Դաշտի տեսություն

Դաշտի տեսություն մաթեմատիկայում, վեկտորական և սկալյար դաշտերի հատկություններն ուսումնասիրող մաթեմատիկական տեսություն։

Նկարագրություն

Սկալյար և վեկտորական դաշտեր

Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի մի շարք խնդիրների ուսումնասիրությունը հանգեցվում է տարածության (կամ հարթության) տիրույթների ուսումնասիրման, որոնց յուրաքանչյուր Р կետին համապատասխանության մեջ է դրվում $u(P)$ թիվ (ջերմաստիճան, ճնշում, խտություն և ալն) կամ $\overrightarrow{a}(P)$ վեկտոր (արագություն, ուժ և այլն)։ Այդպիսի տիրույթները, իրենց մեջ որոշված $u(P)$ կամ $\overrightarrow{a}(P)$ ֆունկցիաներով, համապատասխանաբար կոչվում են սկալյար կամ վեկտորական դաշտեր։ Սկալյար դաշտի տրումը համարժեք է։$u(x,y,z)$

թվային ֆունկցիայի, իսկ վեկտորական դաշտինը՝ առանցքների վրա

$\overrightarrow{a}(P)$-ի $a_x,a_y,a_z$

պրոյեկցիաների տրմանը։

Հաստատուն և փոփոխական դաշտեր

Եթե $u(P)$, $\overrightarrow{a}(P)$ ֆունկցիաները ժամանակից կախված չեն, ապա դաշտը կոչվում է ստացիոնար (հաստատուն), հակառակ դեպքում՝ ոչ ստացիոնար (փոփոխական)։

Ոլորտային և գլանային դաշտեր

Սկալյար դաշտերը պատկերվում են $u(P)=const$ հավասարումով որոշվող մակարդակի մակերևույթների կամ մակարդակի գծերի օգնությամբ։ Եթե գոյություն ունի այնպիսի O կետ (Н առանցք), որ $u(P)$-ն կախված է միայն ОР (P-ից Н) հեռավորությունից, ապա դաշտը կոչվում է կենտրոնական կամ ոլորտային (առանցքային կամ գլանային)։ Ոլորտային և գլանային դաշտերի մակարդակի մակերևույթները համապատասխանաբար ոլորտներ և գլաններ են։

Դաշտի գրադիենտ

Եթե $u(x,y,z)$-ը դիֆերենցելի Է, ապա սկալյար դաշտի յուրաքանչյուր կետի համապատասխանում է u-ի ամենաարագ աճի ուղղությունը ցույց տվող վեկտոր (գրադիենտ, Կաղապար:Lang-en), որի երկարությունը հավասար է այդ ուղղությամբ u-ի աճման արագությանը։

Վեկտորական մակերևույթներ

Վեկտորական դաշտերի նկարագրման համար կիրառվում են գծեր, որոնք իրենց յուրաքանչյուր $P$ կետում ունեն $\overrightarrow{a}(P)$ վեկտորի ուղղությունը, այսինքն բավարարում են դիֆերենցիալ

$\frac{dx}{a_x}=\frac{dy}{a_y}=\frac{dz}{a_z}$

հավասարումների համակարգին։ Այդ գծերով կազմված մակերևույթը կոչվում է վեկտորական մակերևույթ և բնութագրվում է նրանով, որ յուրաքանչյուր $\overrightarrow{a}(P)$ վեկտոր ընկած է $P$ կետում մակերևույթի շոշափող հարթության վրա։ Փակ կորը հատող վեկտորական գծերով կազմված մակերևույթը կոչվում է վեկտորական խողովակ։ Դաշտը, կախված տարածության մեջ վեկտորների ունեցած դիրքից, կոչվում է հարթ (վեկտորներն ընկած են մի հարթության մեջ), հարթ-զուգահեռ (հարթության միևնույն կետին պրոյեկտվող բոլոր կետերում դաշտի վեկտորներն իրար հավասար են և զուգահեռ այդ հարթությանը), կենտրոնական (վեկտորներն ընկած են միևնույն կետով անցնող ուղիղների վրա) և այլն։

Վեկտորական դաշտի հոսք

Վեկտորական դաշտի հոսք Տ մակերևույթով կոչվում է

$\underset{S}{\iint }{a}_{n}ds=\underset{S}{\iint }{a}_{x}dydz+a_{y}dsdx+a_{z}dxdy$

ինտեգրալը, որտեղ $a_n$-y $\overrightarrow{a}(P)$ վեկտորի պրոյեկցիան է մակերևույթի՝ իր ուղղությունն անընդհատորեն փոփոխող նորմալի ուղղության վրա։

Վեկտորական դաշտի ցիրկուլյացիա

Վեկտորական դաշտի շրջանառություն (ցիրկուլյացիա) $L$ փակ կորով կոչվում է

${\oint }_L{a}_{r}ds={\oint }_L{a}_{x}dx+a_{y}dy+a_{z}dz$

ինտեգրալը, որտեղ $a_r$-ը $\overrightarrow{a}(P)$-ի պրոյեկցիան է L կորի շոշափողի ուղղության վրա։

Վեկտորական դաշտի դիվերգենցիա և ռոտոր

Վեկտորական դաշտի փոփոխությունը որևէ կետի շրջակայքում առաջին մոտավորությամբ բնութագրվում է երկու մեծությունով՝ սկալյար, որը կոչվում է դաշտի տարամիտություն (դիվերգենցիա, $div\overrightarrow{a}$) և վեկտորական, որը կոչվում է դաշտի մրրիկ (ռոտոր, $rot\overrightarrow{a}$)։

Պոտենցիալ (ոչ մրրկային) և սոլենոիդալ վեկտորական դաշտեր

Վեկտորական դաշտը կոչվում է պոտենցիալ՝ ոչ մրրկային (բնութագրվում է $rot\overrightarrow{a}=0$ պայմանով), եթե

$\overrightarrow{a}(P)=gradu(P)$։

Վեկտորական դաշտը կոչվում է սոլենոիդալ (բնութագրվում է $div\overrightarrow{a}=0$ պայմանով), եթե

$\overrightarrow{a}(P)=rot\overrightarrow{b}(P)$։

Այս դեպքում $\overrightarrow{b}(P)$-ն կոչվում է $\overrightarrow{a}(P)$ դաշտի վեկտոր պոտենցիալ։

Վեկտորական դաշտի գաղափարն այլ տարածություններում

Սկալյար և վեկտորական դաշտերի գաղափարները դիտարկվում են նաև ո-չափանի էվկլիդեսյան տարածության մեջ։

Գրականություն

• Кочин Н․ Е․, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 7 изд․, М․, 1951
• Дубнов Я․ С․, Основы векторного исчисления, ч․1, 4 изд․, М․—Л․, 1950, ч․ 2, М․, 1952