Դիտել Հանում էջի վիքիկոդը

[[Պատկեր:Subtraction01.svg|մինի|180px|<math>\scriptstyle{5-2=3}</math>]]
'''Հանում''' (նվազեցում), երկու արգումենտների (նվազելի և հանելի) օժանդակ [[մաթեմատիկա]]կան [[բինար գործողություն]] (թվաբանական գործողություն), որի արդյունքն իրենից ներկայացնում է նոր թիվ (տարբերություն)<ref name=":0">Вычитание // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.</ref>, որը ստացվում է առաջին արգումենտը երկրորդ արգումենտի չափով պակասացնելիս։ Գրելիս հիմնականում նշանակվում է «մինուս» նշանով՝ <math>a-b=c</math>։ Հանման գործողությունը [[Գումարում|գումարման]] գործողության հակառակն է։

Հանումը կարելի է գրելի հետևյալ՝ <math>\overline{S}(a, b)=c</math> ընդհանուր տեսքով , որտեղ <math>a \in A</math> և <math>b \in A</math>։ Այսինքն <math>(a,b)</math>տարրերի յուրաքանչյուր զույգին համապատասխանում է <math>A</math>բազմության <math>c=a-b</math> տարրը, որը կոչվում է  <math>a</math> և <math>b</math>  թերի տարբերություն։

Հանումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ երկու արգումենտներն էլ պատկանում են միևնույն բազմությանը  (ունեն նույն տիպը)։<br />[[Բացասական թիվ|Բացասակն թվերի]] առկայության դեպքում, տարբերությունը ավելի հարմար է դիտարկել  որպես գումարման տեսակ՝ գումարում բացասական թվերով<ref name=":1">{{PlanetMath|title=Subtraction|urlname=Subtraction}}</ref>։ Օրինակ՝ <math>5-2=3</math>կարելի է դիտարկել որպես <math>5+(-2)=3</math> գումարում։

Իրական թվերի բազմություն մեջ գումարման [[Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)|ֆունկցիայի]] որոշման տիրույթի [[Ֆունկցիայի գրաֆիկ|գրաֆիկն]] ունի հարթության տեսք, որն անցնում է [[Կոորդինատային համակարգ|կոորդինատային առանցքի]] սկզբնակետով և առանցքների նկատմամբ ունի 45° թեքություն։

Հանումն ունի մի քանի կարևոր հատկություններ (օրինակ <math>A=</math>[[Вещественное число|<math>\mathbb{R}</math>]]-ի համար)՝

:[[Տեղափոխականություն|Հակատեղափոխականութուն]]՝  <math>a-b = -(b-a),\quad\forall a, b \in\ A</math>
:[[Զուգորդականություն|Ոչ զուգորդականություն]]՝ <math>(a-b)-c \ne a-(b-c),\quad\forall a, b,c \in\ A</math>
:[[Բաշխականություն]]՝ <math>x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad\forall a, b \in\ A</math>
:Երբ թվից հանում ենք  [[0 (число)|<math>0</math>]] արդյունքում ստանում ենք սկզբնական թիվը՝ <math>x-0=x,\quad\forall x\in A, \quad\exists 0\in A</math>ː

Որպես օրինակ դիտարկենք աջ կողմի նկարում պատկերված <math>5-2=3</math> գրությունը, նկարում հինգ խնձորից հանվում է երկու [[խնձոր]], որի արդյունքում ստանում ենք երեք խնձոր։ Անհրաժեշտ է ուշադրություն դարձնել, որ հինգ խնձորից երկու [[տանձ]] հանել չի կարելի։ Բացի խնձորների հաշվարկից, հանումը կարող է ներկայացնել նաև այլ [[Ֆիզիկական մեծություն|ֆիզիկական]] և աբստրակտ մեծությունների տարբերություն, ինչպիսիք են օրինակ՝ բացասական թվերը, [[Կոտորակ (մաթեմատիկա)|կոտորակային թվերը]], [[վեկտոր]]ները, ֆունկցիաները և այլն։

== Գրելաձև և տերմինաբանություն ==
[[Պատկեր:Դիագրամ 20.jpg|մինի|228x228px|Սիմվոլներ և նշաններ{{sfn|Лебедев|2003|с=97}}]]

Հանումը գրվում է արգումենտների միջև մինուս սիմվոլի «<math>-</math>» կիրառմամբ, գրության այս ձևը կոչվում է [[ինֆիկսային նշանագրություն]]։ Տվյալ կոնտեկստում մինուս նշանը համարվում է բինար գործողություն։ Արդյունքը գրվում է հավասարման նշանի «<math>=</math>» կիրառմամբ, օրինակ՝

:<math>a - b = c </math> ,
:<math>6 - 3 = 3 </math> («վեց հանած երեք հավասար է երեք») ,
:<math>64 - 35 = 29 </math>  («վաթսունչորս հանած երեսունհինգ հավասար է քասանինը») ։

Գրության մեջ օգտագործվող հանման նշանը շատ նման է այլ սիմվոլների, օրինակ՝ գծիկի, միացման գծիկի և այլն։ Սիմվոլի սխալ մեկնաբանությունից խուսափելու համար անհրաժեշտ է ուշադիր վերլուծել արտահայտությունը։

== Հատկություններ ==
Թվային <math>\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math> բազմություններում հանման գործողությունը ունի հետևյալ հիմնական հատությունները.

* Տարբերությունը տեղափոխական չէ, արգումենտների տեղերը փոխելիս տարբերությունը (հավասարությունը) փոխվում է

:::'''Հակատեղափոխականություն'''՝  <math>a-b \ne b-a,\quad\forall a, b \in\ A</math>

*Տարբերությունը զուգորդական չէ՝ երեք և ավելի թվերի հաջորդական հանման ժամանակ գործողության կատրման հաջորդականությունը կարևոր է, սրանից կախված արդյունքը փոխվում է

:::'''Հակազուգորդականություն'''՝ <math>(a-b)-c \ne a-(b-c),\quad\forall a, b,c \in\ A</math>
                                                                                                                                                    
* Հանումը բաշխական է, սա երկու բինար գործողությունների համաձայնություն է, որոշված տվյալ [[Բազմություն|բազմության]] մեջ, հայտնի է նաև, որպես բաշխական օրենք<ref name=":2">Так эти свойства называются в учебниках для младших классов</ref> 
:::'''Բաշխականություն'''՝ <math>x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad\forall a, b \in\ A</math>

*<math>A</math>բազմության մեջ գոյություն ունի միակ չեզոք տարր, երբ թվից հանում ենք զրո (չեզոք տարր) ստանում ենք սկզբնականին հավասար թիվ՝
:::'''Զրոյական տարր'''՝ <math>x-0=x,\quad\forall x\in A, \quad\exists 0\in A</math>

* Զրո հանելու գործողությունը [[Իդեմպոտենտություն|իդեմպոտենտ]] է, այսինքն գործողության կրկնակի կատարումը տալիս է միևնույն արդյունքը, ինչ որ ոչ կրկնակին
:::'''Իդեմպոտետություն'''՝ <math>x = x - 0 = (x-0) - 0 = ((x-0)-0)- ... - 0,\quad\forall x\in A, \quad\exists 0\in A</math>,

* Հակադիր տարրի տարբերությունը թիվը կրկնապատկում է՝ <math>a-(-a)=a+a=2a,\quad\forall a\in A, \quad\exists -a\in A</math>ː

[[Բնական թիվ|<math>\mathbb{N}</math> բնական թվերի]] համար տարբերության արդյունքը միշտ չէ, որ որոշված է, որպեսիզի տարբերության արդյունքում ստանանք բնական թիվ նվազելին պետք է մեծ լինի հանելիիցː Բնական թվերի սահմանում անհնար է փոքր թվից հանել մեծըː

<math>\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math>բազմություններում որոշված հանման գործողության արդյունքում ստանում ենք թիվ (տարբերություն) հենց այդ բազմությունից, հետևաբար հանման գործողությունը վերաբերում է փակ գործողություններին (փակ են այն գործողությունները որնց արդյունքները պատկանում են միևնույն բազմությանը), այսինքն թվերի <math>\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math> բազմությունները ձևավորում են օղակներ հանման գործողությանը համապատասխանː<math></math>

== Հանման գործողության կատարում ==
Հանման գործողությունը կարելի է պատկերացնել որպես որևէ սև արկղ որի մուտքի մոտ նվազելին և հանելին են, իսկ ելքի մոտ տարբերությունըː

Երկու թվերի հանման գործողության գործնական կատարման ժամանակ անհրաժեշտ է այն բերել ավելի պարզ գործողությունների կատարման՝ պարզ հանում, [[փոխառություն]], [[համեմատություն]] և այլնː Սրա համար մշակվել են հանման մի քանի տարբերակներ թվերի, վեկտորների, կոտորակների և այլ մեծությունների համարː Բնական թվերի բազմության մեջ այժմ օգտագործվում է հանման կարգային [[ալգորիթմ]]ըː Ընդ որում հանումը անհրաժեշտ է դիտարկել որպես ընթացակարգ (ի տարբերություն գործողության)ː
<div class="NavFrame collapsed">
  <div class="NavHead"> Երկու թվերի կարգային հանման գործողության մոտավոր ալգորիթմ</div>
  <div class="NavContent">[[Պատկեր:Դիագրամ.png|none|thumb|1277x1277px]]</div>
</div>
 
Ինչպես տեսնում ենք գործեղությունը բավականին բարդ է, կազմված է որոշակի մեծ քանակի քայլերից և մեծ թվերի հանման ժամանակ կարող է զբաղեցնել տևական ժամանակː
[[Պատկեր:Диаграмма9.svg|մինի|319x319px|6 թվից 4 թվի հանման գործողության քայլ առ քայլ կատարումը]]
Տվյալ կոնտեքստում պարզ հանումն իրենից ենթադրում է քսանից փոքր թվերի հանման գործողությունը, որը հերթությամբ կարող է բերվել դեկրիմենտացմանː Այն համարվում է դեկրիմենտացման հիպերօպերատոր՝

<math>a-b = \operatorname{hyper-1} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, -1, b) = a ^ {(-1)} b</math>
<math> a {^{(-1)}} b = a - b = \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{a} \underbrace{- 1 - 1 - \dots - 1}_{b}</math>,

որտեղ՝ <math>1 + 1 + \dots + 1</math> -[[ինկրիմենտ]]ացման գործողության հաջորդականությունն է, կատարվել է  <math>a</math>  անգամ,<br /><math>-1 - 1 - \dots - 1</math> - դեկրիմենտացման գործողության հաջորդականությունն է, իրականացված <math>b</math> անգամː

Հանման գործողությունը ավելի արագ և պարզ դարձնելու համար օգտվում են պարզ հանման աղյուսակային մեթոդիցː Սրա համար նախապես կազմում են 18-ից 0 թվերի տարբերության բոլոր կոմբինացիաները և այն վերցնում են հետևյալ աղյուսակից{{sfn|Истомина|2005|с=165}}.

<div class="NavFrame collapsed">
  <div class="NavHead">Տասնորդական հաշվարկման համակարգի հանման աղյուսակ</div>
  <div class="NavContent">
{| class="wikitable standard" style="text-align:center" width="75%"
|-
!'''-'''||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12||13||14||15||16||17||18
|-
!0
|0||1||2||3||4||5||6||7||8|| 9||||||||||||||||||
|-
!1
|||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||||||||||||||||
|-
!2
|||||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||||||||||||||
|-
!3
|||||||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||||||||||||
|-
!4
|||||||||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||||||||||
|-
!5
|||||||||||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||||||||
|-
!6
|||||||||||||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||||||
|-
!7
|||||||||||||||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||||
|-
!8
|||||||||||||||||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||
|-
!9
|||||||||||||||||||0||1||2||3||4||5||6||7||8||9
|-
|-
|}
  </div>
</div>

Այս գործընթացը կիրառելի է բնական և ամբողջ (նշանը հաշվի առնելով) թվերի բազմությունների համարː Այլ թվերի համար կիրառվում են ավելի բարդ [[Ալգորիթմ|ալգորիթմներː]]

== Թվերի հանում ==
=== Բնական թվեր ===

Օգտվենք <math>\mathbb{N}</math> բնական թվերից որպես վերջավոր բազմությունների համարժեք դասː <math>C, A, B</math> վերջավոր բազմությունների համարժեքության դասերից բիեկցիայով առաջացած բազմությունները նշանակենք փակագծերի օգնությամբ՝ <math>[C], [A], [B]</math>ː Այս դեպքում «հանման» թվաբանական գործողությունը սահմանվում է հետևյալ կորպ.
<center><math>[C]=[A] - [B] = [A \setminus B]</math>,</center>
որտեղ <math>A \setminus B=\{C \in A \mid C \not\in B \mid B  \subset A \}</math> — բազմությունների տարբերությունն էː Այս գործողությունը դասերի համար գրված է հակիրճ, այսինքն կախված չէ դասերի տարրերի ընտրությունից և համապատասխանում է ինդուկտիվ սահմանումներինː

<math> A </math>վերջավոր բազմության փոխադարձ միանշանակ պատկերումը <math> N_a </math>հատվածի վրա կարելի է հասկանալ որպես <math> A </math> բազմության տարրերի համարակալում՝<math> \quad A \sim N_a </math>ː Համարակալման այս պրոցեսը կոչվում է «հաշիվ»ː Այսպիսով հաշիվը դա փոխադարձ միանշանակ համապատասխանությունն է բազմության տարրերի և բնական թվերի շարքի հատվածի միջևː

Կարգային համակարգում բնական թվերի հանման համար կիրառվում է թվերի նշանակման կարգային ալգորիթմըː Եթե տրած են երկու, այնպիսի բնական <math>a</math> և  <math>b</math> թվեր, որ <center><math>a=a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0, \quad b=b_{n-1} b_{n-2}\dots b_0, \quad \forall a_{k},b_{k} \in \{P \}, \quad \forall a_{n-1}, b_{n-1} \ne 0, \quad a \geqslant b, \quad\exists 0\in \N</math></center>
որտեղ՝ <math> a_{0 \dots n-1}=a_k P^k, \quad b_{0 \dots n-1}=b_k P^k </math>,  <math>n</math> - թվի [[թվանշաններ]]ի քանակն է <math>n \in \{1, 2, \dots ,n \}</math>, <math>k</math> - կարգի հերթական համարն է (դիրքը), <math>k \in \{0, 1, \dots ,n-1 \}</math>, <math>P</math> - [[Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա)|հաշվարկման հիմնական համակարգն]] է, <math> \{P \}</math>-ն տվյալ հաշվարկման համակարգի թվային նշանների (թվերի) բազմությունն է<math>\{P_2 \}= \{0,1 \}</math>, <math>\{P_{10} \}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}</math>, <math>\{P_{16} \}= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F \}</math>, երբ
<center><math>c=a-b, \quad c_{n-1} c_{n-2}\dots c_0=a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0-b_{n-1} b_{n-2}\dots b_0,</math></center>
Հանելով ըստ կարգերի կստանանք՝

* <math>c_0=\begin{cases} a_0-b_0, \quad & \text{if } a_0 \geqslant b_0 \text{ } \\ a_0+P-b_0, \quad a_1=a_1-1 & \text{if } a_0 < b_0 \text{ } \end{cases}</math>
* <math>c_1=\begin{cases} a_1-b_1, \quad & \text{if } a_1 \geqslant b_1 \text{ } \\ a_1+P-b_1, \quad a_2=a_2-1 & \text{if } a_1 < b_1 \text{ } \end{cases}</math>
* <math>... \quad \quad... \quad \quad...</math>
*<math>c_{n-1}=\begin{cases} a_{n-1}-b_{n-1}, \quad & \text{if } a_{n-1}\geqslant b_{n-1} \text{ } \\ a_{n-1}+P-b_{n-1}, \quad a_n=a_n-1 & \text{if } a_{n-1}<b_{n-1} \text{ } \end{cases}</math>

Այսպիսով հանման գործեղությունը բրվում է բնական թվերի պարզ հանման <math>a_{k}-b_{k}</math> գործողության հաջորդական կատարման, անհրաժեշտության դեպքում փոխառության կիրառմամբ, որը կատարվում է կամ աղյուսակային մեթոդով կամ դեկրիմենտացմամբ (հաշվով)ː

Ցանկացած հաշվարկման համակարգում հանման գործողությունը կատարվում է նույն կանոննորով, ինչ որ [[Տասնորդական հաշվման համակարգեր|տասնորդական հաշվարկման համակարգում]], քանի որ դրանք բոլորը կատարվում են բազմանդամների համապատասխան գործողությունների կատարման կանոններին համապատասխանː Ընդ որում անհրաժեշտ է օգտվել տվյալ հաշվարկման համակարգի <math>P</math>հիմքին համապատասխան հանման աղյուսակիցː

[[Երկուական համակարգ|Երկուական]], տասնորդական և [[Հաշվարկման տասնվեցական համակարգ|տասնվեցական համակարգերում]] հանման գործողության օրինակներ, հարմարավետության համար թվերը համապատասխան կարգերով գրված են իրար տակ, փոխառման նշանը գրվում է վերևից, բացակայող կարգերը ավելացվում են զրոներով՝

<center><math>\begin{array}{ccccccccc} &.&.&_{10}&&.&_{10} \\ &1&1&0&1&1&0 \\ -&0&1&1&1&0&1 \\ \hline &&1&1&0&0&1 \end{array}, \quad \quad \begin{array}{ccccccc} &.&_{10}& \\ &8&4&5&6&7 \\ -&3&7&5&4&1 \\ \hline &4&7&0&2&6 \end{array}, \quad \quad \begin{array}{ccccccc} &.&_{10}&&&_.&_{10} \\ &C&5&6&D&E&4 \\ -&0&F&2&A&1&F \\ \hline &B&6&4&3&C&5 \end{array}</math></center>

=== Ամբողջ թվեր ===
[[Ամբողջ թիվ|Ամբողջ թվերի]] բազմությունը <math>\mathbb{N}</math>բնական թվերի ընդլայնումն է, որն առաջանում է <math>-n</math> տեսքի բացասական թվերի{{sfn|Выгодский|2003|стр.=116-117}} ավելացմաբː Ամբողջ թվերի բազմությունը նշանակում են <math>\mathbb{Z}</math>-ովː Ամբողջ թվերի հետ կատարվող հանրահաշվական գործողությունները սահմանվում են որպես բնական թվերի համապատասխան գործողությունների անընդհատ շարունակությունː

Բացասական թվերի առկայությունը թույլ է տալիս հանումը դիտարկել (և սահմանել), որպես գումարման տարատեսակ՝ բացասական թվի գումարումː Ի տարբերություն բնական թվերի ամբողջ թվերը [[թվային առանցք]]ի վրա ուղղված են հակառակ ուղղությամբ, սա որոշակիորեն փոխում է հանման գործողության ընթացքըː Անհրաժեշտ է հաշվի առնել թվերի փոխադարձ ուղվածությունները, այստեղ հնարավոր են մի քանի տարբերակներ.

[[Պատկեր:Диаграмма4.svg|մինի|Դրական և բացասական թվերը թվային առանցքի վրա]]

* Եթե երկու արգումենտներն էլ դրական են, ապա՝ <math>c = a - b</math>,
*Եթե բացասական է արգումենտներից միայն մեկը, ապա՝ <math>c= -a - b = -(a+b)</math>կամ <math>c= a - (-b) = a+b</math>,
* Եթե երկու արգումենտներն էլ բացասական են, ապա՝ <math>c = (-a)-(-b) = - a + b = b - a</math>ː

Այստեղ և հաջորդիվ ևս օգտագործվելու է կարգային հանման ալգորիթմըː Օրինակ դիտարկենք հետևյալ արտահայտությունը՝ <math>-6-4=-10</math>, քանի որ <math>-6</math>և <math>4</math> թվերն ունեն տարբեր նշաններ, մինուսը դուրս բերենք [[փակագծեր]]ից <math>-6-4=-(6+4)</math>, շարունակելով կատարել հանման գործողությունը կստանանք <math>-10</math>ː

=== Ռացիոնալ թվեր ===
[[Ռացիոնալ թիվ|Ռացիոնալ թվերի]] բազմությունը նշանակում են <math>\mathbb{Q}</math>({{lang-en|quotient}} «քանորդ») և կարող է գրվել հետևյալ կերպ՝   <math>\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}</math>

Սովորական՝  <math>\pm \frac{m}{n}</math> տեսքի կոտորակային ռացիոնալ թվերի հանման համար, անհրաժեշտ է դրանք ընդհանուր հայտարարի բերելː

Եթե տրված են երկու այնպիսի  <math>a</math> և  <math>b</math>ռացիոնալ թվեր, որ <math>a=\frac{m_a}{n_a}, b=\frac{m_b}{n_b} \quad\forall m_a, n_a, m_b, n_b \in \mathbb{N} \quad\forall {n_a},{n_b} \ne 0 </math> (կոտորակները չեն կրճատվում), ապա՝<math> c=a-b = \frac{m_a}{n_a} - \frac{m_b}{n_b} = \frac{m_a \cdot n_b}{n_a \cdot n_b} - \frac{n_a \cdot m_b}{n_a \cdot n_b} = \frac{m_a \cdot n_b - m_b \cdot n_a}{n_a \cdot n_b}</math> {{sfn|Гусев|1988|с=20}}, կամ անհրաժեշտ է գտնել հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըː Գործողությունների հաջորդականությունը հետևյալն է.

**Գտնում ենք հայտարարների [[ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ]]ը՝ <math>M=[n_a,n_b]</math>ː
**Բազմապատկում ենք առաջին կոտորակի համարիչը և հայտարարը՝ <math>\frac{M}{n_a}</math>ː
**Բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի համարիչ և հայտարարը՝ <math>\frac{M}{n_b}</math>ː

Այս գործողությունից հետո կոտորակների հայտարարները համընկնում են (հավասար են ''<math>M</math>''-ի)ː Մի շարք պարզ դեպքերում սա հերթացնում է հանման գործեղությունը, բայց մեծ թվերի դեպքում հաշվարկները զգալիորեն բարդանում ենː <math>M</math>-ի փոխարեն կարելի է վերցնել ցանկացած այլ ընդհանուր բազմապատիկː

Հանման օրինակ՝
<center><math> \frac{2}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 5 - 3 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{10 - 3}{15} = \frac{7}{15}</math></center>
Եթե երկու կոտորակների հայտարարները համընկնում են ապա՝
<center><math> \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1-2}{4} = -\frac{1}{4}</math></center>
Եթե հայտարարները բազմապատիկ են մեկ այլ թվի, ապա ձևավորում ենք միայն մի կոտորակ՝
<center><math> \frac{3}{8} - \frac{1}{4} = \frac{3}{8} - \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{3- 1 \cdot 2}{8} = \frac{1}{8}</math></center>

Ռացիոնալ թվերի «հանման» թվաբանական գործողությունը վերաբերում է փակ գործողություններինː

=== Իրական թվեր ===
Անվերջ տասնորդական կոտորակների տեսքով ներկայացված [[իրական թվեր]]ի հետ կատարվող հանրահաշվական գործողությունները սահմանվում են որպես ռացիոնալ թվերի համապատասխան գործողությունների անընդհատ շարունակություն<ref>Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида <math>\{x: \alpha < x < \beta\}</math></ref> ː

Եթե տրված են երկու անվերջ տանորդական կոտորակային թվեր՝ <center><math> \alpha = \pm a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \{a_n\}</math>,</center>
 <center><math> \beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \{b_n\}</math></center>
սահմանված համապատասխան ռացիոնալ թվերի ֆունկցիոնալ [[Հաջորդականություն (մաթեմատիկա)|հաջորդականություններով]], նշանակված որպես՝ <math>\alpha = [a_n]</math> և <math>\beta = [b_n]</math>, ապա նրանաց տարբերությունը կլինի <math>\gamma = [c_n]</math>, սահմանված <math>\{a_n\}</math> և  <math>\{b_n\}</math> հաջորդականությունների տարբերությամբ՝
<center><math>\gamma = \alpha - \beta \overset{\text{def}}{=} [a_n] - [b_n] = [a_n - b_n] </math>,</center><math>\gamma = \alpha - \beta</math> իրական թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝
<center><math>
\forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q}; ~~~~ (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \land (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' - b' \leqslant \alpha - \beta \leqslant a'' - b'') \Rightarrow (a' - b' \leqslant \gamma \leqslant a'' - b'')
</math>ː</center> Այսպիսով երկու  <math>\alpha</math> և  <math>\beta</math> իրական թվերի տարբերությունը այնպիսի  <math>\gamma</math> իրական թիվ է, որը մի կողմից պարունակվում է բոլոր <math>a' - b'</math>, մյուս կողմից բոլոր <math>a'' - b''</math> տարբերություններում{{sfn|Ильин|1985|с=46|quote=}}ː

Գործնականում որպեսիզի հանենք երկու  <math>\alpha</math> և  <math>\beta</math>թվերը, անհրաժեշտ է դրանք փոխարինել պահանջվող ճշտությամբ մոտավոր ռացիոնալ <math>a</math> և  <math>b</math>թվերեվː Որպես <math>\alpha - \beta</math>-ի մոտավոր տարբերություն վերցնում են <math>a-b</math> ռացիոնալ թվերի տարբերությունըː Ընդ որում կարևոր չէ, թե որ կողմից (պակասորդի թե ավելցուկի) են վերցված թվերը, դրանք մոտեցնում են  <math>\alpha</math>-ին և <math>\beta</math>-ինː Գումարումը կատարվում է համաձայն կարգաին գումարման ալգորիթմիː

Մոտավոր թվերի հանման ժամանակ նրանց բացարձակ սխալանքները գումարվում են <math>\Delta (a - b)=\Delta a+ \Delta b</math>, որպես թվի բացարձակ սխալանք վերցվում է տվյալ թվի վերջին թվանշանի կեսըː Տարբերության հարաբերական սխալանքը հավասար է արգումենտների ամենամեծ և ամենափոքր հարաբերական սխալանքների տարբերությանը, գործնականում վերցվում է ամենամեծ սխալանքը <math>\delta (a - b)=max(\delta a,\delta b)</math>ː Ստացված արդյունքը կլորացվում է մինչև թվի առաջին ճիշտ իրական արժեքը, մոտավոր թվի իրական արժեքը համարվում է ճիշտ, եթե թվի բացարձակ սխալանքը չի գերազանցում այդ թվին համապատասխանող կարգի միավորի կեսըː

Հանման օրինակ՝  <math>\gamma=\pi-e</math>, ստորակետից հետո մինչև 3 թվի ճշտությամբ՝

* Կլորացնում ենք տրված թիվը ստորակետից հետո մինչև 4-րդ թվանշանը (հանման ճշտության բարձրցման համար),
*Կստանանք՝ <math>\pi\approx 3.1416, \quad e \approx 2.7183</math>,
* Հանում ենք ըստ կարգերի՝ <math>\gamma = \pi - e \approx  3.1416 - 2.7183 \approx 0.4233</math>,
* Կլորացնում ենք մինչև ստորակետից հետո 3-րդ թվանշանը՝ <math>\gamma\approx 0.423</math>ː

=== Գրաֆիկ ===
Իրական թվերի տարբերության ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հարթության տեսք, որն անցնում է կոորդինատային առանցքի սկզբնակետով և թեքվում է առանցքի հանդեպ 45° աստիճան անկյան տակː

[[Պատկեր:График2.jpg|centre|thumb|284x284px|f(c)=a-b ֆունկցիայի գրաֆիկ]]

Քանի որ <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math>, ապա այս բազմությունների համար ևս հանման ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կպատկանի այս հարթությանըː

=== Կոմպլեքս թվեր ===
[[Պատկեր:Диаграмма11.svg|մինի|249x249px|Երկու կոմպլեքս թվերի c=a-b տարբերությունը կարող է ներկայացվել երկրաչափորեն եռանկյան կառուցման տեսքով]]
[[Կոմպլեքս թիվ|Կոմպլեքս թվերի]] բազմությունը թվաբանական գործողություների հետ միասին համարվում է դաշտ և սովորաբար նշանակվում է <math>\mathbb{C}</math> սիմվոլովː

Կոմպլեքս թվերը մեկը մյուից հանվում են իրական և կեղծ մասերի իրարից հանելու ճանապարհով{{sfn|Конвей|1986|с=107}}ː Սա նշանակում է, որ՝

: <math>c+fi=(a+di) - (b+ei) = (a-b) + (d-e)i,\ </math>

որտեղ՝  <math>c, a, b, d, e, f \in \R</math>,  <math>i</math> — կեղծ միավորն էː Կոմպլեքս հարթության մեջ կոմպլեքս թվերը որպես վեկտորներ օգտագործելու ժամանակ կոմպլեքս թվերի հանմանը կարելի է տալ հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը՝ <math>a+di</math> և <math>b+ei</math> կոմպլեքս թվերի տարբերությունը, որոնք կոմպլեքս հարթության մեջ ներկայացված են վեկտորներ տեսքով, իրենից ներկայացնում է վեկտոր, որը միացնում է նավազելի և հանելի վեկտորների ծայրերը և ուղղված է հանելիից դեպի նվազելի, այն համարվում է վեկտորների տարբերություն և համապատասխանաբար կոմպլեքս թվերի տարերություն (նույն  արդյունքը կստանանք եթե նվազելի վեկտորին ավելացնենք հանելի վեկտորի հակադարձը)ː

Համանմանորեն n չափանի կոմպլեքս թվերի համար. <math>A=a_11+a_2i_2+ \dots +a_{n}i_n, ~~~ B=b_11+b_2i_2+ \dots +b_{n}i_n</math><math>C=A-B=(a_11+a_2i_2+ \dots +a_{n}i_n) - (b_11+b_2i_2+ \dots +b_{n}i_n) =</math> <math> =(a_1-b_1)1+(a_2-b_2)i_2+ \dots +(a_n-b_n)i_n = c_11+c_2i_2+ \dots +c_ni_n</math>

=== Էքսպոնենցիալ գրելաձև ===
Էքսպոնենցիալ գրության ժամանակ թվերը գրվում են  <math>a= \pm x \cdot P^{ \pm n}</math> տեսքով, որտեղ <math>x</math>-ը մանտիսն է, <math>P^{n}</math>-ը թվի բնութագիրն է, <math>P</math> -ն հաշվարկման համակարգի հիմքըː Էքսպոնենցիալ ձևով գրված երկու թվերի հանման համար անհրաժեշտ է որպեսիզի նրանց բնութագրերը լինեն նույնըː Համաձայն բաշխականության հատկության՝  <math> a \cdot P^{n} - b \cdot P^{n} = (a-b) \cdot P^{n}</math>ː

Օրինակ՝
: <math>2.3 \cdot 10^{-5} - 5.67 \cdot 10^{-6} = 2.34 \cdot 10^{-5} - 0.567 \cdot 10^{-5} = (2.34 - 0.567) \cdot 10^{-5} = 1.773 \cdot 10^{-5}</math>

=== Կամայական թվերի հանում ===
Տարբեր բազմությունների պատկանող թվերի հանման ժամանակ անհրաժեշտ է ավելի թույլ հզորությամբ բազմության թվերը ընդլայնել ավելի հզոր թվերի կողմը, կամ հնարավորության դեպքում երկու թվերն էլ ընդլայնել դրանք հավասարեցնելովː Օրինակ եթե անհրաժեշտ է  <math>9,56</math> ռացիոնալ թվից հանել բնական <math>4</math> թիվը, ապա օգտվելով այն բանից որ բնական թվերը համարվում են ռացիոնալ թվերի ենթախումբ  <math>4</math> բնական թիվը ընդլայնոմ ենք մինչև  <math>4,00</math> ռացիոնալ թիվ և իրարից հանում ենք երկու ռացիոնալ թվեր <math>9,56-4,00=5,56</math>ː Համանմանորեն հաշվի առնելով, որ <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{H}</math> կարելի է իրարից հանել նաև տարբեր բազմությունների թվերː

== Տես նաև ==
*[[Գումար]]
*[[Գումարում]]
*[[Բազմապատկում]]

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}

== Գրականություն ==
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Ильин |ссылка=http://edu.alnam.ru/book_man_b.php?id=11 |автор=Ильин В.А. и др. |заглавие=Математический анализ. Начальный курс. |год=1985 |издательство=МГУ |том=1 |страниц=662 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181123070705/http://edu.alnam.ru/book_man_b.php?id=11 |archive-date=2018-11-23 |тип=книга}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Эндертон |автор=Эндертон Г. |заглавие=Элементы теории множеств |год=1977 |оригинал=Elements of Set Theory |издательство=Gulf Professional Publishing |страниц=279 |isbn=0-12-238440-7}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Барсуков |ссылка=http://edu.alnam.ru/book_b_alg.php?id=14 |автор=Барсуков А.Н. |заглавие=Алгебра. Учебник для 6-8 классов. |год=1966 |издательство=Просвещение |страниц=296 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181220014245/http://edu.alnam.ru/book_b_alg.php?id=14 |archive-date=2018-12-20 |тип=книга}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Гусев |ссылка=http://edu.alnam.ru/book_dmath.php?id=12 |автор=Гусев В.А., Мордкович А.Г. |заглавие=Математика. Справочные материалы, книга для учащихся. |год=1988 |издательство=Просвещение |страниц=416 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181103074815/http://edu.alnam.ru/book_dmath.php?id=12 |archive-date=2018-11-03 |тип=книга}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Истомина |ссылка=http://www.minuspk.ru/resource/resource1422507032.pdf |автор=Истомина Н.Б. |заглавие=Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение. |год=2005 |издательство=Ассоциация XXI век |страниц=272 |isbn=5-89308-193-5 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160302035203/http://www.minuspk.ru/resource/resource1422507032.pdf |archive-date=2016-03-02 |тип=книга}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Выгодский |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |заглавие=Справочник по элементарной математике |год=2003 |место=М. |издательство=АСТ |isbn=5-17-009554-6 |тип=книга}}
* {{Ռուսերեն հոդված |ссылка=http://www.unn.ru/math/no/8/_nom8_002_igoshin.pdf |ref=Игошин |автор=В.И. Игошин |заглавие=КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА |год=2010 |издательство=Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского |тип=статья}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Кононюк |ссылка=http://ecat.diit.edu.ua:81/ft/GTM4.pdf |автор=Кононюк А.Е. |заглавие=Обобщенная теория моделирования. |год=2012 |издательство=Освіта України |том=2 |страниц=548 |isbn=978-966-7599-50-8 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304135517/http://ecat.diit.edu.ua:81/ft/GTM4.pdf |archive-date=2016-03-04 |тип=книга}}
* {{публикация|книга
 |часть ссылка     = http://www.artlebedev.ru/kovodstvo/97/
 |часть            = Тире, минус и дефис, или Черты русской типографики
 |заглавие         = [[Ководство]]
 |основной автор   = [[Лебедев, Артемий Андреевич|Артемий Лебедев]]
 |раздел           = § 97
 |год              = 2003
 |месяц            = 01
 |день             = 15
 |часть архив      = http://www.webcitation.org/61BGqwQ2N
 |часть архив дата = 2011-08-24
 |ref              = Лебедев
}}
* {{Ռուսերեն գիրք |ref=Конвей |автор=Conway, John B. |заглавие=Функция одной комплексной переменной |год=1986 |оригинал=Functions of One Complex Variable I |издательство=Springer Science |страниц=322 |isbn=0-387-90328-3}}

{{Արտաքին հղումներ}}

[[Կատեգորիա:Թվաբանություն]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկական գործողություններ]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկական նշաններ]]
[[Կատեգորիա:Տարրական թվաբանություն]]
[[Կատեգորիա:Տարրական մաթեմատիկա]]