Ածանցյալ

Ֆունկցիայի գրաֆիկը և ածանցյալը այդ կետում

Ֆունկցիայի ածանցյալ, ֆունկցիայի հետազոտման տարր, դիֆերենցիալ հաշվի հիմնական հասկացություններից, որ բնութագրում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը տվյալ կետում։

Ածանցյալը ֆունկցիայի աճի և արգումենտի աճի հարաբերության սահմանն է, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի։ Ածանցյալի հաշվման գործողությունը կոչվում է դիֆերենցում, իսկ հակադարձ գործողությունը՝ ինտեգրում։

Ֆունկցիայի ածանցելիություն

• $f$ ֆունկցիան ածանցելի է $X_0$ կետում, եթե կամայական $h_n$ անվերջ փոքրի համար զուգամետ է $\frac{f(x_0+2c-2_{(}2f-2n)h_n)-f(x_0)}{h_n}$ հաջորդականությունը։
• Եթե $f$ ֆունկցիան ածանցելի է $X_0$ կետում, ապա $\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}$ հաջորդականության սահմանն անվանում են $f$ ֆունկցիայի ածանցյալ $x_0$ կետում և նշանակում $f^{\prime }(x_0)$ (կարդացվում է՝ էֆ շտրիխ $x_0$)

$f^{\prime }(x_0)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}$։

Դիցուք $D$-ն այն բազմությունն է, որին պատկանող կետերում $y=f(x)$ ֆունկցիան ածանցելի է։ Այդ բազմության յուրաքանչյուր $x$ կետի համապատասխանեցնելով $f^{\prime }(x)$ թիվը, կստանանք $D$ բազմության վրա որոշված ֆունկցիա։ Այդ ֆունկցիան անվանում են $y=f(x)$ ֆունկցիայի ածանցյալ և նշանակում՝ $f^{\prime }$ կամ $y^{\prime }$։

Ածանցյալի ֆիզիկական իմաստները

• $s(t)$ օրենքով ուղղագիծ շարժվող մարմնի $V(t)$ արագությունը ժամանակի $t$ պահին հավասար է $s(t)$ ֆունկցիայի ածանցյալին՝

$V(t)=s^{\prime }(t)$։

• Եթե ուղղագիծ շարժվող մարմնի արագությունը փոխվում է $V(t)$ օրենքով, ապա նրա $a(t)$ արագացումը ժամանակի $t$ պահին հավասար է ֆունկցիայի ածանցյալին՝

$a(t)=V^{\prime }(t)$

Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը

$f(x)=a$ հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած $x_0$ կետի և կամայական $h_n$ անվերջ փոքրի համար՝

$\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}=\frac{a-a}{h_n}=0:$

Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը զրոն է։

Գծային ֆունկցիայի ածանցյալը

Կաղապար:Hider $f(x)=kx+b$ գծային ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած $x_0$ կետի և կամայական $h_n$ անվերջ փոքրի համար՝

$\frac{f(x_0+h_n)-f(x)}{h_n}=\frac{k(x+h_n)+b-kx-b}{h_n}=k:$

Հետևաբար, $(kx+b{)}^{\prime }=k$։

Քառակուսային ֆունկցիայի ածանցյալը

Կաղապար:Hider $f(x)=x^2$ ֆունկցիայի ածանցյալը՝

$\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}=\frac{(x+h_n{)}^2-x^2}{h_n}=2x+h_n\to 2x:$

Հետևաբար՝ $(x^2{)}^{\prime }=2x$։

Հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը

Կաղապար:Hider $f(x)=\frac{1}{x}$ ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր $x$ կետում՝

$\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}=\frac{\frac{1}{x+h_n}-\frac{1}{x}}{h_n}=-\frac{1}{x(x+h_n)}:$

Եթե $h_n$-ն անվերջ փոքր է, ապա $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(x+h_n)=x$։ Կիրառելով զուգամետ հաջորդականությունների քանորդի սահմանի վերաբերյալ թեորեմը, կստանք՝

$\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\to -\frac{1}{x^2}:$

$f(x)=\frac{1}{x}$ ֆունկցիան ածանցելի է իր որոշման տիրույթի բոլոր կետերում և $\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}:$

Ցուցչային ֆունկցիայի ածանցյալը

Կաղապար:Hider $f(x)=\sqrt{x}$ ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր $x$ կետում՝

$\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}=\frac{\sqrt{x+h_n}-\sqrt{x}}{h_n}=\frac{(\sqrt{x+h_n}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h_n}+\sqrt{x})}{h_n(\sqrt{x+h_n}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h_n}+\sqrt{x}}:$

Հաշվի առնելով, որ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{(x+h_n)}=\sqrt{x}$, ստանում ենք՝

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x+h_n)-f(x)}{h_n}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$։

Հետևաբար $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$։

Անընդհատ ֆունկցիայի թեորեմը

• Եթե ֆունկցիան ածանցելի է որևէ կետում, ապա այդ կետում ֆունկցիան անընհատ է։

Ապացուցում

Եթե $f$ ֆունկցիան ածանցելի է $x_0$ կետում, ապա կամայական $h_n$ անվերջ փոքրի համար

${\beta }_n=\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}-f^{\prime }(x_0)$ հաջորդականությունն անվերջ փոքր է։ Այստեղից ստանում ենք ՝

$f(x_0+h_n)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot h_n+{\beta }_n\cdot h_n$։

Քանի որ $h_n$ և ${\beta }_n$ հաջորդականություններն անվերջ փոքր են. ուրեմն $f(x_0+h_n)-f(x_0)$ հաջորդականությունը նույնպես անվերջ փոքր է։ Հետևաբար՝ $f$ ֆունկցիան $x_0$ կետում անընդհատ է։

Գումարի ածանցման կանոնը

• Եթե $f$ և $g$ ֆունկցիաները ածանցելի են որևէ կետում, իսկ $k$-ն հաստատուն է, ապա $k\cdot f,f+g$ և $f-g$ ֆունկցիաները նույնպես ածանցելի են այդ կետում, ընդ որում՝

$(k\cdot f{)}^{\prime }=k\cdot f^{\prime },(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime },(f-g{)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }$։

Ապացուցում

Դիցուք $f$ և $g$ ֆունկցիաներն ածանցելի են $x$ կետում, և $h_n$-ը կամայական անվերջ փոքր է։ Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների հատկություններից, ստանում ենք՝

$\frac{(f(x+h_n)+g(x+h_n))-(f(x)+g(x))}{h_n}=\frac{f(x+h_n)-f(x)}{h_n}+\frac{g(x+h_n)-g(x)}{h_n}\to f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x):$

Թեորեմի ֆիզիկական մեկնաբանությունը

Դիցուք գետափնյա նավամատույցից միաժամանակ սկսում են շարժվել լաստն ու շոգենավը։ Ենթադրենք ժամանակի կամայական $t$ պահին շոգենավի հեռավորությունը լաստից $s_1(t)$ է, իսկ լաստի հեռավորությունը նավամատույցից՝ $s_2(t)$ է։ Դա կնշանակի, որ շոգենավը լաստից հեռանում է $V_1(t)=s{\text{'}}_1(t)$արագությամբ, իսկ լաստը նավամատույցից՝ $V_2(t)=s{\text{'}}_2(t)$ արագությամբ։ Պարզ է, որ եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա $t$ պահին շոգենավի հեռավորությունը նավամատույցից կլինի՝$s(t)=s_1(t)+s_2(t)$, իսկ եթե շարժվեն հակառակ ուղղություններով, ապա՝ $s(t)=s_1(t)-s_2(t)$։ Հետևաբար, եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա շոգենավը նավամատույցից կհեռանա

$V(t)=s^{\prime }(t)=s{\text{'}}_1(t)+s{\text{'}}_2(t)=V_1(t)+V_2(t)$

արագությամբ, իսկ հակառակ ուղղություններով շարժվելու դեպքում՝

$V(t)=s^{\prime }(t)=s{\text{'}}_1(t)-s{\text{'}}_2(t)=V_1(t)-V_2(t)$

Արտադրյալի ածանցման կանոնը

• Եթե $f$ և $g$ ֆունկցիաներն ածանցելի են որևէ կետում, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև $f\cdot g$ ֆունկցիան, ընդ որում՝

$(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }$։

Ապացուցում

Դիցուք $f$ և $g$ ֆունկցիաներն ածանցելի են $x$ կետում, և $h_n$-ը կամայական անվերջ փոքր է։ Հեշտ է ստուգել, որ

$f(x+h_n)\cdot g(x+h_n)-f(x)\cdot g(x)=g(x+h_n)\cdot [f(x+h_n)-f(x)]+f(x)\cdot [g(x+h_n)-g(x)]:$

Քանի որ $g$ ֆունկցիան $x$ կետում ածանցելի է, ուրեմն այն անընդհատ է $x$ կետում։ Հետևաբար, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }g(x+h_n)=g(x):$ Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների գումարի և արտադրյալի վերաբերյալ թեորեմից՝ երկու առնչություններից ստանում ենք.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x+h_n)\cdot g(x+h_n)-f(x)\cdot g(x)}{h_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }g(x+h_n)\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x+h_n)-f(x)}{h_n}+f(x)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{g(x+h_n)-g(x)}{h_n}=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x):$

Քանորդի ածանցման կանոնը

Կաղապար:Hider Թեորեմ 1։ Եթե $g$ ֆունկցիան ածանցելի է $x$ կետում և $g(x)\ne 0$, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև $\frac{1}{g}$ ֆունկցիան, ընդ որում

$\left(\frac{1}{g}\right)=-\frac{g^{\prime }}{g^2}$։

Ապացուցում

Դիցուք $h_n$-ն անվերջ փոքր է։ Պարզ ձևափոխություններով ստանում ենք՝

$\frac{\frac{1}{g(x+h_n)}-\frac{1}{g(x)}}{h_n}=-\frac{1}{g(x)g(x+h_n)}\cdot \frac{g(x+h_n)-g(x)}{h_n}:$

Քանի որ $g$ ֆունկցիան ածանցելի և հետևաբար՝ անընդհատ է $x$ կետում, ուստի

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{g(x+h_n)-g(x)}{h_n}=g^{\prime }(x),\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }g(x+h_n)=g(x):$

Թեորեմ 2։ Եթե $f$ և $g$ ֆունկցիաններն ածանցելի են $x$ կետում և $g(x)\ne 0$, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև $\frac{f}{g}$ ֆունկցիան, ընդ որում

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}$։

Ապացուցում

Օգտվելով նախորդ թեորեմից և արտադրյալի ածանցման կանոնից, ստանում ենք՝

$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=(f(x)\cdot \frac{1}{g(x)})=f^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\left(\frac{1}{g(x)}\right)=\frac{f^{\prime }(x)}{g(x)}+f(x)(-\frac{g^{\prime }(x)}{g^2(x)})=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}:$

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը

Կաղապար:Hider Թեորեմ 1։ Եթե $t=g(x)$ ֆունկցիան ածանցելի է $x_0$ կետում, իսկ $y=f(t)$ ֆունկցիան՝ $t_0=g(x_0)$ կետում, ապա $F=f\circ g$ ֆունկցիան ածանցելի է $x_0$ կետում, և

$F^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(g(x_0))\cdot g^{\prime }(x_0):$

Թեորեմ 2։ Եթե $f$ ֆունկցիան ածանցելի է, ապա $F(x)=f(kx+b)$ ֆունկցիան նույնպես ածանցելի է, և

$F^{\prime }(x)=k\cdot f^{\prime }(kx+b):$

Ապացուցում

Դիցուք $h_n$-ն անվերջ փոքր է։ Այդ դեպքում անվերջ փոքր է նաև $k\cdot h_n$ հաջորդականությունը, ուստի

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{F(x+h_n)-F(x)}{h_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(kx+k{h}_n+b)-f(kx+b)}{h_n}=k\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(kx+b+k{h}_n)-f(kx+b)}{k{h}_n}=k\cdot f^{\prime }(kx+b):$

Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները

• $(x^a{)}^{\prime }=a\cdot x^{a-1}$
• $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
• $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
• $(\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
• $(\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$
• $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
• $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$
• $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
• $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$
• $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
• $(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

Ծանոթագրություններ

Կաղապար:ԾանցանկՄաթեմատիկական անալիզի հիմունքները։ Հեղինակ Ֆիխտենգոլց [1]Կաղապար:Չաշխատող արտաքին հղումԿաղապար:Արտաքին հղումներ