Դիտել Հիպերբոլ էջի վիքիկոդը

[[Պատկեր:HyperbolaCentralEquation.png‎|350px|աջից]]
===Սահմանում===
Հիպերբոլ կոչվում է [[հարթություն|հարթության]] այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունների տարբերության մոդուլը տրված երկու <math>F_1</math> և <math>F_2</math> կետերից (որոնք կոչվում են հիպերբոլի ֆոկուսներ կամ կիզակետեր) հաստատուն է՝ 
: <math>\bigl||PF_1|-|PF_2|\bigr|= 2a,</math> եթե <math> |F_1F_2| > 2a > 0</math>

<math>F_1 F_2</math> հատվածի երկարությունը, որը կնշանակենք <math>2c</math>-ով, կոչվում է ֆոկուսային հեռավորություն, իսկ <math>F_1 F_2</math>-ի միջնակետը՝ հիպերբոլի կենտրոն։
Հարթության վրա ուղղանկյուն կորդինատային համակարգն ընտրենք այնպես, որ <math>Ox</math> առանցքն անցնի <math>F_1</math> և <math>F_2</math> կետերով, իսկ <math>Oy</math> առանցքը՝ <math>F_1 F_2</math>-ի միջնակետով (դիտել նկարը)։
Այդ դեպքում <math>F_1</math> և <math>F_2</math> կետերի կոորդինատները համապատասխանաբար կլինեն <math>(-c,0)</math> և <math>(c,0)</math>։ 
Դիցուք <math>M(x;y)</math>-ը հիպերբոլի կամայական կետ է. ըստ [[պարաբոլ]]ի սահմանման՝
: <math>|PF_1 - PF_2|=2a</math>
կամ
: <math>PF_1 - PF_2=\pm 2a</math>

Օգտվելով երկու կետերի հեռավորության բանաձևից՝ ստանում ենք՝ 
: <math>\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a</math> (1)

Սա էլ հենց հանդիսանում է հիպերբոլի հավասարումը ընտրված կոորդինատային համակարգում։ Երկրորդ գումարելին տանենք հավասարման աջ մաս և երկու կողմը բարձրացնենք քառակուսի, 
: <math>(x+c)^2+y^2=4a^2 \pm 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2</math>

Պարզ ձևափոխություններից հետո ստանում ենք `
: <math>(c^2-a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2-a^2)</math>

Քանի որ ( ըստ եռանկյան անահավասարության) <math>c>a</math>, ապա <math>c^2-a^2>0</math>: Նշանակելով <math>b^2 = c^2-a^2</math>, կստանանք
: <math>b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2</math>
Կամ
: <math> \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 </math>, (2) 
որը կոչվում է հիպերբոլի կանոնական հավասարում։ Ինչպես և [[էլիպս]]ի դեպքում, կարելի է ցույց տալ, որ ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը (2)-ին բավարարող ցանկացած <math>M(x;y)</math> կետ բավարարում է նաև (1)-ին։

<math>Ox</math> առանցքը կոչվում է հիպերբոլի իրական առանցք <math>Oy</math>-ը` կեղծ առանցք։
<math>2a</math>-ն և <math>2b</math>-ն կոչվում են հիպերբոլի իրական և կեղծ առանցքների երկարություններ։ <math>w =\frac{c}{a}</math> -ն (որտեղ՝ <math>w=\varepsilon</math>) կոչվում է հիպորբոլի [[էքսցենտրիսիտետ]]։ Էլիպսի և հիպերբոլի համար <math>x = -\frac{a}{w}</math> (որտեղ՝ <math>w=\varepsilon</math>) և x = <math>\frac{a}{w}</math> (որտեղ՝ <math>w=\varepsilon</math>) ուղիղները կոչվում են դիրեկտրիստներ։
{{Արտաքին հղումներ}}

{{ՀՍՀ|հատոր=6|էջ=415}}

[[Կատեգորիա:Կորեր]]
[[Կատեգորիա:Վերլուծական երկրաչափություն]]
[[Կատեգորիա:Հարթաչափություն]]
[[Կատեգորիա:Էվկլիդեսյան տարածաչափություն]]