Կոսինուսների թեորեմ

Եռանկյուն

Կոսինուսների թեորեմը կապ է հաստատում եռանկյան կողմերի երկարությունների և երկու կողմերի միջև ընկած անկյան կոսինուսի միջև։

Թեորմի ձևակերպումը.

Եռանկյան ցանկացած կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին՝ հանած այդ կողմերի և նրանցով կազմված անկյան կոսինուսի կրկնապատիկ արտադրյալը՝

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$։

Այն հանդիսանում է Պյութագորասի թեորեմի ընդհանրացված տարբերակը։ Երբ γ անկյունը ուղիղ է (90^° կամ π/2 ռադիան), կոսինուսների թեորեմը վերածվում է Պյութագորասի թեորեմին.

$c^2=a^2+b^2$

Եռանկյան տարբեր կողմերի միջև ընկած անկյունները ընտրելիս՝ այն կստանա հետևյալ տեսքը.

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$։

Ապացույց եռանկյունաչափական մեթոդով

Նկար 1

c կողմին ուղղահայաց տարեք (Նկար 1). այդ դեպքում

$c=a\cos \beta +b\cos \alpha .$

Երկու կողմերը բազմապատկելով c-ով՝, կստանաք

$c^2=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .$

Մյուս ուղղահայացները տանելով՝ կստանաք

$a^2=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,$

$b^2=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .$

Վերջին երկու հավասարությունները գումարելով՝ կստանաք

$a^2+b^2=ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma .$

Առաջին հավասարումը երկրորդ հավասարումից հանելով՝ կստանանք

$a^2+b^2-c^2=-ac\cos \beta -bc\cos \alpha +ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma$,

որը կարելի է պարզեցնել հետևյալ տեսքի.

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma .$

Այս ապացուցման հարմարությունն այն է, որ կարիք չկա առանձին դիտարկել սուր և բութ γ անկյան դեպքերը։

Ապացույց վեկտորների օգտագործմամբ

Թեորեմը կարելի է ապացուցել՝ օգտվելով վեկտորների գումարման կանոնից և վեկտորների սկալյար արտադրյալի բանաձևից

$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\Vert \overrightarrow{b}\Vert \Vert \overrightarrow{c}\Vert \cos \theta$։

Նկար 2 — Վեկտորական եռանկյուն

Նկար 2-ից երևում է, որ

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c},$։

Հաշվի առնելով դա՝

$\begin{array}{cc}\Vert \overrightarrow{a}{\Vert }^2& =\Vert \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}{\Vert }^2\\ & =(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\\ & =\Vert \overrightarrow{b}{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{c}{\Vert }^2-2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}.\end{array}$։

Այսպիսով, ստացանք

$\Vert \overrightarrow{a}{\Vert }^2=\Vert \overrightarrow{b}{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{c}{\Vert }^2-2\Vert \overrightarrow{b}\Vert \Vert \overrightarrow{c}\Vert \cos (\theta ),$

որը համարժեք է կոսինուսների թեորեմի հավասարմանը։