Դիտել Մակերես էջի վիքիկոդը

{{անաղբյուր}}
[[Պատկեր:Area.svg|right|thumb|Այս երեք երկրաչափական պատկերների ընդհանուր մակերեսը կազմում է մոտավորապես 15.59 վանդակ։]]
'''Մակերես,''' մեծություն, որն արտահայտում է [[երկչափ]] [[մակերևույթ]]ի կամ հարթության կոնտուրի չափը։ Մակերեսը կարելի է պատկերացնել որպես տրված հաստությամբ մատերիալի քանակություն, որն անհրաժեշտ է ծածկելու [[կոնտուր]]ով շրջափակված մակերևույթը կամ [[ներկ]]ի քանակությունը, որ անհրաժեշտ է այդ մակերևույթը մի շերտով ծածկելու համար։

'''Մակերեսը''' միավոր [[քառակուսի]]ների այն քանակությունն է, որով ամբողջովին ծածկվում է տվյալ պատկերը։ Եթե, օրինակ, ասում են, որ պատկերի մակերեսը 16.3 սմ<sup>2</sup> է, ապա դա նշանակում է, որ տվյալ պատկերն ամբողջովին ծածկելու համար անհրաժեշտ է 16.3 հատ 1×1 սմ չափսերով քառակուսիներ։ Պատկերի՝ միավոր քառակուսիների վերածումը կոչվում է՝ քառակուսացում։

Երկրաչափական պարզ պատկերները՝ եռանկյունիները, շրջանը և այլն, ունեն մակերեսը չափելու բանաձևեր։

Երկրաչափական պատկերների մակերեսի հաշվարկման ընդհանուր մեթոդն ապահովում է ինտեգրալային հաշվարկը։ Մակերեսի հիմնական գաղափարի ընդհանրացումը դարձավ բազմության չափանիշների տեսությունը, որը կիրառելի է երկրաչափական օբյեկտների ավելի լայն դասի համար։

Գործնականում մակերեսի մոտավոր հաշվարկման համար օգտագործում են հատուկ հաշվարկման սարք՝ պլանաչափ։

=== <u>Մակերես հասկացողության սահմանում</u> ===
Մակերեսը ֆունկցիա է, որն ունի հետևյալ հատկությունները.

* Դրական, այսինքն մակերեսը միշտ դրական է;
* Հավելում, այսինքն պատկերի մակերեսը հավասար է երկրաչափական տվյալ պատկերը կազմող այլ պատկերների մակերեսների գումարին՝ առանց ընդհանուր ներքին կետերի;
* Անփոփոխություն, այսինքն համանման պատկերների մակերեսներն իրար հավասար են;
* Նորմալացում, այսինքն միավոր քառակուսու մակերեսը հավասար է մեկի։

<br />
== Չափի միավորներ ==
Երկարության յուրաքանչյուր միավորին համապատասխանում է մակերեսի այն միավորը, որը տվյալ երկարության վրա կառուցված քառակուսու մակերեսն է։

[[Միավորների միջազգային համակարգ]]ում մակերեսի միավորն է քառակուսի մետրը, որն այդ համակարգի հիմնական միավորներից մեկն է։ Ընդ որում՝

:::::<big>'''1մ<sup>2</sup>=100սմ<sup>2</sup>=1000000մմ<sup>2</sup>=10<sup>-6</sup>կմ<sup>2</sup>'''</big>:
Քառակուսի մետրի գրառման ձևերն են՝ '''<big>քառ.մ. մ.(մակերես), ք.մ. մ.(մակերես), մ<sup>2</sup></big>'''։
=== Այլ միավորներ ===
:::::1ար=100 քառակուսի մետր
Չնայած նրան, որ '''ար'''ը դուրս է եկել գործածությունից, '''հեկտար'''ը հողի մակերեսի չափման լայնորեն գործածվող միավոր է՝<br />
:::::1հեկտար(հա)=100ար=10 000 քառակուսի մետր=0.01 քառակուսի կիլոմետր (կմ<sup>2</sup>)
Հողի չափման մյուս տարածված միավորն է '''ակր'''ը՝<br />
:::::1ակր=4 840 քառակուսի յարդ=43 560 քառակուսի ոտնաչափ=4046.86 քառակուսի մետր։
Ակրը կազմում է հեկտարի մոտավորապես 40%-ը։

== Երկրաչափական պատկերների մակերեսների բանաձևեր ==
{{հիմնական|Մակերեսների բանաձևեր}}
{| class="wikitable"
! Պատկերը
! Բանաձևը
! Փոփոխականները
|-
|Կանոնավոր (հավասարակողմ) եռանկյուն
||<math>\frac{1}{4} \sqrt{3}s^2\,\!</math>
||<math>s</math>-ը եռանկյունու կողմի երկարությունն է։
|-
|rowspan=3|[[Եռանկյուն]]ի
|<math>\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,\!</math>
|<math> s </math>-ը կիսա[[պարագիծ]]ն է, <math>a</math>-ն, <math>b</math>-ն և <math>c</math>-ն կողմերի երկարություններն են։
|-
|<math>\tfrac12 a b \sin(C)\,\!</math>
|<math>a</math>-ն և <math>b</math>-ն երկու որևէ կողմերն են, <math>C</math>-ն՝ նրանց կազմած [[անկյուն]]ը։
|-
|<math>\tfrac12bh \,\!</math>
|<math>b</math>-ն և <math>h</math>-ը եռանկյունու հիմքն ու բարձրությունն են։ 
|-
|[[Շեղանկյուն]]ի
|<math>\tfrac12ab</math>
|<math>a</math>-ն և <math>b</math>-ն անկյունագծերն են։ 
|-
|[[Զուգահեռագիծ]]
|<math>bh\,\!</math>
|<math>b</math>-ն հիմքի երկարությունն է, <math>h</math>-ը՝ բարձրությունը։ 
|-
|[[Սեղան (մաթեմատիկա)|Սեղան]]
|<math>\tfrac12(a+b)h \,\!</math>
|<math>a</math>-ն և <math>b</math>-ն զուգահեռ կողմերն են (հիմքերը) <math>h</math>-ը՝ նրանց միջև եղած հեռավորությունը։
|-
|[[Շրջան (երկրաչափություն)|Շրջան]]
|<math>\pi r^2\ \text{կամ}\ \frac{\pi d^2}{4} \,\!</math>
|<math>r</math>-ը շառավիղն է, <math>d</math>-ն՝ տրամագիծը։
|-
|[[Սեկտոր (երկրաչափություն)|Շրջանի սեկտոր]]
|<math>\frac{\theta}{2}r^2\ \text{կամ}\ \frac{L \cdot r}{2}\,\!</math>
|<math>r</math>-ը <math>\theta</math>-ն շառավիղն ու անկյունը [[ռադիան]]ներով, <math>L</math>-ը պարագիծն է։
|-
|[[Էլիպս]]
|<math>\pi ab \,\!</math>
|<math>a</math>-ն և <math>b</math>-ն կիսաառանցքներն են։
|}

== Մակերեսների բանաձևեր ==

=== [[Շրջան (երկրաչափություն)|Շրջան]] ===
:<math>\mathrm{S} = \pi r^2.\,</math> <math>\mathrm{S} = \frac{\pi d^2}{4}\,</math>  որտեղ r-ը շրջանի շառավիղն է իսկ d-ն տրամագիծը

=== [[Քառակուսի]] ===
<math>\mathrm{S} = a^2.\,</math>

=== [[Եռանկյուն]] ===
#<math>\mathrm{S}=\frac{1}{2}bh</math># <math>S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} bh_b</math>'', քանի որ <math>\ h_b = a \sin \gamma</math>, ուստի''
# <math>S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} ab \sin \gamma</math>
# <math>S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} r(a+b+c) = pr</math>
# <math>S_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}</math>
# <math>S_{\triangle ABC}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = {1 \over 4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}</math> - [[Հերոնի բանաձև]]
# <math>S_{\triangle ABC}= \frac {a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}</math>
# <math>S_{\triangle ABC}= {2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}</math>
# <math>S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}=\frac {\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|}{2}=</math><br /><math>
=\frac {\left|(x_B - x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)\right|}{2} </math>
# <math>S_{\triangle ABC}=\frac{ab}{2}=r^2+2rR</math> - ուղղանկյուն եռանկյան համար
# <math>S_{\triangle ABC}=\frac {c^2}{2(ctg\alpha+ctg\beta)}</math> - եթե հայտնի է եռանկյան մեկ կողմը և նրան կից անկյունները
'''Որտեղ'''
* <math>\ h_b</math> - <math>\ b</math> կողմիին տարված բարձրությունն է, 
* <math>p=\frac {a+b+c}{2}</math> - պարագծի կեսն է, 
* <math>\ r</math> - ներգծած շրջանի շառավիղն է, 
* <math>\ R</math> - արտագծած շրջանի շառավիղն է, 
* <math>\ (x_A, y_A) ; (x_B, y_B) ; (x_C, y_C) </math> - եռանկյան գագաթների կոորդինատներն են։

=== [[Սեղան (մաթեմատիկա)|Սեղան]] ===
<math>a</math> և <math>b</math> սեղանի հիմքերի <math>m</math> միջին գծի և <math>h</math> — բարձրության միջոցով՝

<math>S= \frac{(a+b)}{2}h = \displaystyle m h</math>

սեղանի մակերեսը <math>a</math>, <math>b</math> հիմքերի և <math>c</math> և <math>d</math> ոչ զուգահեռ կողմերի միջոցով՝

<math>S=\frac{a+b}{4|a-b|}\sqrt{(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}.</math>

հավասարակողմ սեղանի մակերեսը <math>r</math> ներգծված շրջանագծի շառավիղի և հիմքին կից <math>\alpha</math> անկյան միջոցով՝

<math>S=\frac{4r^2}{\sin{\alpha}}</math>

մասնավորապես, եթե տվյալ անկյունը 30° է, ապա

<math>S=\displaystyle 8 r^2</math>

[[Կատեգորիա:Մակերես]]