Գրադիենտ

Գրադիենտ (Կաղապար:Lang-lat, սեռական հոլով՝ gradientis- քայլող, աճող) $\phi$ սկալյար ֆունկցիայի ամենաարագ փոփոխության (աճի) ուղղությունը ցույց տվող վեկտոր։ Օրինակ, եթե $\phi$-ն երկրի մակերևույթի բարձրությունն է ծովի մակարդակից, ապա $\phi$-ի գրադիենտը մակերևույթի յուրաքանչյուր կետում ցույց կտա ամենամեծ դիքության ուղղությունը, և դիքությունը կբնութագրվի այդ արժեքով։ Մաթեմատիկական տեսակետից գրադիենտը վեկտորական տարածության մեջ որոշված սկալյար ֆունկցիայի ածանցյալ է։ Տերմինը առաջին անգամ գործածվել է օդերևութաբանության մեջ, իսկ մաթեմատիկայում ներմուծել է Ջեյմս Մաքսվելը 1873 թ.-ին։ Ստանդարտ նշանակումն է՝

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\phi$,

իսկ օգտագործելով նաբլան՝

$\mathrm{\nabla }\phi$ :

Սահմանում

Եռաչափ տարածության մեջ $x,y,z$ փոփոխականների $\phi =\phi (x,y,z)$ սկայլար ֆունկցիայի գրադիենտ է կոչվում

$\frac{\partial \phi }{\partial x},\frac{\partial \phi }{\partial y},\frac{\partial \phi }{\partial z}$

բաղադրիչներով վեկտորական դաշտը։

Կամ, օգտագործելով ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատներիի ${\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z$ միավոր վեկտորները՝

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\phi =\mathrm{\nabla }\phi =\frac{\partial \phi }{\partial x}{\overrightarrow{e}}_x+\frac{\partial \phi }{\partial y}{\overrightarrow{e}}_y+\frac{\partial \phi }{\partial z}{\overrightarrow{e}}_z$։

Եթե $\phi$-ն $n$ փոփոխականների ֆունկցիա է՝ $x_1,\dots ,x_n$, ապա նրա գրադիենտ է կոչվում

$(\frac{\partial \phi }{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial \phi }{\partial x_n})$

$n$-չափանի վեկտորը, որի բաղադրիչները հավասար են $\phi$-ի մասնակի ածանցյալներին ըստ բոլոր արգումենտների։

• Գրադիենտի վեկտորի չափականությունը, այսպիսով, որոշվում է այն տարածության չափականությամբ, որտեղ տրված է սկալյար դաշտը։
• Գրադիենտի օպերատոր ($\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ կամ $\mathrm{\nabla }$) է կոչվում այն օպերատորը, որի սկալյար ֆունկցիայի (դաշտի) վրա տալիս է այդ ֆունկցիայի (դաշտի) գրադիենտը։ Այս օպերատորը հաճախ կրճատ ասում են «գրադիենտ»։

Ցանկացած $f$ սկալյար ֆունկցիայի գրադիենտի իմաստն այն է, որ $d𝐱$ անվերջ փոքր վեկտորական շեղում ունեցող նրա ածանցյալը տալիս է այդ ֆունկցիայի լրիվ դիֆերենցիալը՝ $f$ ֆունկցիայի որոշման տարածության մեջ կոորդինատների համապատասխան փոփոխության դեպքում, այսինքն՝ $f$-ի փոփոխության գծային մասը $d𝐱$ շեղման դեպքում։

Ինտեգրալ տեսքով գրադիենտն արտահայտվում է որպես

$\mathrm{\nabla }\phi =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{V\to 0}\frac{1}{V}\left(\underset{S}{\iint }\phi d𝐬\right)$

որտեղ $S$-ը $V$ ծավալն ընդգրկող փակ մակերևույթ է, $ds$-ը՝ այդ մակերևույթի նորմալ տարրը։

Ֆիզիկայում

Ֆիզիկայի տարբեր բնագավառներում կիրառվում է տարբեր ֆիզիկական դաշտերի գրադիենտի հասկացությունը։

Օրինակ, էլեկտրաստատիկ դաշտի լարվածությունը էլեկտրաստատիկ պոտենցիալի մինուս գրադիենտն է, գրավիտացիոն դաշտի լարվածությունը (ազատ անկման արագացումը) գրավիտացիայի դասական տեսության մեջ գրավիտացիոնալ պոտենցիալի մինուս գրադինետն է։ Դասական մեխանիկայում կոնսերվատիվ ուժերը պոտենցիալ էներգիայի մինուս գրադինետ են։

Տես նաև

• Դաշտի տեսություն

Գրականություն

• Морс Ф. M., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1, M., 1958.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.