Էլիպս

Ձվածիրը, կամ Էլիպսը երկրաչափական պատկեր է։ Էլիպս է կոչվում հարթության այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունների գումարը տրված երկու
$F1$ և $F2$ կետերից հաստատուն է և մեծ է $F_1{F}_2$ հատվածի երկարությունից։Այդ հաստատունը կնշանակենք 2a-ով։ $F1$-ը և $F2$-ը կոչվում են էլիպսի ֆոկուսներ, իսկ $F_1{F}_2$ հատվածի երկարությունը կնշանակենք 2c-ով, և կանվանենք ֆոկուսային հեռավորություն։

Էլիպսի հավասարումը

Հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգն ընտրենք այնպես, որ Ox առանցքն անցնի $F_1$ և $F_2$ կետերով, իսկ Oy առանցքը՝ $F_1{F}_2$ հատվածի միջնակետով։ Այս դեպքում, ըստ սահմանման, էլիպսի ցանկացած P(x, y) կետի համար՝

P$F_1$ + P$F_2$ = 2a

Հաշվի առնելով, որ $F_1$ կետի կոորդինատներն են $F_1$(-c;0) , իսկ $F_2$ կետինը $F_1$(c;0), երկու կետի հեռավորության բանաձևից ստանում ենք՝

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a$

Սա էլ հենց հանդիսանում է էլիպսի հավասարումը ընտրված կոորդինատային համակարգում։ Փորձենք այն գրել կոմպակտ տեսքով։ Դրա համար երկրորդ գումարելին տեղափոխենք հավասարման աջ մաս և երկու կողմերը բարձրացնենք քառակուսի՝

$(x+c{)}^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+(x-c{)}^2+y^2$

Պարզեցումներից հետո ստանում ենք՝

$(a^2-c^2)x^2+a^2{y}^2=a^2(a^2-c^2)$

Քանի որ $a>c$, ապա $a^2-c^2$ > 0 ։ Նշանակենք $b^2=a^2-c^2$, ուստի $b=\sqrt{a^2-c^2}$ հետևաբար հավասարումը կընդունի հետևյալ տեսքը՝

$b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2$

կամ

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

որը կոչվում է էլիպսի կանոնական հավասարում ։ Այստեղ 2a-ն և 2b-ն կոչում են էլիպսի համապատասխանաբար մեծ և փոքր առանցքների երկարություններ, իսկ կոորդինատների սկզբնակետը՝ էլիպսի կենտրոն։ $e=\frac{c}{a}$ թիվը կոչվում է էլիպսի էքսցենտրիսիտետ ։ Կոորդինատային առանցքների հետ հատման կետերը կոչվում են էլիպսի գագաթներ։

Դիտողություն

Նշենք, որ իրականում մենք ցույց տվեցինք, որ(1) հավասարմանը բավարարող ցանկացած M(x;y) բավարարում է նաև (2) հավասարմանը։ Կարելի է ցույց տալ, որ ճիշտ է նաև հակառակը, այսինքն (2)-ին բավարարող ցանկացած M(x;y) կետ բավարարում է նաև (1)-ին։ Օրինակ։ Գտնել հետևյալ հավասարումով տրված էլիպսի ֆոկուսների հեռավորությունը և էքսցենտրիսիտետը։

$3x^2+4y^2=5$

Լուծում

հավասարման երկու մասը բաժանելով 5-ի՝ ստանում ենք

$\frac{x^2}{\frac{5}{3}}+\frac{y^2}{\frac{5}{4}}=1$

ուստի $a=\sqrt{\frac{5}{3}}$; $b=\sqrt{\frac{5}{4}}$ $c^2=a^2-b^2=\frac{5}{3}-\frac{5}{4}=\frac{5}{12}$ ,$2c=2\sqrt{\frac{5}{12}}$ $e=\sqrt{\frac{5}{12}}:\sqrt{\frac{5}{3}}$ = $\frac{1}{2}$ 001

Գրականություն

• Ի․ Պրիվալով "Անալիտիկ երկրաչափություն" Գրքի օնլայն տարբերակը Կաղապար:Webarchive