Գծային արտապատկերում

Գծային արտապատկերում - փաստարկների և արժեքների ավելի ընդհանուր շարքի համար գծային թվային ֆունկցիայի ընդհանրացում (ավելի հստակ՝ $y=kx$) տեսքի ֆունկցիաներ։

Գծային արտապատկերումը, ի տարբերություն ոչ գծայինի, բավականին լավ ուսումնասիրված է, ինչը հնարավորություն է տալիս այն հաջողությամբ կիրառել ընդհանուր տեսության վրա, քանի որ նրանց հատկությունները կախված չեն մեծություններից։

Գծային օպերատորը (ձևափոխումը) հանդիսանում է իր վրա վեկտորային տարածության գծային արտապատկերման մասնավոր դեպք։

Ֆորմալ սահմանումը

$V$ վեկտորային տարածության գծային արտապատկերումը $K$ դաշտի վրա $W$ վեկտորային տարածությունում նույն $K$ դաշտի համար (գծային օպերատոր $V$-ից $W$) կոչվում է արտապատկերում՝

$f:V\to W$,

որը բավարարում է գծային պայմանինԿաղապար:Sfn՝

$f(x+y)=f(x)+f(y)$,

$f(\alpha x)=\alpha f(x)$.

ցանկացած $x,y\in V$ և $\alpha \in K$։

Եթե $V$ և $W$ միևնույն վեկտորային տարածություններ են, ապա $f$-ը ոչ թե գծային արտապատկերում է, այլ գծային ձևափոխություն։

Եթե կատարվում է միայն առաջին հատկությունը, այդ դեպքում նման արտապատկերումը կոչվում է ադդիտիվ։

Գծային արտապատկերումների տարածություն

Եթե $K$ հիմնական դաշտից սկալյարների գումարման և բազմապատկման գործողությունները սահմանենք որպես․

• $(f+g)(x)=f(x)+g(x)\mathrm{\forall }x\in V$
• $(kf)(x)=kf(x)\mathrm{\forall }x\in V,\mathrm{\forall }k\in K$

ապա $V$-ից $W$ բոլոր գծային արտապատկերումների բազմությունն իրենից կներկայացնի վեկտորային տարածություն, որը սովորաբար նշանակվում է $ℒ(V,W)$-ով։

Սահմանափակ գծային օպերատորներ։ Օպերատորի նորմա։

Եթե $V$ և $W$ վեկտորային տարածությունները հանդիսանում եմ տեղագրական տարածություններ, այսինքն, նրանց վրա որոշված են տեղագրություններ, որոնց նկատմամբ այդ տարածությունների գործողությունները անընդհատ են, ապա կարելի է որոշել սահմանափակ օպերատորի հասկացությունը – գծային օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե այն սահմանափակ բազմությունը տեղափոխում է սահմանափակին (մասնավորապես, բոլոր անընդհատ օպերատորները սահմանափակ են)։ Մասնավորապես, նորմավորված տարածություններում բազմությունները սահմանափակ են, եթե նրա յուրաքանչյուր տարի նորման սահանափակ է, հետևաբար, այս դեպքում օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե գոյություն ունի $N$ թիվ այնպիսի, որ $\mathrm{\forall }x\in V,\Vert Ax{\Vert }_W⩽N\Vert x{\Vert }_V$: Կարելի է ցույց տալ, որ նորմավորված տարածությունների դեպքում օպերատորների անընդհատությունը և սահմանափակությունը համարժեք են։ $N$ հաստատուններից ամենափոքրը, որը բավարարում է վերևում նշված պայմանին, կոչվում է օպերատորի նորմա․ $\Vert A\Vert =\underset{\Vert x\Vert =0}{\sup }\frac{\Vert Ax\Vert }{\Vert x\Vert }=\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert Ax\Vert :$

Օպերատորի նորմայի հասկացության ներմուծումը հնարավորություն կտա դիտարկել գծային օպերատորների տարածությունը որպես նորմավորված գծային տարածություն (կարելի է ստուգել համապատասխան ակսիոմների կատարումը ներմուծված նորմայի համար)։ Եթե $W$ տարածությունը բանախովյան է, ապա գծային օպերատորների տարածությունը նույնպես բանախովյան է։

Հակադարձ օպերատոր

$A^{-1}$ օպերատորը կոչվում է հակադարձ $A$ գծային օպերատորին, եթե տեղի ունի․ $A^{-1}A=A{A}^{-1}=1$։

$A^{-1}$ օպերատորը, որը հակադարձ է $A$ գծային օպերատորին, նույնպես հանդիսանում է գծային օպերատոր։ Եթե $A$ -ն գծային անընդհատ օպերատոր է, որն արտապատկերում է մի բանախովյան տարածությունը (կամ $F$-տարածություն) մյուսին, ապա հակադարձ օպերատորը նույնպես հանդիսանում է անընդհատ գծային օպերատոր։

Գծային արտապատկերման

Գծային արտապատկերման – մատրից, որն արտահայտում է գծային արտապատկերում ինչ-որ բազիսում։ Որպեսզի այն ստանանք, անհրաժեշտ է ներազդել արտապատկերմամբ վեկտորների բազիսի վրա և ստացված վեկտորների (բազիսային վեկտորների պատկերներ) կոորդինատները գրել մատրիցի սյուներում։

Արտապատկերման մատրիցը նման է վեկտորի կոորդինատներին։ Այդ դեպքում վեկտորի վրա արտապատկերման գործողությունը հավասարազոր է մատրիցի և նույն բազիսում այդ վեկտորի կոորդինատի սյան արտադրյալին։

Ընտրենք ${𝐞}_k$ բազիսը։ Դիցուք $𝐱$-ը կամայական վեկտոր է։ Այն կարելի է ներկայացնել հետևյալ բազիսով՝

$𝐱=x^k{𝐞}_k$,

որտեղ $x^k$-ն $𝐱$ վեկտորի կոորդինատն է նշված բազիսում։ Այստեղ, և հետագայում, առաջարկվում է միավորել ըստ համր ինդեկսների։ Դիցուք $𝐀$-ն ցանկացած գծային արտապատկերում է։ Ներազդելով նախորդ հավասարման վրա երկու կողմերից, կստանանք՝

$𝐀𝐱=x^k{𝐀𝐞}_k$։

${𝐀𝐞}_k$ վեկտորը նույնպես ներկայացնենք նշված բազիսում, կստանանք՝

${𝐀𝐞}_k=a_k^j{𝐞}_j$,

որտեղ $a_k^j$-ն ${𝐀𝐞}_k$-ի $k$-րդ վեկտորի $j$-րդ կոորդինատը է։ Նախորդ բանաձևում տեղադրելով ընդլայնում, կստանանք՝

$𝐀𝐱=x^k{a}_k^j{𝐞}_j=(a_k^j{x}^k){𝐞}_j$։

$a_k^j{x}^k$ արտահայտությունը, որն ընդգրկված է փակագծերի մեջ, նունն է, ինչ որ մատրիցի և սյան արտադրյալը։ Այսպիով, $a_k^j$ մատրիցը $x^k$ սյան հետ բազմապատկելիս արդյունքում կստացվի $𝐀𝐱$ վեկտորի կոորդինատը, որն առաջանում է $𝐱$ վեկտորի վրա $𝐀$ օպերատորի գործողության արդյունքում, ինչն էլ պետք էր ստանալ։

Կաղապար:Մեկնաբանություն Եթե ստացված մատրիցում տեղերով փոխարինենք մի քանի տողեր և սյուներ, այդ դեպքում, ընդհանրապես ասած, կստանանք արդեն մեկ այլ մատրից, որը համապատասխանում է ${𝐞}_k$ բազիսային էլեմենտների հավաքածուին։ Այլ խոսքերով, առաջարկվում է խստորեն պահել բազիսային էլեմենտների հաջորդականությունը։

Փոխակերպման օրինակ

Վեկտորները ներկայացված են որպես 2 x 2 մատրից, ձևավորված միավոր քառակուսու համապատասխան կողմերով, ձևափոխված զուգահեռակողմի։

Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ տեսքի 2×2 չափի մատրիցը՝

$𝐀=\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]$

այն կարող է դիտարկվել որպես մատրից ձևափոխված միավոր քառակուսուց Կաղապար:Nowrap, Կաղապար:Nowrap, Կաղապար:Nowrap և Կաղապար:Nowrap գագաթներով զուգահեռակողմի։ Զուգահեռակողմը, որը ցույց է տրված աջ կողմում, ստացվում է 'A մատրիցի և $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ ու $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ վեկտոր-սյուների արտադրյալի արդյունքում։ Այս վեկտորները համապատասխանում են միավոր քառակուսու գագաթներին։ Հաջորդ աղյուսակում բերված են 2 × 2 չափի մատրիցի օրինակներ իրական թվերի համար նրանց համապատասխան R² գծային ձևափոխության։ Կապույտ գույնով նշանակված են ցանցի սկզբնական կոորդինատները, իսկ կանաչով՝ փոխակերպված։ Կոորդինատների (0,0) սկզբնակետը նշված է սև կետով։

Հորիզոնական Կաղապար:Iw (m=1.25)	Հորիզոնական արտապատկերում	Կաղապար:Iw (r=3/2)	Երկրաչափություն (3/2)	Պտույտ (π/6R = 30°)
$\left[\begin{array}{cc}1& 1.25\\ 0& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}3/2& 0\\ 0& 2/3\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}3/2& 0\\ 0& 3/2\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}\cos (\pi /6^R)& -\sin (\pi /6^R)\\ \sin (\pi /6^R)& \cos (\pi /6^R)\end{array}\right]$

Կարևոր մասնավոր դեպքեր

• Գծային տեսք — գծային արտապատկերում, որի համար $W=K$:
      $f:V\to K$։
• Գծային էնդոֆորմիզմ — գծային արտապատկերում, որի համար $V=W$(օպերատոր)։
      $f:V\to V$։
• Նույնական օպերատոր (միակ օպերատոր)— $x\mapsto x$ օպերատոր, որը արտապատկերում է տարածության յուրաքանչյուր էլեմենտ իր վրա։ Այդ օպերատորի նորման հավասար է մեկի (նորմավորված տարածությունների համար)։
• Զրոյական արտապատկերում — օպերատոր, որը ձևափոխում է $V$-ի յուրաքանչյուր էլեմենտ $W$-ի զրոյական էլեմենտի։
• Պրոյեկտոր — օպերատոր, որը ենթատարածության վրա համեմատում է յուրաքանչյուր $x$-ին իր պրոյեկցիայի հետ։
• Համակցված արտապատկերում $A\in L(V)$ արտապատկերմանը — $A^{*}$-ն $V^{*}$-ի վրա արտապատկերում, տրված $A^{*}f(x):=f(Ax)$ հարաբերակցությամբ։
• Ինքնահամակցված օպերատոր — օպերատոր հիլբերտյան տարածության վրա, որը համընկնում է իր համակցված օպերատորի հետ։ Հաճախ այդպիսի օպերատորները անվանում են հիպերմաքսիմալ էրմիտիկ։
• Էրմիտիկ կամ սիմետրիկ օպերատոր — այնպիսի $A$ օպերատոր, որը որոշված է հիլբերտյան ենթատարածության վրա։ $A$ որոշման տիրույթի բոլոր $x,y$ զույգերի համար $(Ax,y)=(x,Ay)$։ Ամենուրեք որոշված բոլոր օպերատորների համար այդ հատկությունը համընկնում է ինքնահամակցման հետ։
• Ունիտար օպերատոր — օպերատոր, որի որոշման և արժեքների տիրույթը ամբողջ տարածությունն է, որը պահպանում է $(Ax,Ay)=(x,y)$ սկալյար արտադրյալը։ Մասնավորապես, ունիտար օպերատորը պահպանում է ցանկացած $\Vert Ax\Vert =\sqrt{(Ax,Ax)}=\sqrt{(x,x)}=\Vert x\Vert$ վեկտորի նորման։ Ունիտարին հակադարձ օպերատորը համընկնում է $A^{-1}=A^{*}$ համակցված օպերատորի հետ։ Ունիտար օպերատորի նորման հավասար է 1-ի։ К իրական դաշտի դեպքում ունիտար օպերատորը կոչվում է օրթոգոնալ։

Առնչվող հասկացություններ

• Գծային արտապատկերման $f:V\to W$ միջուկ է կոչվում $V$ ենթաբազմությունը, որը արտապատկերվում է զրոյի։

$\text{Ker}f=\{x\in V\mid f(x)=0\}$

Գծային արտապատկերման միջուկը ձևավորում է ենթատարածություն գծային $V$ տարածությունում։

• $f$ գծային արտապատկերման պատկեր կոչվում է հետևյալ $W$ ենթաբազմությունը՝

  $\text{Im}f=\{f(x)\in W\mid x\in V\}$

  Գծային արտապատկերման պատկերը ձևավորում է ենթատարածություն $W$ գծային տարածությունում։

• $M\subset V$ ենթաբազմության պատկեր $A$ գծային փոխակերպուման նկատմամբ կոչվում է $AM=\{Ax:x\in M\}$ բազմությունը։
• $V$ և $W$ գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը $f:V\times U\to W$ գծային $U$ տարածքին կոչվում է բիգծային, եթե այն գծային է նրա երկու արգումենտներով։ $f:A_1\times \dots \times A_n\to B$ մեծ թվերի գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը կոչվում է բազմագծային, եթե այն գծային է իր բոլոր արգումենտներով։
• $\tilde{L}$ օպերատորը կոչվում է գծային տարասեռ (կամ աֆինացված), եթե այն ունի այսպիսի տեսք՝

  $\tilde{L}=L+v$

որտեղ $L$ գծային օպերատոր է, իսկ $v$-ն՝ վեկտոր։

• Դիցուկ $A:V\to V$։ $M\subset V$ ենթատարածությունը կոչվում է ինվարիանտ գծային արտապատկերման նկատմամբ, եթե $\mathrm{\forall }x\in M,Ax\in M$

Ինվարիանտության չափանիշը։ Դիցուկ $M\subset X$-ն այնպիսի ենթատարածություն է, որ $X$ տրոհվում է $X=M\oplus N$ ուղիղ գումարին։ Այդ դեպքում $M$ ինվարիանտ է $A$ գծային արտապատկերման նկատմամբ այն և միայն այն դեպքում, երբ $P_{M}A{P}_M=A{P}_M$, որտեղ $P_M$-ը պրոյեկտոր $M$ ենթատարածության վրա։

• Ֆակտոր-օպերատորներ։ Դիցուկ $A:V\to V$-ը գծային օպերատոր է և դիցուկ $M$-ը ինչ-որ ինվարիանտ է այդ ենթաբազմության օպերատորի նկատմամբ։ Ձևավորենք ֆակտոտարածություն $V/\stackrel{M}{\sim }$ ըստ $M$ ենթատարածության։ Այդ դեպքում ֆակտոր-օպերատորը կոչվում է $A^{+}$ օպերատորը, որը կիրառվում է $V/\stackrel{M}{\sim }$-ի վրա $\mathrm{\forall }{x}^{+}\in V/\stackrel{M}{\sim },A^{+}{x}^{+}=[Ax]$ կանոնով, որտեղ $[Ax]$-ը ֆակտոտարածության դասից է և պարունակում է $Ax$-ը։
• Երկակի տարածությունների մեջ տրված է դեպի հակառակ ուղությունը գնացող երկակի արտապատկերում։

Օրինակներ

Միատար գծային օպերատորների օրինակներ՝

• դիֆերենցացման օպերատոր՝ $L\{x(\cdot )\}=y(t)=\frac{dx(t)}{dt}$;
• ինտեգրման օպերատոր՝ $y(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}x(\tau )d\tau$;
• որոշակի ֆունկցիայի վրա բազմապատկման օպերատոր՝ $\phi (t):y(t)=\phi (t)x(t)$;
• տրված «կշռով» ինտեգրացման օպերատոր՝ $\phi (t):y(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}x(\tau )\phi (\tau )d\tau$;
• $x_0$ կետում $f$ ֆունկցիայի արժեքի հաշվման օպերատոր՝ $L\{f\}=f(x_0)$;
• վեկտորի և մատրիցի արտադրյալի օպերատոր՝ $b=Ax$;
• վեկտորի շրջադարձի օպերատոր։

Ոչ միատարր գծային օպերատորների օրինակներ՝

• ցանկացած աֆինյան արտապատկերումներ;
• $y(t)=\frac{dx(t)}{dt}+\phi (t)$;
• $y(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}x(\tau )d\tau +\phi (t)$;
• $y(t)={\phi }_1(t)x(t)+{\phi }_2(t)$;

որտեղ $\phi (t)$, ${\phi }_1(t)$ և ${\phi }_2(t)$-ն որոշակի ֆունկցիաներ են, իսկ $x(t)$-ն օպերատորի կողմից փոխակերպված ֆունկցիա։