Լապլասի օպերատոր

Կաղապար:Անաղբյուր Լապլասի օպերատոր (լապլասիան, դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա։ Նշանակվում է$\mathrm{\Delta }$ տառով։

n-չափանի տարածությունում $F$ ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝

$(\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}+\dots +\frac{{\partial }^2}{\partial x_n^2})F$:

Լապլասի օպերատորը համարժեք է գրադիենտի և դիվերգենցիայի հաջորդական կիրառմանը՝ $\mathrm{\Delta }=\mathrm{div}\mathrm{grad}$:

Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }={\mathrm{\nabla }}^2$:

Լապլասի օպերատորը սիմետրիկ է։

Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում

Եռաչափ տարածության մեջ կորագիծ օրթոգոնալ $q_1,q_2,q_3$ կոորդինատներով գրվում է հետևյալ կերպ՝

$\mathrm{\Delta }f(q_1,q_2,q_3)=\mathrm{div}\mathrm{grad}f(q_1,q_2,q_3)=$

$=\frac{1}{H_1{H}_2{H}_3}[\frac{\partial }{\partial q_1}\left(\frac{H_2{H}_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1}\right)+\frac{\partial }{\partial q_2}\left(\frac{H_1{H}_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2}\right)+\frac{\partial }{\partial q_3}\left(\frac{H_1{H}_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3}\right)],$

որտեղ $H_i$-ն Լամեի գործակիցն է։

Գլանային կոորդինատներ

Գլանային կոորդինատներով`

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}$

Սֆերիկ կոորդինատներ

Սֆերիկ կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}$

կամ

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}\left(rf\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}.$

Այն դեպքում, երբ$f=f(r)$ n-չափանի տարածության մեջ է՝

$\mathrm{\Delta }f=\frac{d^{2}f}{d{r}^2}+\frac{n-1}{r}\frac{df}{dr}.$

Պարաբոլական կոորդինատներ

Պարաբոլական կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}[\frac{1}{\sigma }\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma }\right)+\frac{1}{\tau }\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\tau \frac{\partial f}{\partial \tau }\right)]+\frac{1}{{\sigma }^2{\tau }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}$

Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ

Գլանային պարաբոլական կոորդինատական համակարգում՝

$\mathrm{\Delta }F(u,v,z)=\frac{1}{c^2(u^2+v^2)}[\frac{{\partial }^{2}F}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^{2}F}{\partial v^2}]+\frac{{\partial }^{2}F}{\partial z^2}.$

Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և Ռիմանի տարածություն

Դիցուք հարթ բազմաձև $X$-ի վրա տրված է կոորդինատների լոկալ համակարգ և $g_{ij}$-ն ռիմանյան մետրիկական թենզոր է $X$-ի վրա, այսինքն մետրիկան ունի հետևյալ տեսքը՝

$d{s}^2=\sum _{i,j=1}^n{g}_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$ .

$g^{ij}$-ով նշանակենք $(g_{ij}{)}^{-1}$ մատրիցի էլեմենտները՝

$g=\det g_{ij}=(\det g^{ij}{)}^{-1}$.

$F^i$ տրված կոորդինատներով որոշվող $F$ վեկտորական դաշտի դիվերգենցիան (որը ներկայացնում է $\sum _i{F}^i\frac{\partial }{\partial x^i}$ -ին կարգի դիֆֆերնցման օպերատորը) X բազմաձևի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

$\mathrm{div}F=\frac{1}{\sqrt{g}}\sum _{i=1}^n\frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}{F}^i)$,

իսկ f ֆունկցիայի գրադիենտի բաղադրիչները որոշվում են հետևյալ կերպ՝

$(\mathrm{\nabla }f{)}^j=\sum _{i=1}^n{g}^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^i}.$

Լապլաս-Բելտրամի օպերատորը $X$-ի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

$\mathrm{\Delta }f=\mathrm{div}(\mathrm{\nabla }f)=\frac{1}{\sqrt{g}}\sum _{i=1}^n\frac{\partial }{\partial x^i}\left(\sqrt{g}\sum _{k=1}^n{g}^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right).$

$\mathrm{\Delta }f$-ը սկալյար է, այսինքն չի փոփոխվում կոորդինատների ձևափոխության ժամանակ։

Կիրառություն

Լապլլասի օպերատորի օգնությամբ հեշտորեն գրվում է Լապլասի, Պուասոնի և ալիքային հավասարումները։

Ֆիզիկայում Լապլասի օպերատորը հաճախակի օգտագործվում է էլեկտրադինամիկայում, քվանտային մեխանիկայում։

Վարիացիա և ընդհանրացում

• Դալամբերի օպերատոր՝ հիպերբոլական հավասարումների համար Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում։ ներառում է ըստ ժամանակի երկրորդ կարգի ածանցյալ։
• Լապլասի վեկտորական օպերատոր՝ վեկտորական արգումենտի առկայության դեպքում Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում։

Տես նաև

• Նաբլա օպերատոր
• Լապլասի հավասարում
• Հարմոնիկ ֆունկցիա
• Կիրխհոֆի մատրից

Արտաքին հղումներ

• MathWorld description of Laplacian