Դիտել Գրադիենտ էջի վիքիկոդը

'''Գրադիենտ''' ({{lang-lat|gradiens}}, սեռական հոլով՝ gradientis- քայլող, աճող) <math>\varphi</math> [[սկալյար]] ֆունկցիայի ամենաարագ փոփոխության (աճի) ուղղությունը ցույց տվող [[վեկտոր]]։ 
Օրինակ, եթե <math>\varphi</math>-ն երկրի մակերևույթի բարձրությունն է [[ծովի մակարդակ]]ից, ապա <math>\varphi</math>-ի գրադիենտը մակերևույթի յուրաքանչյուր կետում ցույց կտա ամենամեծ դիքության ուղղությունը, և դիքությունը կբնութագրվի այդ արժեքով։ 
[[Մաթեմատիկա]]կան տեսակետից գրադիենտը [[վեկտորական տարածություն|վեկտորական տարածության]] մեջ որոշված սկալյար [[ֆունկցիա]]յի [[ածանցյալ]] է։ 
[[Տերմին]]ը առաջին անգամ գործածվել է օդերևութաբանության մեջ, իսկ [[մաթեմատիկա]]յում ներմուծել է [[Ջեյմս Մաքսվել]]ը 1873 թ.-ին<ref name="Ն">''grad'' նշանակումը նույնպես առաջարկել է Մաքսվելը։</ref>։ 
Ստանդարտ նշանակումն է՝
      
:<math>\mathrm{grad}\,\varphi</math>, 
իսկ օգտագործելով [[նաբլա օպերատոր|նաբլան]]՝
:<math>\nabla \varphi</math> :

== Սահմանում ==
[[Եռաչափ տարածության]] մեջ <math>x, y, z</math> փոփոխականների <math>\varphi = \varphi(x,y,z)</math> սկայլար ֆունկցիայի գրադիենտ է կոչվում 
: <math>\frac {\partial \varphi} {\partial x}, \frac {\partial \varphi} {\partial y}, \frac {\partial \varphi} {\partial z}</math>
բաղադրիչներով վեկտորական դաշտը։

Կամ, օգտագործելով [[Դեկարտյան կոորդինատների համակարգ|ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատներիի]]  <math>\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z</math> միավոր վեկտորները՝

: <math>\mathrm{grad}\,\varphi = \nabla \varphi = \frac {\partial \varphi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \varphi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \varphi} {\partial z} \vec e_z</math>։

Եթե <math>\varphi</math>-ն <math>n</math> փոփոխականների ֆունկցիա է՝ <math>x_1,\;\ldots,\;x_n</math>, ապա նրա գրադիենտ է կոչվում

: <math>\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_1},\;\ldots,\;\frac{\partial \varphi}{\partial x_n}\right)</math>

<math>n</math>-չափանի վեկտորը, որի բաղադրիչները հավասար են <math>\varphi</math>-ի [[մասնակի ածանցյալ]]ներին ըստ բոլոր արգումենտների։

* Գրադիենտի վեկտորի չափականությունը, այսպիսով, որոշվում է այն տարածության չափականությամբ, որտեղ տրված է սկալյար դաշտը։ 
* Գրադիենտի օպերատոր (<math>\mathrm{grad}</math> կամ <math>\nabla</math>) է կոչվում այն օպերատորը, որի սկալյար ֆունկցիայի (դաշտի) վրա տալիս է այդ ֆունկցիայի (դաշտի) գրադիենտը։ Այս օպերատորը հաճախ կրճատ ասում են «գրադիենտ»։

Ցանկացած <math>f</math> սկալյար ֆունկցիայի գրադիենտի իմաստն այն է, որ <math>d\mathbf{x}</math> անվերջ փոքր վեկտորական շեղում ունեցող նրա ածանցյալը տալիս է այդ ֆունկցիայի [[լրիվ դիֆերենցիալ]]ը՝ <math>f</math> ֆունկցիայի որոշման տարածության մեջ կոորդինատների համապատասխան փոփոխության դեպքում, այսինքն՝ <math>f</math>-ի փոփոխության գծային մասը <math>d\mathbf{x}</math> շեղման դեպքում։

[[Ինտեգրալ]] տեսքով գրադիենտն արտահայտվում է որպես
:<math>\nabla\varphi=\lim\limits_{V \to 0}\frac{1}{V}\left(\iint\limits_{S} \varphi\,d\mathbf{s}\right)</math>
որտեղ <math>S</math>-ը <math>V</math> ծավալն ընդգրկող փակ մակերևույթ է, <math>ds</math>-ը՝ այդ մակերևույթի [[նորմալ]] տարրը։

== Ֆիզիկայում ==
Ֆիզիկայի տարբեր բնագավառներում կիրառվում է տարբեր ֆիզիկական դաշտերի գրադիենտի հասկացությունը։

Օրինակ, [[էլեկտրաստատիկ դաշտ]]ի [[էլեկտրական դաշտի լարվածություն|լարվածությունը]] [[էլեկտրաստատիկ պոտենցիալ]]ի մինուս գրադիենտն է, [[գրավիտացիոն դաշտ]]ի լարվածությունը (ազատ անկման արագացումը) գրավիտացիայի դասական տեսության մեջ գրավիտացիոնալ պոտենցիալի մինուս գրադինետն է։ Դասական մեխանիկայում [[կոնսերվատիվ ուժեր]]ը [[պոտենցիալ էներգիա]]յի մինուս գրադինետ են։

== Տես նաև ==
* [[Դաշտի տեսություն]]

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}

== Գրականություն ==
* Морс Ф. M., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1, M., 1958.
* Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.
{{ՀՍՀ|հատոր=3|էջ=195}}{{Արտաքին հղումներ}}

[[Կատեգորիա:Դիֆերենցիալ հաշիվ]]
[[Կատեգորիա:Վեկտորական անալիզ]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկական ֆիզիկա]]