Զուգահեռագիծ

Զուգահեռագիծ

Զուգահեռագիծ

Զուգահեռագիծ է կոչվում այն քառանկյունը, որի հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են, այսինքն, հանդիպակաց կողմերը գտնվում են զուգահեռ ուղիղների վրա։ Զուգահեռագծի մասնավոր օրինակներ են ուղղանկյունը, քառակուսին և շեղանկյունը։

Զուգահեռագծի հիմնական հատկությունները

• Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը հավասար են։
• $\left|AB\right|=\left|CD\right|,\left|AD\right|=\left|BC\right|$.

Ապացույց։ AB || CD => < ABD = < BDC, հետևում է խաչադիր անկյունների հավասարությունից AD || BC => < ADB = < DBC, DB-ն ընդհանուր է ուրեմն ABD և BCD եռանկյունները հավասար են։ Դրանից հետևում է, որ AD - ն հավասար է BC - ին և AB -ն հավասար է BC -ին։

• Զուգահեռագծի հանդիպակաց անկյունները հավասար են։
• $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }C,\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }D.$
• Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են և հատման կետում կիսվում են։
• $\left|AE\right|=\left|EC\right|,\left|BE\right|=\left|ED\right|$.

Ապացույց՝ BC = AD ըստ առաջին հատկության, <ADE = < EBC, < ECB = < EAD (խաչադիր անկյուններ) => եռանկյուններ AED -ն և BEC - ն հավասար են, ուրեմն AE = EC, DE = EB։

• Զուգահեռագծի կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է ։
• $\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B=180^o,\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C=180^o,\mathrm{\angle }C+\mathrm{\angle }D=180^o,\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }D=180^o.$
• Զուգահեռագծի ցանկացած անկյունագիծ այն բաժանում է 2 հավասար եռանկյունների։
• $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }ADC,\mathrm{\Delta }ABD=\mathrm{\Delta }BDC.$
• Զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետը հանդիսանում է զուգահեռագիծի սիմետրիայի կենտրոնը։
• Զուգահեռագծի անկյունների գումարը հավասար է 360°։
• Զուգահեռագծի նույնություն

Զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է նրա երկու կից կողմերի քառակուսիների գումարի կրկնապատիկին։

$AC=d_1,BD=d_2,AD=BC=a,AB=DC=b.$

$d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2).$

Զուգահեռագծի հայտանիշները

ABCD քառանկյունը զուգահեռագիծ է, եթե կատարվում է հետևյալ պայմաններից որևէ մեկը՝

• Հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ հավասար են.
• $\left|AB\right|=\left|CD\right|,\left|AD\right|=\left|BC\right|$.
• Հանդիպակաց անկյունները զույգ առ զույգ հավասար են.
• $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }C,\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }D.$
• Անկյունագծերը հատման կետում կիսվում են.
• $\left|AE\right|=\left|EC\right|,\left|BE\right|=\left|ED\right|$.
• Կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է.
• $\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B=180^o,\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C=180^o,\mathrm{\angle }C+\mathrm{\angle }D=180^o,\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }D=180^o.$
• Հանդիպակաց կողմերը իրար զուգահեռ են և հավասար.
• $AB=CD,AB\parallel CD$.

Ապացույց։ < EAD = < ECB, < EDA = < EBC => Եռանկյուն AED -ն հավասար է եռակյուն BEC => AE = EC, BE = DE, < AEB = < CED (< AED = < BEC, հակադիր անկյունների հավասարությունից, իսկ <AED -ն և <BEA -ն կից են) => եռանկյուն AEB = եռանկյուն DEC։ Դրանից հետևում է, որ AB -ն զուգահեռ է DC -ին։ Ուրեմն ABCD -ն զուգահեռագիծ է։

• Ուռուցիկ քառանկյան հանդիպակաց կողմերի միջնակետերի միջև հեռավորությունների գումարը հավասար է նրա կիսապարագծին.
• Զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է կողմերի քառակուսիների կրկնապատիկների գումարին.
• $A{C}^2+B{D}^2=2A{B}^2+2B{C}^2$

Զուգահեռագծի մակերեսը

$S=a\times h$, որտեղ $a$-ն կողմն է, $h$-ը`այդ կողմին տարված բարձրությունը։

$S=a\times b\times \sin \alpha$, որտեղ $a$-ն և $b$-ն կողմերն են, իսկ $\alpha$ - ն $a$ և $b$ կողմերի կազմած անկյունն է։

$S=\frac{1}{2}AC\times BD\times \sin \mathrm{\angle }AOB$, որտեղ AC-ն և BD-ն զուգահեռագծի անկյունագծերն են, իսկ $\mathrm{\angle }AOB$-ն՝ նրանց կազմած անկյունը։

Զուգահեռագծի պարագիծը

$P=2\times (a+b)$, որտեղ $a$-ն և $b$-ն զուգահեռագծի կողմերն են։