Դիտել Կոշի-Ադամարի թեորեմ էջի վիքիկոդը

'''Կոշի-Ադամարի թեորեմ''' (նաեւ, '''Ադամարի թեորեմը աստիճանային շարքերի մասին'''),  պնդում, որը գնահատում է աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը որոշ դեպքերում։ Անվանակոչվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ [[Օգյուստեն Լուի Կոշի|Կոշի]]ի եւ [[Ժակ Ադամար|Ադամար]]ի պատվին։ Թեորեմն առաջին անգամ հրապարակել է Կոշին, 1821 թվականին<ref>{{citation|first=A. L.|last=Cauchy|authorlink=Коши, Огюстен Луи|title=Analyse algébrique|year=1821}}.</ref>, սակայն այն աննկատ է մնացել մինչեւ Ադամարի վերահայտնաբերումը<ref>{{citation|title=The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass|first=Umberto|last=Bottazzini|publisher=Springer-Verlag|year=1986|isbn=978-0-387-96302-0|pages=116–117}}. Իտալերենից թարգմանվել է անգլերեն՝ Warren Van Egmond.</ref>։ Ադամարն իր արդյունքները հրապարակել է 1888 թվականին<ref>{{citation|first=J.|last=Hadamard|authorlink=Адамар, Жак|title=Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable|journal=C. R. Acad. Sci. Paris|volume=106|pages=259–262}}.</ref>։ Նա թեորեմը ներառել է 1892 թվականի իր դոկտորական դիսերտացիայում<ref>{{citation|first=J.|last=Hadamard|authorlink=Адамар, Жак|title=Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor|url=https://archive.org/details/essaisurltuded00hadauoft|journal=[[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]]|series= 4<sup>e</sup> Série|volume=VIII|year=1892}}. Также в ''Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques'', Paris: Gauthier-Villars et fils, 1892.</ref>։

== Ձեւակերպումը ==
Դիցուք, <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}</math> - ը <math>R</math> զուգամիտության շառավղով աստիճանային շարք է։ Այդ դեպքում՝

<math>(\alpha)</math> եթե <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty}\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}</math> վերին սահմանը գոյություն ունի եւ դրական է, ապա <math>R = \frac{1}{\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}}</math>;

<math>(\beta)</math> եթե <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|} = 0</math>, ապա <math>R = +\infty</math>;

<math>(\gamma)</math> եթե <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}</math>վերին սահմանը գոյություն չունի, ապա <math>R = 0</math>:

== Ապացույց ==
<math>(\alpha)</math> Դիցուք, <math>\lambda = \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}\in (0; +\infty)</math>.

Եթե <math>z \in \mathbb C</math> այնպիսի կետ է, որ <math>|z-z_{0}| < \frac{1}{\lambda}</math>, ապա <!--- <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} (\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}\cdot|z-z_{0}|) < 1</math>, ---> <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty}\sqrt[\nu]{|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|} < 1</math> եւ հնարավոր է գտնել այնպիսի <math>q < 1</math> թիվ, որ գրեթե բոլոր <math>\nu</math>-երի համար տեղի ունենա <math>\sqrt[\nu]{|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|} < q\,</math> անհավասարությունը։ Այստեղից հետեւում է, որ <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}q^{\nu}</math> երկրաչափական պրոգրեսիան <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|</math> շարքի զուգամետ վերին սահման է, այսինքն՝ <math>R=\frac{1}{\lambda}</math>:

Հակառակ դեպքում, այսինքն եթե <math>z \in \mathbb C</math> բավարարում է  <math>|z-z_{0}| > \frac{1}{\lambda}</math>պայմանին, ապա <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty}(\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}\cdot|z-z_{0}|)>1</math><!---,  <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty}(\sqrt[\nu]{|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu})|}>1</math> ---> եւ անվերջ թվով  <math>\nu</math> համարների համար տեղի կունենա  <!--- <math>\sqrt[\nu]{|a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}|} \geqslant 1</math>, --->  <math>|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}| \geqslant 1</math> անհավասարությունը։ Հետեւաբար, <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}|a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}|</math> շարքը  <math>z</math> կետում տարամետ է, քանի որ նրա անդամները չեն ձգտում զրոյի։

<math>(\beta)</math> Դիցուք, <math>\lambda = \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|} = 0</math>: Այս դեպքում ցանկացած  <math>z \in \mathbb C</math>-ի համար <math>\sqrt[\nu] {|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|}</math> հաջորդականությունը զուգամիտում է զրոյի։  Այդ իսկ պատճառով, եթե ընտրենք <math>q=q(z) \in (0; 1)</math> թիվ, ապա գրեթե բոլոր <math>\nu</math> համարների համար տեղի կունենա <math>|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|<q^{\nu}</math> անհավասարությունը, որտեղից, ինչպես եւ <math>(\alpha)</math> դեպքում, հետեւում է շարքի զուգամիտությունը <math>z</math> կետում։ Ֆորմալ՝ <math>R = \frac{1}{+0}= +\infty</math>:

<math>(\gamma)</math> <math>\varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}</math> վերին սահմանը <math>\mathbb R</math> - ում գոյություն չունի (այսինքն,  ֆորմալ՝ <math>\lambda = \varlimsup\limits_{\nu\to+\infty} \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}=+\infty \in \overline{\mathbb R}</math>) այն եւ միայն այն դեպքում, երբ <math>\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}</math> հաջորդականությունը վերեւից սահմանափակ չէ։ Եթե <math>z \neq z_{0}</math>, ապա անսահմանափակ է նաեւ<math>\sqrt[\nu] {|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|}</math> հաջորդականությունը<!---, նաեւ <math>|a_{\nu}{(z-z_{0})}^{\nu}|</math>  հաջորդականությունը--->: Հետեւաբար՝ <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}</math>  շարքը <math>z \neq z_{0}</math> կետում տարամետ է։ Հարկ է նշել, որ <math>z = z_{0}</math> դեպքում <math>\sum_{\nu = 0}^{+\infty}a_{\nu}(z-z_{0})^{\nu}</math> շարքը զուգամիտում է <math>a_{0}</math>-ի։  Վերջնական՝ <math>R=0</math> (այսինքն, ֆորմալ՝ <math>R = \frac{1}{+\infty}= +0</math>, փաստացի՝ <math>R = \varliminf\limits_{\nu\to+\infty} \frac{1}{\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|} }=0</math>):

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}

== Գրականություն ==
* Գրաուերտ Գ., Լիբ Ի., Ֆիշեր Վ. Դիֆֆերենցիալ եւ ինտեգրալային հաշվարկներ, Մ., Мир, 1971

[[Կատեգորիա:Կոմպլեքս անալիզ]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզի թեորեմներ]]
[[Կատեգորիա:Շարքեր]]