Հանում

Պատկեր:Subtraction01.svg

$5-2=3$

Հանում (նվազեցում), երկու արգումենտների (նվազելի և հանելի) օժանդակ մաթեմատիկական բինար գործողություն (թվաբանական գործողություն), որի արդյունքն իրենից ներկայացնում է նոր թիվ (տարբերություն), որը ստացվում է առաջին արգումենտը երկրորդ արգումենտի չափով պակասացնելիս։ Գրելիս հիմնականում նշանակվում է «մինուս» նշանով՝ $a-b=c$։ Հանման գործողությունը գումարման գործողության հակառակն է։

Հանումը կարելի է գրելի հետևյալ՝ $\bar{S}(a,b)=c$ ընդհանուր տեսքով , որտեղ $a\in A$ և $b\in A$։ Այսինքն $(a,b)$տարրերի յուրաքանչյուր զույգին համապատասխանում է $A$բազմության $c=a-b$ տարրը, որը կոչվում է $a$ և $b$ թերի տարբերություն։

Հանումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ երկու արգումենտներն էլ պատկանում են միևնույն բազմությանը (ունեն նույն տիպը)։
Բացասակն թվերի առկայության դեպքում, տարբերությունը ավելի հարմար է դիտարկել որպես գումարման տեսակ՝ գումարում բացասական թվերով։ Օրինակ՝ $5-2=3$կարելի է դիտարկել որպես $5+(-2)=3$ գումարում։

Իրական թվերի բազմություն մեջ գումարման ֆունկցիայի որոշման տիրույթի գրաֆիկն ունի հարթության տեսք, որն անցնում է կոորդինատային առանցքի սկզբնակետով և առանցքների նկատմամբ ունի 45° թեքություն։

Հանումն ունի մի քանի կարևոր հատկություններ (օրինակ $A=$$ℝ$-ի համար)՝

Հակատեղափոխականութուն՝ $a-b=-(b-a),\mathrm{\forall }a,b\in A$

Ոչ զուգորդականություն՝ $(a-b)-c\ne a-(b-c),\mathrm{\forall }a,b,c\in A$

Բաշխականություն՝ $x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\mathrm{\forall }a,b\in A$

Երբ թվից հանում ենք $0$ արդյունքում ստանում ենք սկզբնական թիվը՝ $x-0=x,\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\exists }0\in A$ː

Որպես օրինակ դիտարկենք աջ կողմի նկարում պատկերված $5-2=3$ գրությունը, նկարում հինգ խնձորից հանվում է երկու խնձոր, որի արդյունքում ստանում ենք երեք խնձոր։ Անհրաժեշտ է ուշադրություն դարձնել, որ հինգ խնձորից երկու տանձ հանել չի կարելի։ Բացի խնձորների հաշվարկից, հանումը կարող է ներկայացնել նաև այլ ֆիզիկական և աբստրակտ մեծությունների տարբերություն, ինչպիսիք են օրինակ՝ բացասական թվերը, կոտորակային թվերը, վեկտորները, ֆունկցիաները և այլն։

Գրելաձև և տերմինաբանություն

Պատկեր:Դիագրամ 20.jpg

Սիմվոլներ և նշաններԿաղապար:Sfn

Հանումը գրվում է արգումենտների միջև մինուս սիմվոլի «$-$» կիրառմամբ, գրության այս ձևը կոչվում է ինֆիկսային նշանագրություն։ Տվյալ կոնտեկստում մինուս նշանը համարվում է բինար գործողություն։ Արդյունքը գրվում է հավասարման նշանի «$=$» կիրառմամբ, օրինակ՝

$a-b=c$ ,

$6-3=3$ («վեց հանած երեք հավասար է երեք») ,

$64-35=29$ («վաթսունչորս հանած երեսունհինգ հավասար է քասանինը») ։

Գրության մեջ օգտագործվող հանման նշանը շատ նման է այլ սիմվոլների, օրինակ՝ գծիկի, միացման գծիկի և այլն։ Սիմվոլի սխալ մեկնաբանությունից խուսափելու համար անհրաժեշտ է ուշադիր վերլուծել արտահայտությունը։

Հատկություններ

Թվային $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},ℝ$ բազմություններում հանման գործողությունը ունի հետևյալ հիմնական հատությունները.

• Տարբերությունը տեղափոխական չէ, արգումենտների տեղերը փոխելիս տարբերությունը (հավասարությունը) փոխվում է

Հակատեղափոխականություն՝ $a-b\ne b-a,\mathrm{\forall }a,b\in A$

• Տարբերությունը զուգորդական չէ՝ երեք և ավելի թվերի հաջորդական հանման ժամանակ գործողության կատրման հաջորդականությունը կարևոր է, սրանից կախված արդյունքը փոխվում է

Հակազուգորդականություն՝ $(a-b)-c\ne a-(b-c),\mathrm{\forall }a,b,c\in A$

• Հանումը բաշխական է, սա երկու բինար գործողությունների համաձայնություն է, որոշված տվյալ բազմության մեջ, հայտնի է նաև, որպես բաշխական օրենք

Բաշխականություն՝ $x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\mathrm{\forall }a,b\in A$

• $A$բազմության մեջ գոյություն ունի միակ չեզոք տարր, երբ թվից հանում ենք զրո (չեզոք տարր) ստանում ենք սկզբնականին հավասար թիվ՝

Զրոյական տարր՝ $x-0=x,\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\exists }0\in A$

• Զրո հանելու գործողությունը իդեմպոտենտ է, այսինքն գործողության կրկնակի կատարումը տալիս է միևնույն արդյունքը, ինչ որ ոչ կրկնակին

Իդեմպոտետություն՝ $x=x-0=(x-0)-0=((x-0)-0)-...-0,\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\exists }0\in A$,

• Հակադիր տարրի տարբերությունը թիվը կրկնապատկում է՝ $a-(-a)=a+a=2a,\mathrm{\forall }a\in A,\mathrm{\exists }-a\in A$ː

$\mathbb{N}$ բնական թվերի համար տարբերության արդյունքը միշտ չէ, որ որոշված է, որպեսիզի տարբերության արդյունքում ստանանք բնական թիվ նվազելին պետք է մեծ լինի հանելիիցː Բնական թվերի սահմանում անհնար է փոքր թվից հանել մեծըː

$\mathbb{Z},\mathbb{Q},ℝ$բազմություններում որոշված հանման գործողության արդյունքում ստանում ենք թիվ (տարբերություն) հենց այդ բազմությունից, հետևաբար հանման գործողությունը վերաբերում է փակ գործողություններին (փակ են այն գործողությունները որնց արդյունքները պատկանում են միևնույն բազմությանը), այսինքն թվերի $\mathbb{Z},\mathbb{Q},ℝ$ բազմությունները ձևավորում են օղակներ հանման գործողությանը համապատասխանː${\displaystyle }$

Հանման գործողության կատարում

Հանման գործողությունը կարելի է պատկերացնել որպես որևէ սև արկղ որի մուտքի մոտ նվազելին և հանելին են, իսկ ելքի մոտ տարբերությունըː

Երկու թվերի հանման գործողության գործնական կատարման ժամանակ անհրաժեշտ է այն բերել ավելի պարզ գործողությունների կատարման՝ պարզ հանում, փոխառություն, համեմատություն և այլնː Սրա համար մշակվել են հանման մի քանի տարբերակներ թվերի, վեկտորների, կոտորակների և այլ մեծությունների համարː Բնական թվերի բազմության մեջ այժմ օգտագործվում է հանման կարգային ալգորիթմըː Ընդ որում հանումը անհրաժեշտ է դիտարկել որպես ընթացակարգ (ի տարբերություն գործողության)ː

Երկու թվերի կարգային հանման գործողության մոտավոր ալգորիթմ

Պատկեր:Դիագրամ.png

Ինչպես տեսնում ենք գործեղությունը բավականին բարդ է, կազմված է որոշակի մեծ քանակի քայլերից և մեծ թվերի հանման ժամանակ կարող է զբաղեցնել տևական ժամանակː

Պատկեր:Диаграмма9.svg

6 թվից 4 թվի հանման գործողության քայլ առ քայլ կատարումը

Տվյալ կոնտեքստում պարզ հանումն իրենից ենթադրում է քսանից փոքր թվերի հանման գործողությունը, որը հերթությամբ կարող է բերվել դեկրիմենտացմանː Այն համարվում է դեկրիմենտացման հիպերօպերատոր՝

$a-b=\mathrm{hyper-1}(a,b)=\mathrm{hyper}(a,-1,b)=a^{(-1)}b$ $a{}^{(-1)}b=a-b=\underset{a}{\underbrace{1+1+\dots +1}}\underset{b}{\underbrace{-1-1-\dots -1}}$,

որտեղ՝ $1+1+\dots +1$ -ինկրիմենտացման գործողության հաջորդականությունն է, կատարվել է $a$ անգամ,
$-1-1-\dots -1$ - դեկրիմենտացման գործողության հաջորդականությունն է, իրականացված $b$ անգամː

Հանման գործողությունը ավելի արագ և պարզ դարձնելու համար օգտվում են պարզ հանման աղյուսակային մեթոդիցː Սրա համար նախապես կազմում են 18-ից 0 թվերի տարբերության բոլոր կոմբինացիաները և այն վերցնում են հետևյալ աղյուսակիցԿաղապար:Sfn.

Տասնորդական հաշվարկման համակարգի հանման աղյուսակ

-	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
3				0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
4					0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
5						0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
6							0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
7								0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
8									0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
9										0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Այս գործընթացը կիրառելի է բնական և ամբողջ (նշանը հաշվի առնելով) թվերի բազմությունների համարː Այլ թվերի համար կիրառվում են ավելի բարդ ալգորիթմներː

Թվերի հանում

Բնական թվեր

Օգտվենք $\mathbb{N}$ բնական թվերից որպես վերջավոր բազմությունների համարժեք դասː $C,A,B$ վերջավոր բազմությունների համարժեքության դասերից բիեկցիայով առաջացած բազմությունները նշանակենք փակագծերի օգնությամբ՝ $[C],[A],[B]$ː Այս դեպքում «հանման» թվաբանական գործողությունը սահմանվում է հետևյալ կորպ.

$[C]=[A]-[B]=[A\setminus B]$,

որտեղ $A\setminus B=\{C\in A\mid C\in ̸B\mid B\subset A\}$ — բազմությունների տարբերությունն էː Այս գործողությունը դասերի համար գրված է հակիրճ, այսինքն կախված չէ դասերի տարրերի ընտրությունից և համապատասխանում է ինդուկտիվ սահմանումներինː

$A$վերջավոր բազմության փոխադարձ միանշանակ պատկերումը $N_a$հատվածի վրա կարելի է հասկանալ որպես $A$ բազմության տարրերի համարակալում՝$A\sim N_a$ː Համարակալման այս պրոցեսը կոչվում է «հաշիվ»ː Այսպիսով հաշիվը դա փոխադարձ միանշանակ համապատասխանությունն է բազմության տարրերի և բնական թվերի շարքի հատվածի միջևː

Կարգային համակարգում բնական թվերի հանման համար կիրառվում է թվերի նշանակման կարգային ալգորիթմըː Եթե տրած են երկու, այնպիսի բնական

$a$

և

$b$

թվեր, որ

$a=a_{n-1}{a}_{n-2}\dots a_0,b=b_{n-1}{b}_{n-2}\dots b_0,\mathrm{\forall }{a}_k,b_k\in \{P\},\mathrm{\forall }{a}_{n-1},b_{n-1}\ne 0,a⩾b,\mathrm{\exists }0\in \mathbb{N}$

որտեղ՝ $a_{0\dots n-1}=a_k{P}^k,b_{0\dots n-1}=b_k{P}^k$, $n$ - թվի թվանշանների քանակն է $n\in \{1,2,\dots ,n\}$, $k$ - կարգի հերթական համարն է (դիրքը), $k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$, $P$ - հաշվարկման հիմնական համակարգն է, $\{P\}$-ն տվյալ հաշվարկման համակարգի թվային նշանների (թվերի) բազմությունն է$\{P_2\}=\{0,1\}$, $\{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, $\{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F\}$, երբ

$c=a-b,c_{n-1}{c}_{n-2}\dots c_0=a_{n-1}{a}_{n-2}\dots a_0-b_{n-1}{b}_{n-2}\dots b_0,$

Հանելով ըստ կարգերի կստանանք՝

• $c_0=\{\begin{array}{cc}{a}_0-b_0,& \text{if }{a}_0⩾b_0\\ a_0+P-b_0,a_1=a_1-1& \text{if }{a}_0<b_0\end{array}$
• $c_1=\{\begin{array}{cc}{a}_1-b_1,& \text{if }{a}_1⩾b_1\\ a_1+P-b_1,a_2=a_2-1& \text{if }{a}_1<b_1\end{array}$
• $.........$
• $c_{n-1}=\{\begin{array}{cc}{a}_{n-1}-b_{n-1},& \text{if }{a}_{n-1}⩾b_{n-1}\\ a_{n-1}+P-b_{n-1},a_n=a_n-1& \text{if }{a}_{n-1}<b_{n-1}\end{array}$

Այսպիսով հանման գործեղությունը բրվում է բնական թվերի պարզ հանման $a_k-b_k$ գործողության հաջորդական կատարման, անհրաժեշտության դեպքում փոխառության կիրառմամբ, որը կատարվում է կամ աղյուսակային մեթոդով կամ դեկրիմենտացմամբ (հաշվով)ː

Ցանկացած հաշվարկման համակարգում հանման գործողությունը կատարվում է նույն կանոննորով, ինչ որ տասնորդական հաշվարկման համակարգում, քանի որ դրանք բոլորը կատարվում են բազմանդամների համապատասխան գործողությունների կատարման կանոններին համապատասխանː Ընդ որում անհրաժեշտ է օգտվել տվյալ հաշվարկման համակարգի $P$հիմքին համապատասխան հանման աղյուսակիցː

Երկուական, տասնորդական և տասնվեցական համակարգերում հանման գործողության օրինակներ, հարմարավետության համար թվերը համապատասխան կարգերով գրված են իրար տակ, փոխառման նշանը գրվում է վերևից, բացակայող կարգերը ավելացվում են զրոներով՝

$\begin{array}{ccccccc}& .& .& {}_{10}& & .& {}_{10}\\ & 1& 1& 0& 1& 1& 0\\ -& 0& 1& 1& 1& 0& 1\\ & & 1& 1& 0& 0& 1\end{array},\begin{array}{cccc}& .& {}_{10}& \\ & 8& 4& 5& 6& 7\\ -& 3& 7& 5& 4& 1\\ & 4& 7& 0& 2& 6\end{array},\begin{array}{ccccccc}& .& {}_{10}& & & {}_{.}& {}_{10}\\ & C& 5& 6& D& E& 4\\ -& 0& F& 2& A& 1& F\\ & B& 6& 4& 3& C& 5\end{array}$

Ամբողջ թվեր

Ամբողջ թվերի բազմությունը $\mathbb{N}$բնական թվերի ընդլայնումն է, որն առաջանում է $-n$ տեսքի բացասական թվերիԿաղապար:Sfn ավելացմաբː Ամբողջ թվերի բազմությունը նշանակում են $\mathbb{Z}$-ովː Ամբողջ թվերի հետ կատարվող հանրահաշվական գործողությունները սահմանվում են որպես բնական թվերի համապատասխան գործողությունների անընդհատ շարունակությունː

Բացասական թվերի առկայությունը թույլ է տալիս հանումը դիտարկել (և սահմանել), որպես գումարման տարատեսակ՝ բացասական թվի գումարումː Ի տարբերություն բնական թվերի ամբողջ թվերը թվային առանցքի վրա ուղղված են հակառակ ուղղությամբ, սա որոշակիորեն փոխում է հանման գործողության ընթացքըː Անհրաժեշտ է հաշվի առնել թվերի փոխադարձ ուղվածությունները, այստեղ հնարավոր են մի քանի տարբերակներ.

Պատկեր:Диаграмма4.svg

Դրական և բացասական թվերը թվային առանցքի վրա

• Եթե երկու արգումենտներն էլ դրական են, ապա՝ $c=a-b$,
• Եթե բացասական է արգումենտներից միայն մեկը, ապա՝ $c=-a-b=-(a+b)$կամ $c=a-(-b)=a+b$,
• Եթե երկու արգումենտներն էլ բացասական են, ապա՝ $c=(-a)-(-b)=-a+b=b-a$ː

Այստեղ և հաջորդիվ ևս օգտագործվելու է կարգային հանման ալգորիթմըː Օրինակ դիտարկենք հետևյալ արտահայտությունը՝ $-6-4=-10$, քանի որ $-6$և $4$ թվերն ունեն տարբեր նշաններ, մինուսը դուրս բերենք փակագծերից $-6-4=-(6+4)$, շարունակելով կատարել հանման գործողությունը կստանանք $-10$ː

Ռացիոնալ թվեր

Ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակում են $\mathbb{Q}$(Կաղապար:Lang-en «քանորդ») և կարող է գրվել հետևյալ կերպ՝ $\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}\mid m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}\}$

Սովորական՝ $\pm \frac{m}{n}$ տեսքի կոտորակային ռացիոնալ թվերի հանման համար, անհրաժեշտ է դրանք ընդհանուր հայտարարի բերելː

Եթե տրված են երկու այնպիսի $a$ և $b$ռացիոնալ թվեր, որ $a=\frac{m_a}{n_a},b=\frac{m_b}{n_b}\mathrm{\forall }{m}_a,n_a,m_b,n_b\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }{n}_a,n_b\ne 0$ (կոտորակները չեն կրճատվում), ապա՝$c=a-b=\frac{m_a}{n_a}-\frac{m_b}{n_b}=\frac{m_a\cdot n_b}{n_a\cdot n_b}-\frac{n_a\cdot m_b}{n_a\cdot n_b}=\frac{m_a\cdot n_b-m_b\cdot n_a}{n_a\cdot n_b}$ Կաղապար:Sfn, կամ անհրաժեշտ է գտնել հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըː Գործողությունների հաջորդականությունը հետևյալն է.

• • Գտնում ենք հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը՝ $M=[n_a,n_b]$ː
  • Բազմապատկում ենք առաջին կոտորակի համարիչը և հայտարարը՝ $\frac{M}{n_a}$ː
  • Բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի համարիչ և հայտարարը՝ $\frac{M}{n_b}$ː

Այս գործողությունից հետո կոտորակների հայտարարները համընկնում են (հավասար են $M$-ի)ː Մի շարք պարզ դեպքերում սա հերթացնում է հանման գործեղությունը, բայց մեծ թվերի դեպքում հաշվարկները զգալիորեն բարդանում ենː $M$-ի փոխարեն կարելի է վերցնել ցանկացած այլ ընդհանուր բազմապատիկː

Հանման օրինակ՝

$\frac{2}{3}-\frac{1}{5}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}-\frac{3\cdot 1}{3\cdot 5}=\frac{2\cdot 5-3\cdot 1}{3\cdot 5}=\frac{10-3}{15}=\frac{7}{15}$

Եթե երկու կոտորակների հայտարարները համընկնում են ապա՝

$\frac{1}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1-2}{4}=-\frac{1}{4}$

Եթե հայտարարները բազմապատիկ են մեկ այլ թվի, ապա ձևավորում ենք միայն մի կոտորակ՝

$\frac{3}{8}-\frac{1}{4}=\frac{3}{8}-\frac{1\cdot 2}{4\cdot 2}=\frac{3-1\cdot 2}{8}=\frac{1}{8}$

Ռացիոնալ թվերի «հանման» թվաբանական գործողությունը վերաբերում է փակ գործողություններինː

Իրական թվեր

Անվերջ տասնորդական կոտորակների տեսքով ներկայացված իրական թվերի հետ կատարվող հանրահաշվական գործողությունները սահմանվում են որպես ռացիոնալ թվերի համապատասխան գործողությունների անընդհատ շարունակություն ː

Եթե տրված են երկու անվերջ տանորդական կոտորակային թվեր՝

$\alpha =\pm a_0,a_1{a}_2\dots a_n\dots =\{a_n\}$, $\beta =\pm b_0,b_1{b}_2\dots b_n\dots =\{b_n\}$

սահմանված համապատասխան ռացիոնալ թվերի ֆունկցիոնալ հաջորդականություններով, նշանակված որպես՝ $\alpha =[a_n]$ և $\beta =[b_n]$, ապա նրանաց տարբերությունը կլինի $\gamma =[c_n]$, սահմանված $\{a_n\}$ և $\{b_n\}$ հաջորդականությունների տարբերությամբ՝

$\gamma =\alpha -\beta \stackrel{\text{def}}{=}[a_n]-[b_n]=[a_n-b_n]$,$\gamma =\alpha -\beta$

իրական թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝

$\mathrm{\forall }{a}^{\prime },a^{″},b^{\prime },b^{″}\in \mathbb{Q};(a^{\prime }⩽\alpha ⩽a^{″})\wedge (b^{\prime }⩽\beta ⩽b^{″})\Rightarrow (a^{\prime }-b^{\prime }⩽\alpha -\beta ⩽a^{″}-b^{″})\Rightarrow (a^{\prime }-b^{\prime }⩽\gamma ⩽a^{″}-b^{″})$ː

Այսպիսով երկու  

$\alpha$

և

$\beta$

իրական թվերի տարբերությունը այնպիսի

$\gamma$

իրական թիվ է, որը մի կողմից պարունակվում է բոլոր

$a^{\prime }-b^{\prime }$

, մյուս կողմից բոլոր

$a^{″}-b^{″}$

տարբերություններումԿաղապար:Sfnː

Գործնականում որպեսիզի հանենք երկու $\alpha$ և $\beta$թվերը, անհրաժեշտ է դրանք փոխարինել պահանջվող ճշտությամբ մոտավոր ռացիոնալ $a$ և $b$թվերեվː Որպես $\alpha -\beta$-ի մոտավոր տարբերություն վերցնում են $a-b$ ռացիոնալ թվերի տարբերությունըː Ընդ որում կարևոր չէ, թե որ կողմից (պակասորդի թե ավելցուկի) են վերցված թվերը, դրանք մոտեցնում են $\alpha$-ին և $\beta$-ինː Գումարումը կատարվում է համաձայն կարգաին գումարման ալգորիթմիː

Մոտավոր թվերի հանման ժամանակ նրանց բացարձակ սխալանքները գումարվում են $\mathrm{\Delta }(a-b)=\mathrm{\Delta }a+\mathrm{\Delta }b$, որպես թվի բացարձակ սխալանք վերցվում է տվյալ թվի վերջին թվանշանի կեսըː Տարբերության հարաբերական սխալանքը հավասար է արգումենտների ամենամեծ և ամենափոքր հարաբերական սխալանքների տարբերությանը, գործնականում վերցվում է ամենամեծ սխալանքը $\delta (a-b)=max(\delta a,\delta b)$ː Ստացված արդյունքը կլորացվում է մինչև թվի առաջին ճիշտ իրական արժեքը, մոտավոր թվի իրական արժեքը համարվում է ճիշտ, եթե թվի բացարձակ սխալանքը չի գերազանցում այդ թվին համապատասխանող կարգի միավորի կեսըː

Հանման օրինակ՝ $\gamma =\pi -e$, ստորակետից հետո մինչև 3 թվի ճշտությամբ՝

• Կլորացնում ենք տրված թիվը ստորակետից հետո մինչև 4-րդ թվանշանը (հանման ճշտության բարձրցման համար),
• Կստանանք՝ $\pi \approx 3.1416,e\approx 2.7183$,
• Հանում ենք ըստ կարգերի՝ $\gamma =\pi -e\approx 3.1416-2.7183\approx 0.4233$,
• Կլորացնում ենք մինչև ստորակետից հետո 3-րդ թվանշանը՝ $\gamma \approx 0.423$ː

Գրաֆիկ

Իրական թվերի տարբերության ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հարթության տեսք, որն անցնում է կոորդինատային առանցքի սկզբնակետով և թեքվում է առանցքի հանդեպ 45° աստիճան անկյան տակː

Պատկեր:График2.jpg

f(c)=a-b ֆունկցիայի գրաֆիկ

Քանի որ $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ$, ապա այս բազմությունների համար ևս հանման ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կպատկանի այս հարթությանըː

Կոմպլեքս թվեր

Պատկեր:Диаграмма11.svg

Երկու կոմպլեքս թվերի c=a-b տարբերությունը կարող է ներկայացվել երկրաչափորեն եռանկյան կառուցման տեսքով

Կոմպլեքս թվերի բազմությունը թվաբանական գործողություների հետ միասին համարվում է դաշտ և սովորաբար նշանակվում է $ℂ$ սիմվոլովː

Կոմպլեքս թվերը մեկը մյուից հանվում են իրական և կեղծ մասերի իրարից հանելու ճանապարհովԿաղապար:Sfnː Սա նշանակում է, որ՝

$c+fi=(a+di)-(b+ei)=(a-b)+(d-e)i,$

որտեղ՝ $c,a,b,d,e,f\in ℝ$, $i$ — կեղծ միավորն էː Կոմպլեքս հարթության մեջ կոմպլեքս թվերը որպես վեկտորներ օգտագործելու ժամանակ կոմպլեքս թվերի հանմանը կարելի է տալ հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը՝ $a+di$ և $b+ei$ կոմպլեքս թվերի տարբերությունը, որոնք կոմպլեքս հարթության մեջ ներկայացված են վեկտորներ տեսքով, իրենից ներկայացնում է վեկտոր, որը միացնում է նավազելի և հանելի վեկտորների ծայրերը և ուղղված է հանելիից դեպի նվազելի, այն համարվում է վեկտորների տարբերություն և համապատասխանաբար կոմպլեքս թվերի տարերություն (նույն արդյունքը կստանանք եթե նվազելի վեկտորին ավելացնենք հանելի վեկտորի հակադարձը)ː

Համանմանորեն n չափանի կոմպլեքս թվերի համար. $A=a_{1}1+a_2{i}_2+\dots +a_n{i}_n,B=b_{1}1+b_2{i}_2+\dots +b_n{i}_n$$C=A-B=(a_{1}1+a_2{i}_2+\dots +a_n{i}_n)-(b_{1}1+b_2{i}_2+\dots +b_n{i}_n)=$ $=(a_1-b_1)1+(a_2-b_2)i_2+\dots +(a_n-b_n)i_n=c_{1}1+c_2{i}_2+\dots +c_n{i}_n$

Էքսպոնենցիալ գրելաձև

Էքսպոնենցիալ գրության ժամանակ թվերը գրվում են $a=\pm x\cdot P^{\pm n}$ տեսքով, որտեղ $x$-ը մանտիսն է, $P^n$-ը թվի բնութագիրն է, $P$ -ն հաշվարկման համակարգի հիմքըː Էքսպոնենցիալ ձևով գրված երկու թվերի հանման համար անհրաժեշտ է որպեսիզի նրանց բնութագրերը լինեն նույնըː Համաձայն բաշխականության հատկության՝ $a\cdot P^n-b\cdot P^n=(a-b)\cdot P^n$ː

Օրինակ՝

$2.3\cdot 10^{-5}-5.67\cdot 10^{-6}=2.34\cdot 10^{-5}-0.567\cdot 10^{-5}=(2.34-0.567)\cdot 10^{-5}=1.773\cdot 10^{-5}$

Կամայական թվերի հանում

Տարբեր բազմությունների պատկանող թվերի հանման ժամանակ անհրաժեշտ է ավելի թույլ հզորությամբ բազմության թվերը ընդլայնել ավելի հզոր թվերի կողմը, կամ հնարավորության դեպքում երկու թվերն էլ ընդլայնել դրանք հավասարեցնելովː Օրինակ եթե անհրաժեշտ է $9,56$ ռացիոնալ թվից հանել բնական $4$ թիվը, ապա օգտվելով այն բանից որ բնական թվերը համարվում են ռացիոնալ թվերի ենթախումբ $4$ բնական թիվը ընդլայնոմ ենք մինչև $4,00$ ռացիոնալ թիվ և իրարից հանում ենք երկու ռացիոնալ թվեր $9,56-4,00=5,56$ː Համանմանորեն հաշվի առնելով, որ $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ\subset ℍ$ կարելի է իրարից հանել նաև տարբեր բազմությունների թվերː

Տես նաև

• Գումար
• Գումարում
• Բազմապատկում

Գրականություն

• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
• Կաղապար:Ռուսերեն հոդված
• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք
• Կաղապար:Публикация
• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք