Սկալյար արտադրյալ

Սկալյար արտադրյալ (երբեմն՝ ներքին արտադրյալ), գործողություն երկու վեկտորների միջև. արդյունքը թիվ է, (երբ դիտարկվում են վեկտորներ, թվերը հաճախ անվանվում են սկալյարներ) որը կախված չէ կոորդինատային համակարգից և բնութագրում է վեկտոր-արտադրիչների երկարություններն ու անկյունը դրանց միջև։ Տրված գործողությանը համապատասխանում է x վեկտորի երկարության բազմապատկումը x վեկտորի վրա y վեկտորի պրոյեկցիայով։ Այս գործողությունը սովորաբար դիտարկվում է որպես տեղափոխական և գծային ըստ յուրաքանչյուր արտադրիչի։

Սովորաբար օգտագործվում է հետևյալ նշանակումներից մեկը.

$⟨𝐚,𝐛⟩$,

$(𝐚,𝐛)$,

$𝐚\cdot 𝐛$,

(կամ Դիրակի նշանակումը), որը հաճախ օգտագործվում է քվանտային մեխանիկայում

$⟨a|b⟩$.

Սովորաբար ենթադրվում է, որ սկալյար արտադրյալը որոշված է դրականորեն, այսինքն՝

$⟨𝐚,𝐚⟩>0$ բոլոր a-երի համար ($a=0$).

Հակառակ դեպքում արտադրյալը կոչվում է ինդեֆինիտ կամ անորոշ։

Սահմանում

$𝕃$ վեկտորական տարածությունում կոմպլեքս թվերի $ℂ$ (կամ իրական թվերի $ℝ$) դաշտի նկատմամբ սկալյար արտադրյալ կոչվում է $⟨x,y⟩$ ֆունկցիան, որը որոշված է $x,y\in 𝕃$ ցանկացած տարրերի համար և ընդունում է արժեքներ $ℂ$ - ում (կամ $ℝ$-ում)։ Ֆունկցիան բավարարում է հետևյալ պայմաններին.

1. $𝕃$ տարածության ցանկացած երեք $x_1,x_2$ և $y$ տարրերի և $ℂ$-ի (կամ $ℝ$-ի) ցանկացած $\alpha ,\beta$ թվերի համար ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը. $⟨\alpha x_1+\beta x_2,y⟩=\alpha ⟨x_1,y⟩+\beta ⟨x_2,y⟩$;
2. ցանկացած $x$ և $y$-ի համար ճիշտ է $⟨y,x⟩=\overline{⟨x,y⟩}$ հավասարությունը;
3. ցանկացած $x$-ի համար ունենք $⟨x,x⟩\ge 0$, ընդ որում

$⟨x,x⟩=0$ միայն $x=0$ դեպքում։

Հանրահաշվական սահմանում

n-աչափ իրական տարածությունում Կաղապար:Nowrap և Կաղապար:Nowrap երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը սահմանվում է ինչպես.

$𝐚\cdot 𝐛=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$:

Օրինակ, եռաչափ տարածությունում Կաղապար:Nowrap և Կաղապար:Nowrap վեկտորների արտադրյալը կհաշվարկվի այսպես.

$\begin{array}{cc}[1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]& =1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\ & =4-6+5\\ & =3.\end{array}$

Կաղապար:Nowrap և Կաղապար:Nowrap կոմպլեքս վեկտորների համար սկալյար արտադրյալը կլինի.

$𝐚\cdot 𝐛=\sum _{i=1}^n{a}_i\overline{b_i}=a_1\overline{b_1}+a_2\overline{b_2}+\cdots +a_n\overline{b_n}$:

Օրինակ, $[1+i,2]\cdot [2+i,i]=(1+i)\cdot (\overline{2+i})+2\cdot \bar{i}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i$

Երկրաչափական սահմանում

== Օրինակներ ==AB վեկտորի և BC վեկտորի սկալյար արտադրյալ

Հատկություններ

• Կոսինուսների թեորեմը հեշտությամբ արտածվում է սկալյար արտադրյալի կիրառմամբ.

$|BC{|}^2={\overrightarrow{BC}}^2=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{)}^2=⟨\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}⟩={\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AB}}^2-2⟨\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}⟩=|AB{|}^2+|AC{|}^2-2|AB||AC|\cos \hat{A}$

• Անկյունը վեկտորների միջև.

  $\alpha =\arccos \frac{⟨𝐚,𝐛⟩}{\sqrt{⟨𝐚,𝐚⟩⟨𝐛,𝐛⟩}}$

• Վեկտորների կազմած անկյան գնահատումը.

  $⟨𝐚,𝐛⟩=|𝐚|\cdot |𝐛|\cdot \cos \mathrm{\angle }(𝐚,𝐛)$ բանաձևում նշանը որոշվում է միայն անկյան կոսինուսով (նորմաները միշտ դրական են)։ Այդ պատճառով սկալյար արտադրյալը > 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը սուր է, և < 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը բութ է։

• $𝐚$ վեկտորի պրոյեկցիան $𝐞$ միավոր վեկտորով սահմանված ուղղության վրա.

  $a_e=⟨𝐚,𝐞⟩=|𝐚||𝐞|\cos \mathrm{\angle }(𝐚,𝐞)=|𝐚|\cos \mathrm{\angle }(𝐚,𝐞)$, քանի որ $|𝐞|=1$

• $𝐚$ և $𝐛$ վեկտորների օրթոգոնալության (ուղղահայացության) պայմանը.

$𝐚\mathrm{\perp }𝐛\iff ⟨𝐚,𝐛⟩=0$

• $𝐚$ և $𝐛$ երկու վեկտորներով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է.

$\sqrt{⟨𝐚,𝐚⟩⟨𝐛,𝐛⟩-⟨𝐚,𝐛{⟩}^2}$

Կոշի - Բունյակովսկու անհավասարություն

Գծային տարածության ցանկացած $𝐱$ և $𝐲$ էլեմենտների համար տեղի ունի հետևյալ անհավասարությունը [1] Կաղապար:Webarchive

$|⟨x,y⟩{|}^2\le ⟨x,x⟩⟨y,y⟩$:

Պատմություն

Սկալյար արտադրյալը ներմուծվել է Ուիլյամ Համիլտոնի կողմից 1846 թվականին, վեկտորական արտադրյալի հետ միաժամանակ, կապված քվատերնիոնների հետ, համապատասխանաբար ինչպես երկու այնպիսի քվատերնիոնների արտադրյալի սկալյար և վեկտորական մասեր, որոնց սկալյար մասը հավասար է զրոյի։

Տես նաև

• Խառն արտադրյալ
• Հիլբերտյան տարածություն
• Վեկտորական արտադրյալ