Եվ իրոք, եթե ֆունկցիան երկու արժեքներն էլ ընդուներ ծայրակետերում, դա կնշանակեր որ այն ամբողջ հատվածի վրա ընդունում է նույն արժեք, քանի որ իր մեծագույն և փոքրագույն արժեքները հավասար են։ Իսկ այդ դեպքում միջակայքի բոլոր կետերում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար կլիներ 0-ի։ Եթե երկու էքստրեմալ արժեքներից որևէ մեկին ֆունկցիան չհասնի ծայրակետում, ապա հենց այդ կետի արգումենտն (աբսցիսը) էլ կընդունենք որպես с, և այդ կետում էլ ըստ Ֆերմայի թեորեմի ֆունկցիան կունենա 0-ական ածանցյալ։

Կիրառություններ

Ռոլլի թեորեմը հատկապես էական է Լագրանժի միջին արժեքի թեորեմը ապացուցելու համար։ Մասնավորապես Ռոլլի թեորեմի հանդիսանում է վերջինի մասնավոր դեպք։ Մյուս կողմից Ռոլլի թեորեմը կիրառվում է իր ավելի ընդհանրացված տարբերակի ապացույցի մեջ։ Այն որոշ դեպքերում կիրառում են Թեյլորի թեորեմում մնացորդային անդամի Պեանոյի տեսքի լինելու ապացույցում։

Ծանոթագրություններ

1. Ю.В.Прохоров, Математический Энциклопедический словарь։ Москва 1988.
2. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том I.