Դիտել Եռանկյունաչափություն էջի վիքիկոդը

'''Եռանկյունաչափություն''' ({{lang-gr|τρίγωνον}} (եռանկյուն) և {{lang-gr|μέτρεο}} (չափում եմ), այսինքն, եռանկյան չափումները), մաթեմատիկայի բաժին, որում ուսումնասիրվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն ու դրանց կիրառումը երկրաչափությունում<ref>Սովետական հանրագիտարանային բառարան. Մ.: Սովետական հանրագիտարան, 1982.</ref>։ Այս տերմինն առաջին անգամ ի հայտ է եկել [[1595]] թվականին, որպես գերմանացի մաթեմատիկոս Բարտոլոմեուս Պիտիկսուսի ([[1561]]—[[1613]]) գրքի վերնագիր, իսկ ինքը գիտությունը, դեռևս հին ժամանակներում օգտագործվել է [[աստղագիտություն|աստղագիտական]], [[Ճարտարապետություն|ճարտարապետական]], գեոդեզիական (գիտություն, որն ուսումնասիրում է Երկիր մոլորակի ձևն ու չափերը) չափումների ժամանակ։

Եռանկյունաչափական հաշվարկներն օգտագործվում են [[Երկրաչափություն|երկրաչափության]], [[ֆիզիկա]]յի, ինժեներական գործի փաստացի բոլոր բաժիններում։ Հատկապես մեծ նշանակություն ունի տրիանգուլյացիայի տեխնիկան, որը հնարավորություն է տալիս [[Աստղագիտություն|աստղագիտության]] մեջ չափել ոչ հեռու գտնվող [[աստղեր]]ի հեռավորությունը ուղեցույցների միջև, վերահսկել արբանյակների ճիշտ տեղորոշումը։ Ինչպես նաև, ուշագրավ է եռանկյունաչափության կիրառումը այնպիսի բնագավառներում, ինչպիսիք են երաժշտության տեսություն, ակուստիկա, [[օպտիկա]], ֆինանսական շուկաների անալիզ, էկեկտրոնիկա, հավանականության տեսություն, վիճակագրություն, կենսաբանություն, բժշկություն (ներառյալ ուլտրաձայնային հետազոտությունը (ՈւՁՀ) և համակարգչային տոմոգրաֆիան), դեղագործություն, [[քիմիա]], [[թվերի տեսություն]], (և, որպես հետևանք, կրիպտոգրաֆիա), [[սեյսմոլոգիա]], [[օդերևութաբանություն]], օվկիանոսագիտություն, քարտեզագիտություն, էլեկտրոնային տեխնիկա, մեքենաշինություն, համակարգչային գրաֆիկա, բյուրեղագիտություն։

== Պատմություն==
{{Հիմնական|Եռանկյունաչափության պատմություն}}

[[Շումեր]]յան աստղագետները ուսումնասիրել են անկյան չափումը, շրջանները 360 աստիճանների բաժանելով<ref>Aaboe, Asger (2001). ''Episodes from the Early History of Astronomy''. New York: Springer. {{isbn|0-387-95136-9}}</ref>։ Նրանք, հետագայում նաև բաբելոնացիները ուսումնասիրել են նման եռանկյունների կողմերի հարաբերակցությունը և հայտնաբերել այդ հարաբերակցության որոշ հատկություններ, սակայն այն՝ եռանկյունների կողմերն ու անկյունները գտնելու համակարգված մեթոդի չվերածեցին։ Հին [[նուբիացիներ]]ը նմանատիպ մեթոդ էին օգտագործում<ref>{{cite book|author=Otto Neugebauer |title=A history of ancient mathematical astronomy. 1 |url=https://books.google.com/books?id=vO5FCVIxz2YC&pg=PA744 |year=1975 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-06995-9 |page=744}}</ref>։

Մ․թ․ա․ 3-րդ դարում հույն մաթեմատիկոսները՝ [[Էվկլիդես]], [[Արքիմեդես]], և այլք ուսումնասիրում էին շրջանների լարերի և ներգծված անկյունների հատկությունները և ժամանակակից եռանկյունաչափական բանաձևերին համարժեք թեորեմներ ապացուցեցին, չնայած դրանք ներկայացրել էին ավելի շուտ երկրաչափորեն, քան հանրահաշվորեն։  Մ․թ․ա․ 140 թվականին [[Հիպարքոս]]ը ([[Նիկիա]]յից, Փոքր Ասիա) լարերի առաջին աղյուսակն է ներկայացրել, ժամանակակից եռանկյունաչափական աղյուսակների անալոգը և դրանք օգտագործել է եռանկյունաչափական խնդիրներ և գնդային եռանկյունաչափության խնդիրներ լուծելու համար<ref>Thurston, [https://books.google.com/books?id=rNpHjqxQQ9oC&pg=PA235#v=onepage&q&f=false pp. 235–236].</ref>։ Մ.թ.ա. 2-րդ դարում, հունա-եգիպտական աստղագետ [[Պտղոմեոս]]ը (Ալեքսանդրիայից, Եգիպտոս) իր առաջին գրքի 11-րդ գլխում կառուցեց եռանկյունաչափական մանրամասն աղյուսակներ<ref name=toomer>{{Citation|title=Ptolemy's Almagest|last1=Toomer|first1=G.|authorlink=Gerald J. Toomer|publisher=Princeton University Press|year= 1998|isbn =978-0-691-00260-6}}</ref>։ Պտղոմեոսն իր եռանհյունաչափական ֆունկցիաները սահմանելու համար օգտագործում է լարի երկարությունը, որոնք քիչ ենտարբերվում սինուսից, որ օգտագործում ենք այսօր<ref>Thurston, [https://books.google.com/books?id=rNpHjqxQQ9oC&pg=PA239#v=onepage&q&f=false pp. 239–243].</ref>։ Մինչ ավելի մանրամասն աղյուսակների ստեղծումը դարեր անցան, իսկ Պտղոմեոսի տրակտատը հետագա 1200 տարիներին շարունակում էր օգտագործվել աստղագիտական եռանկյունաչափական հաշվարկներում միջին դարերի Բյուզանդիայում, արաբամուսուլմանական, և, հետագայում նաև Եվրոպական աշխարհում։

Սինուսի ժամանակակից ընկալումը առաջին անգամ հաստատվել է ''[[Surya Siddhanta]]''-ում, իսկ դրա հատկությունները հետագայում փաստագրվել են 5-րդ դարում հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ Արյաբհատայի կողմից<ref>Boyer p. 215</ref>։ Այս հունական և հնդկական աշծատանքները թարգմանվել և զարգացվել են միջնադարյան մուսուլման մաթեմատիկոսների կողմից։ Արդեն 10-րդ դարում մուսուլման մաթեմատիկոսները օգտագործում էին բոլոր վեց եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, դրանց արժեքների աղյուսակներ էին կազմում և կիրառում գնդաձև երկրաչափության խնդիրներում<ref>Gingerich, Owen. "Islamic astronomy." Scientific American 254.4 (1986): 74-83</ref><ref name="Willers2018">{{cite book|author=Michael Willers|title=Armchair Algebra: Everything You Need to Know From Integers To Equations|url=https://books.google.com/books?id=45R2DwAAQBAJ&pg=PA37|date=2018 թ․ փետրվարի 13|publisher=Book Sales|isbn=978-0-7858-3595-0|page=37}}</ref>։ Պարսիկ էրուդիտ [[Նասր ալ-Դին Թուսի]]ն նկարագրվում էր որպես եռանկյունաչափության, որպես առանձին մաթեմատիկական ճյուղի, ստեղծող<ref>{{Cite web|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Tusi_Nasir.html|title=Al-Tusi_Nasir biography|website=[[MacTutor History of Mathematics archive]]|access-date=2018 թ․ օգոստոսի 5|quote=One of al-Tusi's most important mathematical contributions was the creation of trigonometry as a mathematical discipline in its own right rather than as just a tool for astronomical applications. In Treatise on the quadrilateral al-Tusi gave the first extant exposition of the whole system of plane and spherical trigonometry. This work is really the first in history on trigonometry as an independent branch of pure mathematics and the first in which all six cases for a right-angled spherical triangle are set forth.}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.cambridge.org/core/books/the-cambridge-history-of-science/islamic-mathematics/4BF4D143150C0013552902EE270AF9C2|title=the cambridge history of science|last=|first=|date=October 2013|website=|archive-url=|archive-date=|url-status= |access-date=}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.iranicaonline.org/articles/tusi-nasir-al-din-bio|title=ṬUSI, NAṢIR-AL-DIN i. Biography – Encyclopaedia Iranica|last=electricpulp.com|website=www.iranicaonline.org|language=en|access-date=2018 թ․ օգոստոսի 5|quote=His major contribution in mathematics (Nasr, 1996, pp. 208-214) is said to be in trigonometry, which for the first time was compiled by him as a new discipline in its own right. Spherical trigonometry also owes its development to his efforts, and this includes the concept of the six fundamental formulas for the solution of spherical right-angled triangles.}}</ref>։ Նասր ալ-Դին Թուսին առաջինն էր, որ եռանկյունաչափությունը դիտարկեց որպես աստղագիտությունից անկախ մաթեմատիկական բնագավառ և նա ջնդձև եռանկյունաչափությունը զարգացրեց ներկայիս ձևաչափին<ref name="Britannica">{{cite web |title=trigonometry |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/605281/trigonometry |publisher=[[Encyclopædia Britannica]] |accessdate=2008 թ․ հուլիսի 21}}</ref>։ Նա գնդաձև եռանկյունաչափության մեջ թվարկել էր ուղղանկյուն եռանկյան վեց տարբեր դեպքեր և իր ''On the Sector Figure'' աշխատանքում սահմանեց հարթ և գնդաձև եռանկյունների օրենքը, գնդաձև եռանկյունների համար հայտնաբերեց տանգենսների օրենքը և երկու օրենքի համար էլ ապացույց ապահովեց<ref>{{cite book |first=J. Lennart |last=Berggren |title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook |url=https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse |chapter=Mathematics in Medieval Islam |publisher=Princeton University Press |year=2007 |isbn=978-0-691-11485-9 |page=[https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse/page/518 518]}}</ref>։ Եռանկյունաչափական  ֆունկցիաների և մեթոդների վերաբերյալ գիտելիքը Արևմտյան Եվրոպա հասավ Պտղոմեոսի հունական Ալմագեստի լատիներեն թարգմանությունների, ինչպես նաև պարսկական և արաբ աստղագետների՝ Ալ Բաթանիի և Նասիր ալ-Դին ալ-Թուսիի աշխատանքների միջոցով<ref>Boyer pp. 237, 274</ref>։ Եռանկյունաչափությանը նվիրված ամենավաղ աշխատանքներից մեկը, որ կատարվել էր Հյուսիսային Եվրոպայի մաթեմատիկոսների կողմից, դա 15-րդ դարի գերմանացի մաթեմատիկոս Ռեգիոմոնտանուսի ''Տրիանգուլիս'' աշխատությունն է։ Ռեգիոմոնտանուսին Ալմագեստի պատճենը տրամադրել է և աշխատանքներում խրախուսել բյուզանդական հույն գիտնական կարդինալ Բասիլիոս Բեսարիոնը<ref>{{cite web|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Regiomontanus.html |title=Regiomontanus biography |publisher=History.mcs.st-and.ac.uk |accessdate=2017 թ․ մարտի 8}}</ref>։ Միևնույն ժամանակ, Ալմագեստի հունարենից լատիներեն մեկ այլ թարգմանություն ավարտեց Գեորգը Տրապիզոնից<ref>N.G. Wilson (1992). ''From Byzantium to Italy. Greek Studies in the Italian Renaissance'', London. {{isbn|0-7156-2418-0}}</ref>։ 16-րդ դարում եռանկյունաչափությունը դեռևս քիչ էր հայտնի Հյուսիսային Եվրոպայում, որ Նիկոլայ Կոպեռնիկոսը իր գրքի երկու գլուխ նվիրեց եռանկյունաչափական հասկացությունները բացատրելու համար։

Նավիգացիայի պահանջների և մեծ աշխարհագրական տարածքների ճշգրիտ քարտեզագրման անհրաժեշտությունից ելնելով, եռանկյունաչափությունը վերաճեց մաթեմատիկայի հիմնական ճյուղի<ref>{{cite book | last = Grattan-Guinness | first = Ivor | year = 1997 | title = The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences | publisher = W.W. Norton | isbn = 978-0-393-32030-5}}</ref>։ [[Bartholomaeus Pitiscus]] was the first to use the word, publishing his ''Trigonometria'' in 1595.<ref>{{cite book|author=Robert E. Krebs |title=Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the Middle Ages and the Renaissance |url=https://books.google.com/books?id=MTXdplfiz-cC&pg=PA153 |year=2004 |publisher=Greenwood Publishing Group |isbn=978-0-313-32433-8 |page=153}}</ref> Գեմմա Ֆրիսիուսը առաջինը նկարագրեց տրիանգուլյացիայի մեթոդը, որը մինչ այժմ օգտագործվում է գեոդեզիայում։ Իսկ [[Լեոնարդ Էյլեր]]ը կոմպլեքս թվերն ամբողջությամբ մտցրեց եռանկյունաչափության մեջ։ Շոտլանդացի մաթեմատիկոսներ [[Ջեյմս Գրեգորի]]ի 17-րդ դարում և [[Քոլին ՄաքԼորին]]ի 18-րդ դար, աշխատանքներն ազդեցություն ունեցան եռանկյունաչափական շարքերի զարգացման վրա<ref>William Bragg Ewald (2007). ''[https://books.google.com/books?id=AcuF0w-Qg08C&pg=PA93 From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics]''. [[Oxford University Press US]]. p. 93. {{isbn|0-19-850535-3}}</ref>։ Also in the 18-րդ դարում Բրուք Թեյլորը սահմանեց Թեյլորի հիմնական շարքը<ref>Kelly Dempski (2002). ''[https://books.google.com/books?id=zxdigX-KSZYC&pg=PA29 Focus on Curves and Surfaces]''. p. 29. {{isbn|1-59200-007-X}}</ref>։
Հին հունական մաթեմատիկոսները շրջանագծի աղեղը հաշվելու համար օգտագործում էին լարերի մեթոդը։ Շրջանագծի կենտրոնից լարին տարված ուղղահայցը երկու հավասար մասի է բաժանում աղեղն ու նրան հենված լարը։

== Եռանկյունաչափական հարաբերություններ ==
{{main|Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ}}
[[Պատկեր:TrigonometryTriangle.svg|thumb|245px|Այս ուղղանկյուն եռանկյան մեջ: {{math|1= sin ''A'' = ''a''/''c'';}} {{math|1= cos ''A'' = ''b''/''c'';}} {{math|1= tan ''A'' = ''a''/''b''.}}]]
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները դրանք ուղղանկյան կողմերի միջև հարաբերություններն են։ Այս հարաբերությունները ներկայացվում են A հայտի անկյան հետևյալ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով, որտեղ a, b և c-ն վերաբերում են նկարում ներկայացված եռանկյան կողմերի երկարություններն են․

* '''[[Սինուս]]''' ֆունկցիա (sin), սահմանվում է որպես անկյան դիմացի կողմի հարաբերությունը ներքնաձիգին։
:: <math>\sin A=\frac{\textrm{opposite}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{a}{c}.</math>
* '''[[Կոսինուս]]''' ֆունկցիան (cos), սահմանվում է որպես անկյան կից կողմի հարաբերությունը ներքնաձիգին։
:: <math>\cos A=\frac{\textrm{adjacent}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{b}{c}.</math>
* '''[[Տանգենս]]''' ֆունկցիան(tan), սահմանվում է որպես անկյան դիմացի կողմի հարաբերությունը կից կողմին։

::<math>\tan A=\frac{\textrm{opposite}}{\textrm{adjacent}}=\frac{a}{b}=\frac{a/c}{b/c}=\frac{\sin A}{\cos A}.</math>
Քանի որ միևնույն ''A'' սուր անկյամբ երկու ուղղանկյուն եռանկյուն նման են<ref name="StewartRedlin2015">{{cite book|author1=James Stewart|author2=Lothar Redlin|author3=Saleem Watson|title=Algebra and Trigonometry|url=https://books.google.com/books?id=uJqaBAAAQBAJ&pg=PA448|date=2015 թ․ հունվարի 16|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1-305-53703-3|page=448}}</ref>,, ուստի եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կախված են միայն ''A'' անկյունից։

Այս ֆունկցիաների մուլտիպլիկատիվ ինվերսիաները համապատասխանաբար կոչվում են  '''cosecant''' (csc), '''secant''' (sec), և '''cotangent''' (cot)․
:<math>\csc A=\frac{1}{\sin A}=\frac{\textrm{hypotenuse}}{\textrm{opposite}}=\frac{c}{a} ,</math>

:<math>\sec A=\frac{1}{\cos A}=\frac{\textrm{hypotenuse}}{\textrm{adjacent}}=\frac{c}{b} ,</math>

:<math>\cot A=\frac{1}{\tan A}=\frac{\textrm{adjacent}}{\textrm{opposite}}=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b}{a} .</math>

Փաստացի, կամայական եռանկյան վերաբերյալ հարցերին այս ֆունկցիաների միջոցով հնարավոր է պատասխանել, օգտվելով սինուսի և կոսինուսի օրենքներից<ref name="ForsethBurger2008">{{cite book|author1=Krystle Rose Forseth|author2=Christopher Burger|author3=Michelle Rose Gilman|author4=Deborah J. Rumsey|title=Pre-Calculus For Dummies|url=https://books.google.com/books?id=nfwGEJaLlgsC&pg=PA218|date=2008 թ․ ապրիլի 7|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-16984-1|page=218}}</ref>։ Այս օրենքների օգնությամբ հնարավոր է հաշվել անհայտ անկյունները և կողմերը, եթե տրված են երկու կողմը և նրանց միջև ընկած անկյունը, երկու անկյունը և նրանց ընդհանուր կողմը կամ երբ տրված են եռանկյան երեք կողմերը։
===Միավոր շրջան և եռանկյունաչափական ընդհանուր արժեքներ===
{{main|Միավոր շրջան}}
[[Պատկեր:Sin-cos-defn-I.png|right|thumb|Նկար 1a – θ անկյան սինուսը և կոսինուսը, որոշված միավոր շրջանի օգնությամբ։]]

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կարող են ներկայացվել նաև միավոր շրջանի օգնությամբ, որն իրենից ներկայացնում է 1 շառավղով շրջան, կենտրոնը կոորդինատային հարթության սկզբնակետում<ref name="CohenTheodore2009">{{cite book|author1=David Cohen|author2=Lee B. Theodore|author3=David Sklar|title=Precalculus: A Problems-Oriented Approach, Enhanced Edition|url=https://books.google.com/books?id=-ZXNfthUCOMC|date=2009 թ․ հուլիսի 17|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1-4390-4460-5}}</ref>։ In this setting, the [[Angle#Positive and negative angles|terminal side]] of an angle ''A'' placed in [[Angle#Positive and negative angles|standard position]] will intersect the unit circle in a point (x,y), where  <math>x = \cos A </math> and <math>y = \sin A </math>.<ref name="CohenTheodore2009" /> This representation allows for the calculation of commonly found trigonometric values, such as those in the following table<ref name="Kelley2002">{{cite book|author=W. Michael Kelley|title=The Complete Idiot's Guide to Calculus|url=https://books.google.com/books?id=H-0L9Dxor6sC&pg=PA45|year=2002|publisher=Alpha Books|isbn=978-0-02-864365-6|page=45}}</ref>:

{| class="wikitable"
|-
! Ֆունկցիա
! 0
! <math>\pi/6</math>
! <math>\pi/4</math>
! <math>\pi/3</math>
! <math>\pi/2</math>
! <math>2\pi/3</math>
! <math>3\pi/4</math>
! <math>5\pi/6</math>
! <math>\pi</math>
|-
! սինուս
| 0
| <math>1/2</math>
| <math>\sqrt{2}/2</math>
| <math>\sqrt{3}/2</math>
| 1
| <math>\sqrt{3}/2</math>
| <math>\sqrt{2}/2</math>
| <math>1/2</math>
| 0
|-
! կոսինուս
| 1
| <math>\sqrt{3}/2</math>
| <math>\sqrt{2}/2</math>
| <math>1/2</math>
| 0
| <math>-1/2</math>
| <math>-\sqrt{2}/2</math>
| <math>-\sqrt{3}/2</math>
| -1
|-
! Տանգենս
| 0
| <math>\sqrt{3}/3</math>
| <math>1</math>
| <math>\sqrt{3}</math>
| անորոշ
| <math>-\sqrt{3}</math>
| <math>-1</math>
| <math>-\sqrt{3}/3</math>
| 0
|-
! սեկանս
| 1
| <math>2\sqrt{3}/3</math>
| <math>\sqrt{2}</math>
| <math>2</math>
| undefined
| <math>-2</math>
| <math>-\sqrt{2}</math>
| <math>-2\sqrt{3}/3</math>
| -1
|-
! կոսեկանս
| անորոշ
| <math>2</math>
| <math>\sqrt{2}</math>
| <math>2\sqrt{3}/3</math>
| 1
| <math>2\sqrt{3}/3</math>
| <math>\sqrt{2}</math>
| <math>2</math>
| անորոշ
|-
! կոտանգենս
| uանորոշ
| <math>\sqrt{3}</math>
| <math>1</math>
| <math>\sqrt{3}/3</math>
| 0
| <math>-\sqrt{3}/3</math>
| <math>-1</math>
| <math>-\sqrt{3}</math>
| uանորոշ
|}

== Իրական կամ կոմպլեքս փոփոխականների եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ ==
{{main|Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ}}

Միավոր շրջանն օգտագործելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումները հնարավոր է ընդլայնել ընդհուպ մինչև բոլոր դրական և բացասական արգումենտների վրա<ref name="Olive2003">{{cite book|author=Jenny Olive|title=Maths: A Student's Survival Guide: A Self-Help Workbook for Science and Engineering Students|url=https://books.google.com/books?id=_Ir7euRke_oC&pg=PA175|date=2003 թ․ սեպտեմբերի 18|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-01707-7|page=175}}</ref> (տես [[եռանկյունաչափական ֆունկցիա]])։

=== Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները ===

Հետևյալ աղյուսակը ամփոփում է եռանկյունաչափական վեց հիմնական ֆունկցիաների գրաֆիկների հատկությունները․<ref name="Attenborough2003">{{cite book|author=Mary P Attenborough|title=Mathematics for Electrical Engineering and Computing|url=https://books.google.com/books?id=CcwBLa1G8BUC&pg=PA418|date=2003 թ․ հունիսի 30|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-047340-6|page=418}}</ref><ref name="LarsonEdwards2008">{{cite book|author1=Ron Larson|author2=Bruce H. Edwards|title=Calculus of a Single Variable|url=https://books.google.com/books?id=gR7nGg5_9xcC&pg=PA21|date=2008 թ․ նոյեմբերի 10|publisher=Cengage Learning|isbn=978-0-547-20998-2|page=21}}</ref>

{| class="wikitable"
|-
! Ֆունկցիա
! Ժամանակահատված
! Տիրույթ
! Միջակայք
! Գրաֆիկ
|-
! սինուս
| <math>2\pi</math>
| <math>(-\infty,\infty)</math>
| <math>[-1,1]</math>
| [[Image:Sine one period.svg|200 px]]
|-
! կոսինուս
| <math>2\pi</math>
| <math>(-\infty,\infty)</math>
| <math>[-1,1]</math>
| [[Image:Cosine one period.svg|200 px]]
|-
! տանգենս
| <math>\pi</math>
| <math>x \neq \pi/2+n\pi</math>
| <math>(-\infty,\infty)</math>
| [[Image:Tangent-plot.svg|200 px]]
|-
! սեկանս
| <math>2\pi</math>
| <math>x \neq \pi/2 + n\pi</math>
| <math>(-\infty,-1] \cup [1,\infty)</math>
| [[Image:Secant.svg|200 px]]
|-
! կոսեկանս
| <math>2\pi</math>
| <math>x \neq n\pi</math>
| <math>(-\infty,-1] \cup [1,\infty)</math>
| [[Image:Cosecant.svg|200 px]]
|-
! կոտանգենս
| <math>\pi</math>
| <math>x \neq n\pi</math>
| <math>(-\infty,\infty)</math>
| [[Image:Cotangent.svg|200 px]]
|}
=== Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ ===
{{main|Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ}}

Քանի որ վեց եռանկյունաչափական ֆունկցիաները պարբերական են, նրանք ինյեկտիվ (կամ, 1-ը 1-ին) չեն, ուստի և հակադարձելի չեն։ Այնուամենայնիվ սահմանափակելով եռանկյունաչափական ֆունկցիայի տիրույթը, այն կարելի է դարձնել հակադարձելի<ref name="BremiganBremigan2011">{{cite book|author1=Elizabeth G. Bremigan|author2=Ralph J. Bremigan|author3=John D. Lorch|title=Mathematics for Secondary School Teachers|url=https://books.google.com/books?id=OfFEC5drTVMC&pg=PR48|year=2011|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-773-1}}</ref>։{{rp|48ff}}
Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անունները, իրենց տիրույթների և միջակայքերի հետ մեկտեղ տրված է հետևյալ աղյուսակում․<ref name="BremiganBremigan2011"/>{{rp|48ff}}<ref name="BrokateManchanda2019">{{cite book|author1=Martin Brokate|author2=Pammy Manchanda|author3=Abul Hasan Siddiqi|title=Calculus for Scientists and Engineers|url=https://books.google.com/books?id=7DenDwAAQBAJ&pg=PA521|date=2019 թ․ օգոստոսի 3|publisher=Springer|isbn=9789811384646}}</ref>{{rp|521ff}}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- 
!Անվանում
!Ընդունված նշանակում
!Սահմանում
!''x''-ի տիրույթը իրական արդյունքի համար
!Հիմնական արժեքի միջակայք <br /> ([[ռադիան]])
!Հիմնական արժեքի միջակայք <br /> ([[Աստիճան (երկրաչափություն)|աստիճան]])
|-
| '''արկսինուս''' || ''y'' = {{math|arcsin(''x'')}} || ''x'' = {{math|[[sine|sin]](''y'')}} || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || −{{sfrac|{{pi}}|2}} ≤ ''y'' ≤ {{sfrac|{{pi}}|2}} || −90° ≤ ''y'' ≤ 90°
|-
| '''արկկոսինուս''' || ''y'' = {{math|arccos(''x'')}} || ''x'' = {{math|[[cosine|cos]](''y'')}} || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || 0 ≤ ''y'' ≤ {{pi}} || 0° ≤ ''y'' ≤ 180°
|-
| '''արկտանգենս''' || ''y'' = {{math|arctan(''x'')}} || ''x'' = {{math|[[Tangent (trigonometry)|tan]](''y'')}} || բոլոր իրական թվեր || −{{sfrac|{{pi}}|2}} < ''y'' < {{sfrac|{{pi}}|2}} || −90° < ''y'' < 90°
|-
| '''արկկոտանգենս''' || ''y'' = {{math|arccot(''x'')}} ||''x'' = {{math|[[cotangent|cot]](''y'')}} || բոլոր իրական թվեր
| 0 < ''y'' < {{pi}} || 0° < ''y'' < 180°
|-
| '''արկսեկանս''' || ''y'' = {{math|arcsec(''x'')}} || ''x'' = {{math|[[Secant (trigonometry)|sec]](''y'')}} || ''x'' ≤ −1 or 1 ≤ ''x'' || 0 ≤ ''y'' < {{sfrac|{{pi}}|2}} or {{sfrac|{{pi}}|2}} < ''y'' ≤ {{pi}} || 0° ≤ ''y'' < 90° or 90° < ''y'' ≤ 180°
|-
| '''արկկոսեկանս''' || ''y'' = {{math|arccsc(''x'')}} || ''x'' = {{math|[[cosecant|csc]](''y'')}} || ''x'' ≤ −1 or 1 ≤ ''x'' || −{{sfrac|{{pi}}|2}} ≤ ''y'' < 0 or 0 < ''y'' ≤ {{sfrac|{{pi}}|2}} || −90° ≤ ''y'' < 0° or 0° < ''y'' ≤ 90°
|-
|}
=== Աստիճանական շարքերի ներկայացում ===

Երբ եռանկյունաչափական հարաբերությունները դիտարկվում են որպես իրական փոփոխականի ֆունկցիաներ, դրանք կարող են ներկայացվել [[անվերջ շարք]]ի օգնությամբ։ Օրինակ սինուսը և կոսինուսը հետևյալ կերպ են ներկայացվում․<ref name="Lang2013">{{cite book|author=Serge Lang|title=Complex Analysis|url=https://books.google.com/books?id=0qx3BQAAQBAJ&pg=PA63|date=2013 թ․ մարտի 14|publisher=Springer|isbn=978-3-642-59273-7|page=63}}</ref>

:<math>
\begin{align}
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
\end{align}
</math>

:<math>
\begin{align}
\cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.
\end{align}
</math>

Այս կերպ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կարող են սահանվել կոմպլեքս թվերի համար<ref name="Alessio2015">{{cite book|author=Silvia Maria Alessio|title=Digital Signal Processing and Spectral Analysis for Scientists: Concepts and Applications|url=https://books.google.com/books?id=ja8vCwAAQBAJ&pg=PA339|date=2015 թ․ դեկտեմբերի 9|publisher=Springer|isbn=978-3-319-25468-5|page=339}}</ref>։ Ընդլայնելով որպես իրական կամ կոմպլեքս փոփոխականների ֆունկցիաներ, կոմպլեքս էքսպոնենցիալի համար տեղի կունենա Էյլերի բանաձևը․

: <math>e^{x+iy} = e^x(\cos y + i \sin y).</math>

Հատկապես օգտակար է այս էքսպոնենցիալ ֆունկցիան գրված եռանկյունաչափական ֆունկցիաների տերմիններով<ref name="RAJESWARIRAO2014">{{cite book|author1=K. RAJA RAJESWARI|author2=B. VISVESVARA RAO|title=SIGNALS AND SYSTEMS|url=https://books.google.com/books?id=QZBeBAAAQBAJ&pg=PA263|date=2014 թ․ մարտի 24|publisher=PHI Learning|isbn=978-81-203-4941-4|page=263}}</ref><ref name="Stillwell2010">{{cite book|author=John Stillwell|title=Mathematics and Its History|url=https://books.google.com/books?id=3bE_AAAAQBAJ&pg=PA313|date=2010 թ․ հուլիսի 23|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4419-6053-5|page=313}}</ref>։
=== Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հաշվարկ ===
{{main|Եռանկյունաչափական աղյուսակներ}}
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները մաթեմատիկական աղյուսակների կիրառման ամենավաղ օրինակներից են<ref name="Campbell-KellyCampbell-Kelly2003">{{cite book|author1=Martin Campbell-Kelly|author2=Professor Emeritus of Computer Science Martin Campbell-Kelly|author3=Visiting Fellow Department of Computer Science Mary Croarken|author4= Raymond Flood|author5= Eleanor Robson|title=The History of Mathematical Tables: From Sumer to Spreadsheets|url=https://books.google.com/books?id=O170gWPZ7M8C|date=2003 թ․ հոկտեմբերի 2|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-850841-0}}</ref>։ Այդ աղյուսակները ներառված էին մաթեմատիկական դասագրքերում և ուսանողներին սովորեցնում էին ինչպես գտնել արժեքները և ինչպես ինտերպոլյացիայի միջոցով ավելի ճշգրիտ արժեքներ ստանալ<ref name="DonovanGimmestad1980">{{cite book|author1=George S. Donovan|author2=Beverly Beyreuther Gimmestad|title=Trigonometry with calculators|url=https://books.google.com/books?id=zUruGK7TOTYC|year=1980|publisher=Prindle, Weber & Schmidt|isbn=978-0-87150-284-1}}</ref>։ [[Եռանկյունաչափական քանոն]]ը հատուկ բաժանումներ ունի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար<ref name="Middlemiss1945">{{cite book|author=Ross Raymond Middlemiss|title=Instructions for Post-trig and Mannheim-trig Slide Rules|url=https://books.google.com/books?id=OH0_AAAAYAAJ|year=1945|publisher=Frederick Post Company}}</ref>։

Գիտական հաշվիչը հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների (sin, cos, tan, և երբեմն [[Էյլերի բանաձև]]ի և դրանց հակադարձ ֆունկցիաների) հաշվարկի համար կոճակներ ունի<ref name="Corporation1974">{{cite book|author=Bonnier Corporation|title=Popular Science|url=https://books.google.com/books?id=1T4ORu6EICkC&pg=PA125|date=April 1974|publisher=Bonnier Corporation|page=125}}</ref>։ Շատերը թույլ են տալիս անկյան չափման մեթոդի ընտրություն․ աստիճան, ռադիան, երբեմն և գրադիենտ։ Շատ ծրագրավորման լեզուներ ապահովում են գրադարաններ, որոնք ներառում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ<ref name="SkienaRevilla2006">{{cite book|author1=Steven S Skiena|author2=Miguel A. Revilla|title=Programming Challenges: The Programming Contest Training Manual|url=https://books.google.com/books?id=dNoLBwAAQBAJ&pg=PA302|date=2006 թ․ ապրիլի 18|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-22081-9|page=302}}</ref>։ Անհատական կոմպյութերի միկրոպրոցեսային չիպերում այլ ֆունկցիաների հետ մեկտեղ ներդրված են նաև եռանկյունաչափական ֆունկցիաները<ref name=Intel2013>{{cite book |title=Intel® 64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual Combined Volumes: 1, 2A, 2B, 2C, 3A, 3B and 3C |year=2013 |publisher=Intel |url=http://download.intel.com/products/processor/manual/325462.pdf}}</ref>։

== Կիրառություններ ==

===Աստղագիտություն===
{{main|Աստղագիտություն}}
Դարեր շարունակ գնդաձև եռանկյունաչափությունն օգտագործվել է արևի, լուսնի և աստղերի դիրքերը որոշելու համար
<ref name="Gregory1816">{{cite book|author=Olinthus Gregory|title=Elements of Plane and Spherical Trigonometry: With Their Applications to Heights and Distances Projections of the Sphere, Dialling, Astronomy, the Solution of Equations, and Geodesic Operations|url=https://books.google.com/books?id=j3sAAAAAMAAJ|year=1816|publisher=Baldwin, Cradock, and Joy}}</ref>,  խավարումները կանխագուշակելու և մոլորակների ուղեծրերը նկարագրելու համար<ref>Neugebauer, Otto. "Mathematical methods in ancient astronomy." Bulletin of the American Mathematical Society 54.11 (1948): 1013-1041.</ref>։

Մեր ժամանակներում, տրիանգուլյացիայի տեխնիկան օգտագործվում է աստղագիտության մեջ՝ մոտակա աստղերից հեռավորությունը չափելու համար<ref name="SeedsBackman2009">{{cite book|author1=Michael Seeds|author2=Dana Backman|title=Astronomy: The Solar System and Beyond|url=https://books.google.com/books?id=DajpkyXS-NUC&pg=PT254|date=2009 թ․ հունվարի 5|publisher=Cengage Learning|isbn=0-495-56203-3|page=254}}</ref>, Ինչպես նաև արբանյակային նավիգացիայի համակարգերում<ref name="Willers2018"/>։
===Նավիգացիա===
{{main|Նավիգացիա}}
[[Պատկեր:Frieberger drum marine sextant.jpg|thumb|200px|[Սեքստանտներն օգտագործվում են չափելու արևի կամ աստղերի անկյունը հորիզոնի նկատմամբ։ Այսպիսի չափումների օգնությամբ, օգտագործելով եռանկյունաչափություն և նավի ժամացույցը կարելի է որաշել նավի դիրքը։]]

Պատմականորեն եռանկյունաչափությունն օգտագործվում էր առագաստանավերի տեղակայման լայնություններն ու երկայնությունները որոշելու, նավարկման պլանավորման և դրա ընթացքում հեռավորությունները հաշվելու համար<ref name="Sabine1800">{{cite book|author=John Sabine|title=The Practical Mathematician, Containing Logarithms, Geometry, Trigonometry, Mensuration, Algebra, Navigation, Spherics and Natural Philosophy, Etc|url=https://books.google.com/books?id=d_9eAAAAcAAJ&pg=PR1|date=1800|page=1}}</ref>։

Եռանկյունաչափությունը շարունակվում է օգտագործվել նավիգացիայում այնպիսի միջոցներով [[Global Positioning System]] և արհեստական ինտելեկտով ավտոնոմ տրանսպորտային միջոցների համար<ref name="Ben-AriMondada2017">{{cite book|author1=Mordechai Ben-Ari|author2=Francesco Mondada|title=Elements of Robotics|url=https://books.google.com/books?id=itpCDwAAQBAJ&pg=PA16|date=2017 թ․ հոկտեմբերի 25|publisher=Springer|isbn=978-3-319-62533-1|page=16}}</ref>։
===Գեոդեզիա===
{{main|Գեոդեզիա}}

Գեոդեզիայում եռանկյունաչափությունն օգտագործվում է երկարության, մակերեսի և օբյեկտների միջև հարաբերական անկյունները հաշվելու համար<ref name="Perkins1853">{{cite book|author=George Roberts Perkins|title=Plane Trigonometry and Its Application to Mensuration and Land Surveying: Accompanied with All the Necessary Logarithmic and Trigonometric Tables|url=https://archive.org/details/planetrigonometr00perk|year=1853|publisher=D. Appleton & Company}}</ref>։

Ավելի լայն մասշտաբով, եռանկյունաչափությունը օգտագործվում է աշխարհագրության մեջ, կողմնորոշիչ նշանների միջև հեռավորությունները չափելու համար<ref name="WithersLorimer2015">{{cite book|author1=Charles W. J. Withers|author2=Hayden Lorimer|title=Geographers: Biobibliographical Studies|url=https://books.google.com/books?id=eidTTrsyTr4C&pg=PA6|date=2015 թ․ դեկտեմբերի 14|publisher=A&C Black|isbn=978-1-4411-0785-5|page=6}}</ref>։
===Պարբերական ֆունկցիաներ===
{{main|Ֆուրիեի շարքեր|Ֆուրիեի ձևափոխություն}}
[[Պատկեր:Fourier series and transform.gif|frame|right|Function <math>s(x)</math> ֆունկցիան (կարմիրով) տարբեր ամպլիտուդների և հարմոնիկ հաճախությունների վեց սինուսոիդների գումար է։ Նրանց գումարումը կոչվում է Ֆուրիեի շարքեր։ <math>S(f)</math> Ֆուրիեի ձևափոխությունը (կապույտով), որը արտապատկերում է ամպլիտուդը հաճախությունից կախված, 6 հաճախականություն է դուրս բերում (''կենտ հարմոնիկայով'') և (''1/odd number'') դրանց կենտ ամլիտուդով]]

Սինուս և կոսինուս ֆունկցիաները հիմնարար են [[պարբերական ֆունկցիաներ]]ի տեսության համար<ref name="MorscheBerg2003">{{cite book|author1=H. G. ter Morsche|author2=J. C. van den Berg|author3=E. M. van de Vrie|title=Fourier and Laplace Transforms|url=https://books.google.com/books?id=frT5_rfyO4IC&pg=PA61|date=2003 թ․ օգոստոսի 7|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-53441-3|page=61}}</ref>, ինչպիսիք են ձայնը և լույսը նկարագրող ալիքները։ [[Ժոզեֆ Ֆուրիե|Ֆուրիեն]] բացահայտեց որ յուրաքանչյուր [[անընդհատ ֆունկցիա]], պարբերական ֆունկցիա կարող է ներկայացվել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անվերջ գումարի տեսքով։

Նույնիսկ պարբերական ֆունկցիաները կարող են ներկայացվել որպես սինուսների և կոսինուսների [[ինտեգրալ]], Ֆուրիեի ձևափոխության միջոցով։ Սա կիրառություն ունի շատ ոլորտներում, ներառյալ քվանտային մեխանիկայում<ref name="Thaller2007">{{cite book|author=Bernd Thaller|title=Visual Quantum Mechanics: Selected Topics with Computer-Generated Animations of Quantum-Mechanical Phenomena|url=https://books.google.com/books?id=GOfjBwAAQBAJ&pg=PA15|date=2007 թ․ մայիսի 8|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-22770-2|page=15}}</ref> և կապի ոլորտում<ref name="Rahman2011">{{cite book|author=M. Rahman|title=Applications of Fourier Transforms to Generalized Functions|url=https://books.google.com/books?id=k_rdcKaUdr4C|year=2011|publisher=WIT Press|isbn=978-1-84564-564-9}}</ref>։
===Օպտիկա և Ձայնագիտություն===
{{main|Օպտիկա|Ձայնագիտություն}}

Եռանկյունաչափությունն օգտակար է շատ ֆիզիկական գիտություններում<ref name="BornsteinInc1966">{{cite book|author1=Lawrence Bornstein|author2=Basic Systems, Inc|title=Trigonometry for the Physical Sciences|url=https://books.google.com/books?id=6I1GAAAAYAAJ|year=1966|publisher=Appleton-Century-Crofts}}</ref>, ներառյալ ձայնագիտությունը<ref name="SchillerWurster1988">{{cite book|author1=John J. Schiller|author2=Marie A. Wurster|title=College Algebra and Trigonometry: Basics Through Precalculus|url=https://books.google.com/books?id=-CXYAAAAMAAJ|year=1988|publisher=Scott, Foresman|isbn=978-0-673-18393-4}}</ref>, և օպտիկան<ref name="SchillerWurster1988" />։ Այս ոլորտներում նրանք օգտագործվում են նկարագրելու ձայնային և լուսային ալիքները, ինչպես նաև լուծելու սահմանային փոխանցման հետ կապված խնդիրները<ref name="Towne2014">{{cite book|author=Dudley H. Towne|title=Wave Phenomena|url=https://books.google.com/books?id=uZgJCAAAQBAJ|date=2014 թ․ մայիսի 5|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-14515-0}}</ref>։
=== Այլ կիրառություններ ===

Եռանկյունաչափություն կամ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ օգտագործող այլ ոլորտներ են [[երաժշտության տեսություն]]<ref name="HeinemanTarwater1992">{{cite book|author1=E. Richard Heineman|author2=J. Dalton Tarwater|title=Plane Trigonometry|url=https://books.google.com/books?id=Hi7YAAAAMAAJ|date=1992 թ․ նոյեմբերի 1|publisher=McGraw-Hill|isbn=978-0-07-028187-5}}</ref>, [[գեոդեզիա]], [[սինթեզատոր]]<ref name="KahrsBrandenburg2006">{{cite book|author1=Mark Kahrs|author2=Karlheinz Brandenburg|title=Applications of Digital Signal Processing to Audio and Acoustics|url=https://books.google.com/books?id=UFwKBwAAQBAJ&pg=PA404|date=2006 թ․ ապրիլի 18|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-306-47042-4|page=404}}</ref>, [[ճարտարապետություն]]<ref name="WilliamsOstwald2015">{{cite book|author1=Kim Williams|author2=Michael J. Ostwald|title=Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future: Volume I: Antiquity to the 1500s|url=https://books.google.com/books?id=fWKYBgAAQBAJ&pg=PA260|date=2015 թ․ փետրվարի 9|publisher=Birkhäuser|isbn=978-3-319-00137-1|page=260}}</ref>, [[էլեկտրոնիկա]]<ref name="HeinemanTarwater1992" />, [[կենսաբանություն]]<ref name="Foulder2019">{{cite book|author=Dan Foulder|title=Essential Skills for GCSE Biology|url=https://books.google.com/books?id=teF6DwAAQBAJ&pg=PT78|date=2019 թ․ հուլիսի 15|publisher=Hodder Education|isbn=978-1-5104-6003-4|page=78}}</ref>, [[բժշկական վիզուալիզացիա]] ([[CT scan]]s և [[ուլտրաձայն]])<ref name="BeolchiKuhn1995">{{cite book|author1=Luciano Beolchi|author2=Michael H. Kuhn|title=Medical Imaging: Analysis of Multimodality 2D/3D Images|url=https://books.google.com/books?id=HnRD08tDmlsC&pg=PA122|year=1995|publisher=IOS Press|isbn=978-90-5199-210-6|page=122}}</ref>, [[քիմիա]]<ref name="Ladd2014">{{cite book|author=Marcus Frederick Charles Ladd|title=Symmetry of Crystals and Molecules|url=https://books.google.com/books?id=7L3DAgAAQBAJ&pg=PA13|year=2014|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-967088-8|page=13}}</ref>, [[թվերի տեսություն]] (և հետևաբար կրիպտոլոգիա)<ref name="ArkhipovChubarikov2008">{{cite book|author1=Gennady I. Arkhipov|author2=Vladimir N. Chubarikov|author3=Anatoly A. Karatsuba|title=Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis|url=https://books.google.com/books?id=G8j4Kqw45jwC|date=2008 թ․ օգոստոսի 22|publisher=Walter de Gruyter|isbn=978-3-11-019798-3}}</ref>, [[սեյսմոլոգիա]]<ref name="SchillerWurster1988" />, [[օդերևութաբանություն]]<ref>{{cite book|title=Study Guide for the Course in Meteorological Mathematics: Latest Revision, Feb. 1, 1943|url=https://books.google.com/books?id=j-ow4TBWAbcC|year=1943}}</ref>, [[օվկիանոսագիտություն]]<ref name="SearsMerriman1980">{{cite book|author1=Mary Sears|author2=Daniel Merriman|author3=Woods Hole Oceanographic Institution|title=Oceanography, the past|url=https://books.google.com/books?id=Z7dPAQAAIAAJ|year=1980|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-90497-9}}</ref>,  [[պատկերի սեղմում]]<ref>{{Cite web|url=https://www.w3.org/Graphics/JPEG/itu-t81.pdf|title=JPEG Standard (JPEG ISO/IEC 10918-1 ITU-T Recommendation T.81)|last=|first=|date=1993|publisher=[[International Telecommunications Union]]|archive-url=|archive-date=|url-status= |access-date=2019 թ․ ապրիլի 6}}</ref>, [[հնչյունաբանություն]]<ref name="Malmkjaer2009">{{cite book|author=Kirsten Malmkjaer|title=The Routledge Linguistics Encyclopedia|url=https://books.google.com/books?id=O459AgAAQBAJ&pg=PA1|date=2009 թ․ դեկտեմբերի 4|publisher=Routledge|isbn=978-1-134-10371-3|page=1}}</ref>, [[տնտեսագիտություն]]<ref name="Dadkhah2011">{{cite book|author=Kamran Dadkhah|title=Foundations of Mathematical and Computational Economics|url=https://books.google.com/books?id=Z76b-TGhs9sC&pg=PA46|date=2011 թ․ հունվարի 11|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-642-13748-8|page=46}}</ref>, [[էլեկտրական ճարտարագիտություն]], [[մեխանիկական ճարտարագիտություն]], [[քաղաքացիական շինարարություն]]<ref name="HeinemanTarwater1992" />, [[համակարգչային գրաֆիկա]]<ref name="Griffith2012" />, [[քարտեզագրություն]]<ref name="HeinemanTarwater1992" />, [[Բյուրեղագիտություն]]<ref name="Griffin1841">{{cite book|author=John Joseph Griffin|title=A System of Crystallography, with Its Application to Mineralogy|url=https://archive.org/details/asystemcrystall03grifgoog|year=1841|publisher=R. Griffin|page=[https://archive.org/details/asystemcrystall03grifgoog/page/n157 119]}}</ref> և [[խաղերի մշակում]]<ref name="Griffith2012">{{cite book|author=Christopher Griffith|title=Real-World Flash Game Development: How to Follow Best Practices AND Keep Your Sanity|url=https://archive.org/details/realworldflashga0000grif|url-access=registration|date=2012 թ․ նոյեմբերի 12|publisher=CRC Press|isbn=978-1-136-13702-0|page=[https://archive.org/details/realworldflashga0000grif/page/153 153]}}</ref>։

== Նույնություններ ==
{{Main|Եռանկյունաչափական նույնություններ}}
[[Պատկեր:Triangle ABC with Sides a b c 2.png|thumb|240px|right| ''a'',''b'',''c'' կողմերով եռանկյուն և համապատասխանաբար ''A'',''B'',''C'' հանդիպակաց անկյուններ]]

Եռանկյունաչափությունը հիշարճան է իր բազմաթիվ նույնություններով՝ հավասարումներով, որոնք ճիշտ են բոլոր հնարավոր մուտքերի համար<ref name="Dugopolski2002">{{cite book|author=Dugopolski|title=Trigonometry I/E Sup|url=https://books.google.com/books?id=_dXVeYx_kgoC|date=July 2002|publisher=Addison Wesley|isbn=978-0-201-78666-8}}</ref>։

Միայն անկյուններ պարունակող նույնությունները հայտնի են որպես ''եռանկյունաչափական նույնություններ''. մյուս հավասարումները, որ վերաբերում են տրված եռանկյան թե կողմերին և թե անկյուններին, հայտնի են որպես ''եռանկյան նույնություններ''<ref name="BOARD2015">{{cite book|author=V&S EDITORIAL BOARD|title=CONCISE DICTIONARY OF MATHEMATICS|url=https://books.google.com/books?id=TJQ3DwAAQBAJ&pg=PA288|date=2015 թ․ հունվարի 6|publisher=V&S Publishers|isbn=978-93-5057-414-0|page=288}}</ref>,։

===Եռանկյան նույնություններ===
Հետևյալ նույնություններում ''A'', ''B'' և ''C'' եռանկյան անկյուններն են, իսկ ''a'', ''b'' և ''c'' անկյունների հանդիպակած կողմերի երկարություններն են։ (ինչպես ցույց է տրված դիագրամում)<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=CaTF4QZ94Fk&t=245 Lecture 3 | Quantum Entanglements, Part 1 (Stanford)], [[Leonard Susskind]], trigonometry in five minutes, law of sin, cos, euler formula 2006-10-09.</ref>։
==== Սինուսների օրենք ====
Կամայական եռանկյան համար '''[[սինուսի օրենք]]ը''' պնդում է<ref name="Young2010"/>։

:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R = \frac{abc}{2\Delta},</math>
որտեղ <math>\Delta</math> եռանկյան մակերեսն է և ''R''-ը եռանկյան [[Արտագծյալ շրջանագիծ|արտագծծյալ շրջանագծի]] շառավիղը։

:<math>R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}.</math>
==== Կոսինուսի օրենք ====
'''[[Կոսինուսի օրենք]]ը''' (հայտնի որպես կոսինուսի բանաձև) Պյութագորասի թեորեմի ընդլայնումն է կամայական եռանկյունների համար<ref name="Young2010" />։

:<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,</math>

կամ համարժեք․

:<math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.</math>
==== Տանգենսների օրենք ====
'''[[Տանգենսների օրենք]]ը''', որ մշակվել էր [[Ֆրանսուա Վիետ]]ի կողմից, կոսինուսների օրենքի այլընտրանքն է, երբ պետք է գտնել եռանկյան անհայտ կողմը, ապահովելով պարզ հաշվարկներ եռանկյունաչափական աղյուսակներ օգտագործելիս<ref name="Larson2010">{{cite book|author=Ron Larson|title=Trigonometry|url=https://books.google.com/books?id=KzALQF4QresC&pg=PA331|date=2010 թ․ հունվարի 29|publisher=Cengage Learning|isbn=1-4390-4907-6|page=331}}</ref>։ Այն ներկայացվում է․

:<math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}</math>
==== Մակերես ====
Տրված է եռանկյան երկու կողմերը՝ ''a'' և ''b'' և դրանց միջև ընկած ''C'' անկյունը, եռանկյան մակերեսը ներկայացվում է որպես երկու կողմերի և դրանց միջև ընկած անկյան սինուսի արտադրյալ<ref name="Young2010">{{cite book|author=Cynthia Y. Young|title=Precalculus|url=https://books.google.com/books?id=9HRLAn326zEC&pg=PA435|date=2010 թ․ հունվարի 19|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-75684-2|page=435}}</ref>։

Հերոնի բանաձևը եռանկյան մակերեսը հաշվելու մեկ այլ եղանակ է։ Եթե եռանյունը ունի This formula states that if a triangle has sides of lengths ''a'', ''b'' և ''c'' երկարությամբ կողմեր, և պարագիծը

:<math>s=\frac{1}{2}(a+b+c),</math>

ապա եռանկյան մակերեսը հավասար է․<ref name="AufmannBarker2007">{{cite book|author1=Richard N. Aufmann|author2=Vernon C. Barker|author3=Richard D. Nation|title=College Trigonometry|url=https://books.google.com/books?id=s7UbEjCmJb0C&pg=PA306|date=2007 թ․ փետրվարի 5|publisher=Cengage Learning|isbn=0-618-82507-X|page=306}}</ref>

:<math>\mbox{Area} = \Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{abc}{4R}</math>,
որտեղ R-ը եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղն է։

:<math>\mbox{Մակերեսը} = \Delta = \frac{1}{2}a b\sin C.</math>
===Եռանկյունաչափական նույնություններ===

==== Պյութագորյան նույնություններ ====

Հետևյալ եռանկյունաչափական նույնությունները վերաբերում են Պյութագորասի թեորեմին և տեղի ունեն ցանկացած արժեքի համար․<ref>{{cite book |title=Technical Mathematics with Calculus |edition=illustrated |first1=John C. |last1=Peterson |publisher=Cengage Learning |year=2004 |isbn=978-0-7668-6189-3 |page=856 |url=https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC}} [https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC&pg=PA856 Extract of page 856]</ref>

:<math>\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \ </math>

:<math>\tan^2 A + 1 = \sec^2 A \ </math>

:<math>\cot^2 A + 1 = \csc^2 A  \ </math>
==== Էյլերի բանաձևը ====
Էյլերի բանաձևը պնդում է <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math>, հետևում է անալիտիկ նույնությունը սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի արտահայտված ''[[e (mathematics)|e]]'' և ''i'' կեղծ միավորի տերմիններով։
:<math>\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, \qquad \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \qquad \tan x = \frac{i(e^{-ix} - e^{ix})}{e^{ix} + e^{-ix}}.</math>
<!-- Note: the expression of tan(x) has i in the numerator, not in the denominator, because the order of the terms (and thus the sign) of the numerator is changed w.r.t. the expression of sin(x). -->
==== Այլ եռանկյաունաչափական նույնություններ ====
{{main | Եռանկյունաչափական նույնություններ}}
Այլ եռանկյունաչափական նույնությունների թվում են անկյան կիսորդի, անկյունների գումարի և տարբերության, գումարի արտադրյալի նույնությունները<ref name="StewartRedlin2015" />։

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանտուփ}}

{{Մաթեմատիկա–ներքև}}
{{ՀՍՀ|հատոր=3|էջ=520}}

[[Կատեգորիա:Եռանկյունաչափություն]]