Սահմանների ցանկ

Սա ֆունկցիաների սահմանների (մաթեմատիկա) ցանկ է։ Նշանակումներ՝ a և b հաստատուն մեծություններ են, x փոփոխական մեծություն է։

Սովորական ֆունկցիաների սահմաններ

$\text{Եթե }\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L_1\text{ և }\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L_2\text{ ուրեմն։}$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L_1\pm L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)g(x)]=L_1\times L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}\text{ եթե }{L}_2\ne 0$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^n=L_1^n\text{ եթե }n\text{-ը դրական ամբողջ թիվ է}$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{\frac{1}{n}}=L_1^{\frac{1}{n}}\text{ եթե }n\text{-ը դրական զույգ թիվ է, ուրեմն՝ }{L}_1>0$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\text{ եթե }\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0\text{ կամ }\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=\underset{x\to c}{\lim }|f(x)|=+\mathrm{\infty }$ (Լոպիտալի օրենքը)

Կանոնավոր ֆունկցիաներ

$\underset{x\to c}{\lim }a=a$

$\underset{x\to c}{\lim }x=c$

$\underset{x\to c}{\lim }ax+b=ac+b$

$\underset{x\to c}{\lim }{x}^r=c^r\text{ եթե }r\text{-ը դրական ամբողջ թիվ է}$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^r}=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^r}=\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\infty },& \text{եթե }r\text{-ը կենտ է}\\ +\mathrm{\infty },& \text{եթե }r\text{ -ը զույգ է}\end{array}$

Լոգարիթմական և աստիճանացույցական ֆունկցիաներ

$\text{Եթե }a>1$, ուրեմն՝

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\mathrm{\infty }$

Եռանկյունաչափության ֆունկցիաներ

$\underset{x\to a}{\lim }\sin x=\sin a$

$\underset{x\to a}{\lim }\cos x=\cos a$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\to n^{\pm }}{\lim }\tan (\pi x+\frac{\pi }{2})=\mp \mathrm{\infty }\text{ ցանկացած ամբողջ n-ի համար}$

Անսահամանության մոտ

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }N/x=0\text{ ցանկացած իրական N-ի համար}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x/N=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>0\\ \text{գոյություն չունի},& N=0\\ -\mathrm{\infty },& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^N=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>0\\ 1,& N=0\\ 0,& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}^x=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>1\\ 1,& N=1\\ 0,& N<1\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}^{-x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }1/N^x=0\text{ ցանկացած }N>1\text{ համար}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{N}=\{\begin{array}{cc}1,& N>0\\ 0,& N=0\\ \text{գոյություն չունի},& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[N]{x}=\mathrm{\infty }\text{ ցանկացած }N>0\text{ համար}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\log x=-\mathrm{\infty }$

Աղբյուրներ

• Կաղապար:Citation
• Apostol, Tom M., Mathematical Analysis, 2nd ed. Addison–Wesley, 1974. Կաղապար:Isbn
• Կաղապար:Cite web