Օղակ (մաթեմատիկա)

Դիցուք՝ $G$ բազմության վրա տրված են երկու գործողություն, որոնցից առաջինն անվանենք "գումարում", երկրորդը՝ "բազմապատկում"։

Համապատասխանաբար օգտվենք " + " և " $\cdot$ " նշաններից։

Սահմանում

Ռիխարդ Դեդեքինդը` օղակների տեսության հիմնադիրներից մեկը։

$($ $G,$ $+,$ $\cdot$ $)$ համակարգը կոչվում է օղակ, եթե՝

1. $($ $G,$ $+$ $)$ համակարգը տեղափոխելի խումբ է,

2. $($ $a$ $\cdot$ $b$ $)$ $\cdot$ $c$ = $a$ $\cdot$ $($ $b$ $\cdot$ $c$ $)$ (բազմապատկումն օժտված է զուգորդականությամբ),

3․ $($ $a$ $+$ $b$ $)$ $\cdot$ $c$ = $a$ $\cdot$ $c$ + $b$ $\cdot$ $c$ և $a$ $\cdot$ $($ $b$ $+$ $c$ $)$ = $a$ $\cdot$ $b$ + $a$ $\cdot$ $c$ (բազմապատկումն օժտված է բաշխականությամբ գումարման նկատմամբ)

Եթե տեղի ունի նաեւ լրացուցիչ $a$ $\cdot$ $b$ = $b$ $\cdot$ $a$ պայմանը, ապա օղակը կոչվում է տեղափոխելի (աբելյան)։

Եթե $\mathrm{\exists }1\in G:\mathrm{\forall }a\in Ga\cdot 1=1\cdot a=a$, ապա օղակը կոչվում է միավորով, $1$-ն էլ՝ նրա միավորը։

Օղակներ են, օրինակ, ամբողջ թվերի $\mathbb{Z}$ բազմությունը, մնացքների $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ բազմությունը։

Տեղափոխելի օղակը կոչվում է դաշտ, եթե ցանկացած ոչ զրոյական տարր ունի հակադարձ ըստ բազմապատկման, այսինքն՝
$\mathrm{\forall }a\ne 0\mathrm{\exists }b:ab=ba=1$

Դաշտեր են, օրինակ, $\mathbb{Q},ℝ,ℂ,\mathbb{Q}[\sqrt{3}],\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ բազմությունները պարզ $p$-երի դեպքում։

Հատկություններ

Առանց ապացույցի բերենք որոշ հայտնի դրույթներ՝ օղակների և դաշտերի վերաբերյալ՝
ա) Եթե օղակի մի քանի տարրերի արտադրյալի մեջ գոնե մի արտադրիչը 0 է, ապա այդ արտադրյալը հավասար է զրոյի։ Այնինչ հակառակ պնդումն, ընդհանրապես ասած, ճիշտ չէ, այսինքն՝ հնարավոր է, որ$a\ne 0$ և $b\ne 0$, բայց $ab=0$։ Այս պարագայում $a,b$ կոչվում են զրոյի բաժանարարներ։