Կոշի-Ադամարի թեորեմ

Կոշի-Ադամարի թեորեմ (նաեւ, Ադամարի թեորեմը աստիճանային շարքերի մասին), պնդում, որը գնահատում է աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը որոշ դեպքերում։ Անվանակոչվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ Կոշիի եւ Ադամարի պատվին։ Թեորեմն առաջին անգամ հրապարակել է Կոշին, 1821 թվականին, սակայն այն աննկատ է մնացել մինչեւ Ադամարի վերահայտնաբերումը։ Ադամարն իր արդյունքները հրապարակել է 1888 թվականին։ Նա թեորեմը ներառել է 1892 թվականի իր դոկտորական դիսերտացիայում։

Ձեւակերպումը

Դիցուք, $\sum _{\nu =0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{\nu }(z-z_0{)}^{\nu }$ - ը $R$ զուգամիտության շառավղով աստիճանային շարք է։ Այդ դեպքում՝

$(\alpha )$ եթե $\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}$ վերին սահմանը գոյություն ունի եւ դրական է, ապա $R=\frac{1}{\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}}$;

$(\beta )$ եթե $\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}=0$, ապա $R=+\mathrm{\infty }$;

$(\gamma )$ եթե $\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}$վերին սահմանը գոյություն չունի, ապա $R=0$:

Ապացույց

$(\alpha )$ Դիցուք, $\lambda =\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}\in (0;+\mathrm{\infty })$.

Եթե $z\in ℂ$ այնպիսի կետ է, որ $|z-z_0|<\frac{1}{\lambda }$, ապա $\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }{(z-z_0)}^{\nu }|}<1$ եւ հնարավոր է գտնել այնպիսի $q<1$ թիվ, որ գրեթե բոլոր $\nu$-երի համար տեղի ունենա $\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }{(z-z_0)}^{\nu }|}<q$ անհավասարությունը։ Այստեղից հետեւում է, որ $\sum _{\nu =0}^{+\mathrm{\infty }}{q}^{\nu }$ երկրաչափական պրոգրեսիան $\sum _{\nu =0}^{+\mathrm{\infty }}|a_{\nu }{(z-z_0)}^{\nu }|$ շարքի զուգամետ վերին սահման է, այսինքն՝ $R=\frac{1}{\lambda }$:

Հակառակ դեպքում, այսինքն եթե $z\in ℂ$ բավարարում է $|z-z_0|>\frac{1}{\lambda }$պայմանին, ապա $\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}(\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}\cdot |z-z_0|)>1$ եւ անվերջ թվով $\nu$ համարների համար տեղի կունենա $|a_{\nu }{(z-z_0)}^{\nu }|⩾1$ անհավասարությունը։ Հետեւաբար, $\sum _{\nu =0}^{+\mathrm{\infty }}|a_{\nu }(z-z_0{)}^{\nu }|$ շարքը $z$ կետում տարամետ է, քանի որ նրա անդամները չեն ձգտում զրոյի։

$(\beta )$ Դիցուք, $\lambda =\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}=0$: Այս դեպքում ցանկացած $z\in ℂ$-ի համար $\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }{(z-z_0)}^{\nu }|}$ հաջորդականությունը զուգամիտում է զրոյի։ Այդ իսկ պատճառով, եթե ընտրենք $q=q(z)\in (0;1)$ թիվ, ապա գրեթե բոլոր $\nu$ համարների համար տեղի կունենա $|a_{\nu }{(z-z_0)}^{\nu }|<q^{\nu }$ անհավասարությունը, որտեղից, ինչպես եւ $(\alpha )$ դեպքում, հետեւում է շարքի զուգամիտությունը $z$ կետում։ Ֆորմալ՝ $R=\frac{1}{+0}=+\mathrm{\infty }$:

$(\gamma )$ $\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}$ վերին սահմանը $ℝ$ - ում գոյություն չունի (այսինքն, ֆորմալ՝ $\lambda =\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}=+\mathrm{\infty }\in \overline{ℝ}$) այն եւ միայն այն դեպքում, երբ $\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}$ հաջորդականությունը վերեւից սահմանափակ չէ։ Եթե $z\ne z_0$, ապա անսահմանափակ է նաեւ$\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }{(z-z_0)}^{\nu }|}$ հաջորդականությունը: Հետեւաբար՝ $\sum _{\nu =0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{\nu }(z-z_0{)}^{\nu }$ շարքը $z\ne z_0$ կետում տարամետ է։ Հարկ է նշել, որ $z=z_0$ դեպքում $\sum _{\nu =0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{\nu }(z-z_0{)}^{\nu }$ շարքը զուգամիտում է $a_0$-ի։ Վերջնական՝ $R=0$ (այսինքն, ֆորմալ՝ $R=\frac{1}{+\mathrm{\infty }}=+0$, փաստացի՝ $R=\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}\frac{1}{\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}}=0$):

Գրականություն

• Գրաուերտ Գ., Լիբ Ի., Ֆիշեր Վ. Դիֆֆերենցիալ եւ ինտեգրալային հաշվարկներ, Մ., Мир, 1971