Հիպերբոլ

Սահմանում

Հիպերբոլ կոչվում է հարթության այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունների տարբերության մոդուլը տրված երկու $F_1$ և $F_2$ կետերից (որոնք կոչվում են հիպերբոլի ֆոկուսներ կամ կիզակետեր) հաստատուն է՝

$||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a,$ եթե $|F_1{F}_2|>2a>0$

$F_1{F}_2$ հատվածի երկարությունը, որը կնշանակենք $2c$-ով, կոչվում է ֆոկուսային հեռավորություն, իսկ $F_1{F}_2$-ի միջնակետը՝ հիպերբոլի կենտրոն։ Հարթության վրա ուղղանկյուն կորդինատային համակարգն ընտրենք այնպես, որ $Ox$ առանցքն անցնի $F_1$ և $F_2$ կետերով, իսկ $Oy$ առանցքը՝ $F_1{F}_2$-ի միջնակետով (դիտել նկարը)։ Այդ դեպքում $F_1$ և $F_2$ կետերի կոորդինատները համապատասխանաբար կլինեն $(-c,0)$ և $(c,0)$։ Դիցուք $M(x;y)$-ը հիպերբոլի կամայական կետ է. ըստ պարաբոլի սահմանման՝

$|P{F}_1-P{F}_2|=2a$

կամ

$P{F}_1-P{F}_2=\pm 2a$

Օգտվելով երկու կետերի հեռավորության բանաձևից՝ ստանում ենք՝

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=\pm 2a$ (1)

Սա էլ հենց հանդիսանում է հիպերբոլի հավասարումը ընտրված կոորդինատային համակարգում։ Երկրորդ գումարելին տանենք հավասարման աջ մաս և երկու կողմը բարձրացնենք քառակուսի,

$(x+c{)}^2+y^2=4a^2\pm 4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+(x-c{)}^2+y^2$

Պարզ ձևափոխություններից հետո ստանում ենք `

$(c^2-a^2)x^2-a^2{y}^2=a^2(c^2-a^2)$

Քանի որ ( ըստ եռանկյան անահավասարության) $c>a$, ապա $c^2-a^2>0$: Նշանակելով $b^2=c^2-a^2$, կստանանք

$b^2{x}^2-a^2{y}^2=a^2{b}^2$

Կամ

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, (2)

որը կոչվում է հիպերբոլի կանոնական հավասարում։ Ինչպես և էլիպսի դեպքում, կարելի է ցույց տալ, որ ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը (2)-ին բավարարող ցանկացած $M(x;y)$ կետ բավարարում է նաև (1)-ին։

$Ox$ առանցքը կոչվում է հիպերբոլի իրական առանցք $Oy$-ը` կեղծ առանցք։ $2a$-ն և $2b$-ն կոչվում են հիպերբոլի իրական և կեղծ առանցքների երկարություններ։ $w=\frac{c}{a}$ -ն (որտեղ՝ $w=\epsilon$) կոչվում է հիպորբոլի էքսցենտրիսիտետ։ Էլիպսի և հիպերբոլի համար $x=-\frac{a}{w}$ (որտեղ՝ $w=\epsilon$) և x = $\frac{a}{w}$ (որտեղ՝ $w=\epsilon$) ուղիղները կոչվում են դիրեկտրիստներ։ Կաղապար:Արտաքին հղումներ