Հերոնի բանաձև

Կաղապար:Անաղբյուր Հերոնի բանաձևը թույլ է տալիս որոշել եռանկյան մակերեսը (S) երեք կողմերի (a, b, c) միջոցով։

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

որտեղ p-ն եռանկյան կիսապարագիծն է՝ $p=\frac{a+b+c}{2}$.

Ապացույց.

$S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \gamma$,

որտեղ $\gamma$՝ եռանկյան a և b կողմերով կազմված անկյունն է։ Կոսինուսների թեորեմի համաձայն՝

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma ,$

Այստեղից՝

$\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab},$

Ուրեմն

${\sin }^2\gamma =1-{\cos }^2\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=$

$=\frac{2ab-a^2-b^2+c^2}{2ab}\cdot \frac{2ab+a^2+b^2-c^2}{2ab}=$

$=\frac{c^2-(a-b{)}^2}{2ab}\cdot \frac{(a+b{)}^2-c^2}{2ab}=\frac{1}{4a^2{b}^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$.

Նկատելով, որ $a+b+c=2p$, $a+b-c=2p-2c$, $a+c-b=2p-2b$, $c-a+b=2p-2a$, ստանում ենք՝

$\sin \gamma =\frac{2}{ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$

Այսպիսով

$S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

Տես նաև

• Եռանկյուն
• Մակերես
• Պարագիծ
• Կոսինուսների թեորեմ
• Հերոն Ալեքսանդրիացի

Արտաքին հղումներ

• Եռանկյան մակերեսը Կաղապար:Webarchive