Նաբլա օպերատոր

Նաբլա օպերատոր (Համիլտոնի օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, վեկտորական դիֆֆերենցիալ օպերատոր, որի բաղադրիչները, ըստ կոորդինատների, մասնակի ածանցյալներ են։ Նշանակվում է $\mathrm{\nabla }$ (նաբլա) սիմվոլով։

Էվկլիդյան եռաչափ տարածության մեջ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատական համակարգում նաբլա օպերատորը ներկայացվում է հետևյալ կերպ՝

$\mathrm{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{k}$

որտեղ ${\displaystyle }$$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ -ն համապատասխանաբար  $x,y,z$ առանցքների միավոր վեկտորներն են։

Օգտագործվում է նաև հետևյալ գրառման ձևը՝

$\mathrm{\nabla }=\{\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\}$

Նաբլա օպերատորի միջոցով բնական ճանապարհով ներկայացվում են վեկտորական անալիզի հիմնական հետևյալ գործողությունները՝ grad (գրադիենտ), div (դիվերգենցիա), rot (ռոտոր), ինչպես նաև Լապլասի օպերատորը։

Ներկայացված ձևով լայնորեն օգտագործվում է ֆիզիկայում և մաթեմատիկայում։

n-չափանի նաբլա օպերատոր հասկացության տակ հասկանում են n-չափանի տարածության մեջ գտնվող հետևյալ վեկտորը՝

$\mathrm{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x_1}{\overrightarrow{e}}_1+\frac{\partial }{\partial x_2}{\overrightarrow{e}}_2+...+\frac{\partial }{\partial x_n}{\overrightarrow{e}}_n$, որտեղ ${\displaystyle }$${\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2,...,{\overrightarrow{e}}_n$ վեկտորները համապատասխանաբար $x_1,x_2,...,x_n$առանցքների միավոր վեկտորներն են։

Երբեմն նաբլա օպերատորի վերևում դրվում է սլաք՝ $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$, օպերատորի վեկտորական բնույթն ընդգծելու համար։ Իմաստային առումով այն ոչնչով չի տարբերվում ${\displaystyle }$

• Երբեմն (երբ խոսքը վերաբերում է սկալյար ֆունկցիաների հետ աշխատանքին), նաբլա օպերատորը անվանում են գրադիենտի օպերատոր:
• Դիտողություն՝ ֆիզիկայում մեր ժամանակներում Համիլտոնի օպերատոր անվանումը աշխատում են չօգտագործել, հատկապես քվանտային ֆիզիկայում, երբ հնարավոր է նաբլա օպերատորը շփոթել քվանտային համիլտոնյանի հետ, որը, ի տարբերություն դասական ֆիզիկայի, քվանտային ֆիզիկայում ունի օպերատորային բնույթ։

Նաբլա օպերատորի հատկությունները

Այս օպերատորը իմաստ է ստանում, երբ գործածվում է սկալյար կամ վեկտորական ֆունկցիաների նկատմամբ։

Եթե սկալյարապես բազմապատկենք $\mathrm{\nabla }$-ն և $\varphi$-ն, կստացվի հետևյալը՝

$\mathrm{\nabla }\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\overrightarrow{k}=\mathrm{grad}\varphi$

որը իրենից ներկայացնում է $\varphi$ ֆունկցիայի գրադիենտը։

Եթե $\mathrm{\nabla }$-ն և $\overrightarrow{a}$ վեկտորը սկալյարապես բազմապատկենք, կստացվի հետևյալը՝

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{a}={\mathrm{\nabla }}_x{a}_x+{\mathrm{\nabla }}_y{a}_y+{\mathrm{\nabla }}_z{a}_z=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}=\mathrm{div}\overrightarrow{a}$,

այսինքն $\overrightarrow{a}$ վեկտորի դիվերգենցիան։

Եթե $\mathrm{\nabla }$-ն և $\overrightarrow{a}$ վեկտորը վեկտորապես բազմապատկենք, կստացվի $\overrightarrow{a}$ վեկտորի ռոտորը՝

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{a}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ a_x& a_y& a_z\end{array}\right|=(\frac{\partial a_z}{\partial y}-\frac{\partial a_y}{\partial z})\overrightarrow{i}+(\frac{\partial a_x}{\partial z}-\frac{\partial a_z}{\partial x})\overrightarrow{j}+(\frac{\partial a_y}{\partial x}-\frac{\partial a_x}{\partial y})\overrightarrow{k}=\mathrm{rot}\overrightarrow{a}$

• Դիտողություն՝ երբեմն  $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{a}$-ի փոխարեն գրում են $(\mathrm{\nabla },\overrightarrow{a})$, իսկ $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{a}$-ի փոխարեն՝ $[\mathrm{\nabla },\overrightarrow{a}]$:

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }={\mathrm{\nabla }}^2$-ը սկալյար օպերատոր է, որն անվանում են Լապլասի օպերատոր։ Այն նշվում է նաև$\mathrm{\Delta }$ սիմվոլով։ Լապլասի օպերատորը դեկարտյան կոորդինատային համակարգում գրվում է հետևյալ կերպ՝

$\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$:

Քանի որ նաբլա օպերատորը դիֆֆերենցիալ գործողություն է, կիրառման ժամանակ անհրաժեշտ է պահպանել ոչ միայն վեկտորական հանրահաշվի, այլև դիֆֆերենցման օրենքները։

Օրինակ՝

$\mathrm{grad}(\varphi \psi )=\mathrm{\nabla }(\varphi \psi )=\psi \mathrm{\nabla }\varphi +\varphi \mathrm{\nabla }\psi =\psi \mathrm{grad}\varphi +\varphi \mathrm{grad}\psi$

$\mathrm{div}(\mathrm{grad}\varphi )=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\varphi )=(\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla })\varphi ={\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\mathrm{\Delta }\varphi$:

Այսինքն՝ ածանցյալ արտահայտությունը, որը կախված է երկու դաշտերից արտահայտությունների գումար է, որոնցից յուրաքանչյուրում դիֆֆերնցման է ենթարկվում դաշտերից միայն մեկը։

Կապված այն բանի հետ, թե նաբլա օպերատորը դաշտերից որի վրա է ազդում, ընդունված է համարել, որ յուրաքանչյուր օպերատոր գործում է իրենից աջ գտնվող արտահայտության վրա և չի ազդում իրենից ձախ գտնվող որևէ արտահայտության վրա։

Եթե անհրաժեշտ է, որ օպերատորը գործի իրենից ձախ գտնվող դաշտի վրա, որևէ կերպ նշում են համապատասխան դաշտը, օրինակ ուղղահայաց սլաք են դնում՝

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v}=\stackrel{\downarrow }{\overrightarrow{v}}\cdot \mathrm{\nabla }$

Գրառման նման ձևը հաճախ օգտագործվում է միջանկյալ ձևափոխությունների մեջ։ Անհարմարություններից խուսափելու համար վերջնական պատասխանում աշխատում են ազատվել ուղղահայաց սլաքից։

Երկրորդ կարգի օպերատորներ

Քանի որ կան վեկտորապես և սկալյարապես բազմապատկման տարբեր ձևեր կան նաբլա օպերատորի միջոցով հնարավոր է լինում դիֆֆերենցման տարբեր ձևեր ստանալ։ Վեկտորական և սկալյարապես բազմապատկումների շնորհիվ ստացվել են 2 -րդ կարգի հետևյալ 7 արտահայտությունները՝

$\mathrm{div}(\mathrm{grad}f)=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }f)$

$\mathrm{rot}(\mathrm{grad}f)=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }f)$

$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f$

$\mathrm{grad}(\mathrm{div}\overrightarrow{v})=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v})$

$\mathrm{div}(\mathrm{rot}\overrightarrow{v})=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v})$

$\mathrm{rot}(\mathrm{rot}\overrightarrow{v})=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v})$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}={\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{v}$

Բավականաչափ հարթ դաշտերի համար (երկու անգամ անընդհատ դիֆֆերենցելի) այդ օպերատորները անկախ չեն։

Նրանցից երկուսը միշտ հավասար են 0-ի`

$\mathrm{rot}(\mathrm{grad}f)=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }f)=(\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla })f=0$

$\mathrm{div}(\mathrm{rot}\overrightarrow{v})=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v})=(\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla })\cdot \overrightarrow{v}=0$

Երկուսը միշտ համընկնում են՝

$\mathrm{div}(\mathrm{grad}f)=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }f)=(\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla })f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\Delta }f$

Մնացած երեքը կապված են հետևյալ արտահայտությամբ՝

$(\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v}))=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v})-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{v}$

Եվս մեկը կարելի է ներկայացնել թենզորական ձևափոխության միջոցով՝

$\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v})=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\otimes \overrightarrow{v})$

Պատմություն

Վ. Ռ. Համիլտոնը

1853 թվականին Վ. Ռ. Համիլտոնը մտցրեց այդ օպերատորը և որպես սիմվոլ մտածեց $\mathrm{\nabla }$ նշանը, որը շուռ տված Δ (դելտա) տառն է։ Համիլտոնն այն անվանել էր «ատլեդ» (դելտա բառը տառերի հակառակ հերթականությամբ), սակայն ավելի ուշ անգլիացի գիտնականները, որոնց թվում նաև Պ. Գ Հեվիսայդը սկսեցին այդ սիմվոլը անվանել «նաբլա», քանի որ այն արտաքնապես նման էր հին սիրիական նաբլա կոչվող երաժշտական գործիքին։ Օպերատորն անվանվեց Համիլտոնի օպերատոր կամ նաբլա օպերատոր։

Կարծիք կա, որ $\mathrm{\nabla }$-ն փյունիկերեն լեզվի տառ է, որի առաջացումը կապված է տավիղի նմանվող երաժշտական գործիքի հետ։ «ναβλα»-ն (նաբլա) հին հուներենում նշանակում է «տավիղ»։

Օրինակ

1. $z=xy,\mathrm{\nabla }z=\frac{\partial z}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial z}{\partial y}\overrightarrow{j}=y\overrightarrow{i}+x\overrightarrow{j}$
2. $z=30y{x}^3,\mathrm{\nabla }z=\frac{\partial z}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial z}{\partial y}\overrightarrow{j}=90y{x}^2\overrightarrow{i}+30x^3\overrightarrow{j}$

Տես նաև

• Նաբլա օպերատորը տարբեր կոորդինատական համակարգերում