Մակերես

Այս երեք երկրաչափական պատկերների ընդհանուր մակերեսը կազմում է մոտավորապես 15.59 վանդակ։

Մակերես, մեծություն, որն արտահայտում է երկչափ մակերևույթի կամ հարթության կոնտուրի չափը։ Մակերեսը կարելի է պատկերացնել որպես տրված հաստությամբ մատերիալի քանակություն, որն անհրաժեշտ է ծածկելու կոնտուրով շրջափակված մակերևույթը կամ ներկի քանակությունը, որ անհրաժեշտ է այդ մակերևույթը մի շերտով ծածկելու համար։

Մակերեսը միավոր քառակուսիների այն քանակությունն է, որով ամբողջովին ծածկվում է տվյալ պատկերը։ Եթե, օրինակ, ասում են, որ պատկերի մակերեսը 16.3 սմ² է, ապա դա նշանակում է, որ տվյալ պատկերն ամբողջովին ծածկելու համար անհրաժեշտ է 16.3 հատ 1×1 սմ չափսերով քառակուսիներ։ Պատկերի՝ միավոր քառակուսիների վերածումը կոչվում է՝ քառակուսացում։

Երկրաչափական պարզ պատկերները՝ եռանկյունիները, շրջանը և այլն, ունեն մակերեսը չափելու բանաձևեր։

Երկրաչափական պատկերների մակերեսի հաշվարկման ընդհանուր մեթոդն ապահովում է ինտեգրալային հաշվարկը։ Մակերեսի հիմնական գաղափարի ընդհանրացումը դարձավ բազմության չափանիշների տեսությունը, որը կիրառելի է երկրաչափական օբյեկտների ավելի լայն դասի համար։

Գործնականում մակերեսի մոտավոր հաշվարկման համար օգտագործում են հատուկ հաշվարկման սարք՝ պլանաչափ։

Մակերես հասկացողության սահմանում

Մակերեսը ֆունկցիա է, որն ունի հետևյալ հատկությունները.

• Դրական, այսինքն մակերեսը միշտ դրական է;
• Հավելում, այսինքն պատկերի մակերեսը հավասար է երկրաչափական տվյալ պատկերը կազմող այլ պատկերների մակերեսների գումարին՝ առանց ընդհանուր ներքին կետերի;
• Անփոփոխություն, այսինքն համանման պատկերների մակերեսներն իրար հավասար են;
• Նորմալացում, այսինքն միավոր քառակուսու մակերեսը հավասար է մեկի։

Չափի միավորներ

Երկարության յուրաքանչյուր միավորին համապատասխանում է մակերեսի այն միավորը, որը տվյալ երկարության վրա կառուցված քառակուսու մակերեսն է։

Միավորների միջազգային համակարգում մակերեսի միավորն է քառակուսի մետրը, որն այդ համակարգի հիմնական միավորներից մեկն է։ Ընդ որում՝

1մ²=100սմ²=1000000մմ²=10^-6կմ²:

Քառակուսի մետրի գրառման ձևերն են՝ քառ.մ. մ.(մակերես), ք.մ. մ.(մակերես), մ²։

Այլ միավորներ

1ար=100 քառակուսի մետր

Չնայած նրան, որ արը դուրս է եկել գործածությունից, հեկտարը հողի մակերեսի չափման լայնորեն գործածվող միավոր է՝

1հեկտար(հա)=100ար=10 000 քառակուսի մետր=0.01 քառակուսի կիլոմետր (կմ²)

Հողի չափման մյուս տարածված միավորն է ակրը՝

1ակր=4 840 քառակուսի յարդ=43 560 քառակուսի ոտնաչափ=4046.86 քառակուսի մետր։

Ակրը կազմում է հեկտարի մոտավորապես 40%-ը։

Երկրաչափական պատկերների մակերեսների բանաձևեր

Պատկերը	Բանաձևը	Փոփոխականները
Կանոնավոր (հավասարակողմ) եռանկյուն	$\frac{1}{4}\sqrt{3}{s}^2$	$s$-ը եռանկյունու կողմի երկարությունն է։
Եռանկյունի	$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$	$s$-ը կիսապարագիծն է, $a$-ն, $b$-ն և $c$-ն կողմերի երկարություններն են։
	$\frac{1}{2}ab\sin (C)$	$a$-ն և $b$-ն երկու որևէ կողմերն են, $C$-ն՝ նրանց կազմած անկյունը։
	$\frac{1}{2}bh$	$b$-ն և $h$-ը եռանկյունու հիմքն ու բարձրությունն են։
Շեղանկյունի	$\frac{1}{2}ab$	$a$-ն և $b$-ն անկյունագծերն են։
Զուգահեռագիծ	$bh$	$b$-ն հիմքի երկարությունն է, $h$-ը՝ բարձրությունը։
Սեղան	$\frac{1}{2}(a+b)h$	$a$-ն և $b$-ն զուգահեռ կողմերն են (հիմքերը) $h$-ը՝ նրանց միջև եղած հեռավորությունը։
Շրջան	$\pi r^2\text{կամ}\frac{\pi d^2}{4}$	$r$-ը շառավիղն է, $d$-ն՝ տրամագիծը։
Շրջանի սեկտոր	$\frac{\theta }{2}{r}^2\text{կամ}\frac{L\cdot r}{2}$	$r$-ը $\theta$-ն շառավիղն ու անկյունը ռադիաններով, $L$-ը պարագիծն է։
Էլիպս	$\pi ab$	$a$-ն և $b$-ն կիսաառանցքներն են։

Մակերեսների բանաձևեր

Շրջան

$\mathrm{S}=\pi r^2.$ $\mathrm{S}=\frac{\pi d^2}{4}$ որտեղ r-ը շրջանի շառավիղն է իսկ d-ն տրամագիծը

Քառակուսի

$\mathrm{S}=a^2.$

Եռանկյուն

1. $\mathrm{S}=\frac{1}{2}bh$# $S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}b{h}_b$, քանի որ $h_b=a\sin \gamma$, ուստի
2. $S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$
3. $S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}r(a+b+c)=pr$
4. $S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{abc}{4R}$
5. $S_{\mathrm{△}ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}$ - Հերոնի բանաձև
6. $S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{a^2\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }$
7. $S_{\mathrm{△}ABC}=2R^2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$
8. $S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|=\frac{|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)|}{2}=$
   $=\frac{|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)|}{2}$
9. $S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{ab}{2}=r^2+2rR$ - ուղղանկյուն եռանկյան համար
10. $S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{c^2}{2(ctg\alpha +ctg\beta )}$ - եթե հայտնի է եռանկյան մեկ կողմը և նրան կից անկյունները

Որտեղ

• $h_b$ - $b$ կողմիին տարված բարձրությունն է,
• $p=\frac{a+b+c}{2}$ - պարագծի կեսն է,
• $r$ - ներգծած շրջանի շառավիղն է,
• $R$ - արտագծած շրջանի շառավիղն է,
• $(x_A,y_A);(x_B,y_B);(x_C,y_C)$ - եռանկյան գագաթների կոորդինատներն են։

Սեղան

$a$ և $b$ սեղանի հիմքերի $m$ միջին գծի և $h$ — բարձրության միջոցով՝

$S=\frac{(a+b)}{2}h=mh$

սեղանի մակերեսը $a$, $b$ հիմքերի և $c$ և $d$ ոչ զուգահեռ կողմերի միջոցով՝

$S=\frac{a+b}{4|a-b|}\sqrt{(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}.$

հավասարակողմ սեղանի մակերեսը $r$ ներգծված շրջանագծի շառավիղի և հիմքին կից $\alpha$ անկյան միջոցով՝

$S=\frac{4r^2}{\sin \alpha }$

մասնավորապես, եթե տվյալ անկյունը 30° է, ապա

$S=8r^2$