Պտույտ

Երկրի պտույտը իր առանցքի շուրջը

Պատկերի պտույտը հարթության մեջ Օ կետի նկատմամաբ, ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ

Պտույտ, շարժման տեսակ, որի ժամանակ հարթության կամ տարածության գոնե մեկ կետը մնում է անշարժ։

Հարթության կամ տարածության պտույտը կոչվում է առաջին սեռի (սեփական) կամ երկրորդ սեռի (ոչ սեփական), եթե այն պահպանում է հարթության կամ տարածության ուղղորդվածությունը։ Հաճախ պտույտ ասելով հասկանում են հենց սեփական պտույտը։

Երկչափ պտույտի ժամանակ, կարելի է տալ ավելի համապատասխան սահմանում։ Հարթության պտույտ կոչվում է այն շարժումը, որի ժամանակ տրված կետից դուրս եկող ամեն մի ճառագայթ թեքվում է նույն ուղղությամբ, նույն անկյան չափով։

Կապված սահմանումներ

Քառաչափ մարմնի պտույտ

Պտույտի ընթացքում անշարժ մնացող կետը կոչվում է պտտման կենտրոն, անշարժ ուղիղը՝ պտտման առանցք։

Ոչ սեփական պտույտ

Ոչ սեփական պտույտը փոքր չի կարող լինել, իսկ սեփական պտույտը կարելի է ցանկացած չափով փոքրացնել։ Ոչ սեփական պտույտը իրենից ներկայացնում է որոշակի հայելային անդրադարձման կոմպոզիցիա։

Պտույտ հարթության մեջ

Անալիտիկ երկրաչափությունում ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային հարթության մեջ պտույտը նկարագրվում է

$x^{\prime }=x\cos \phi -y\sin \phi ,$

$y^{\prime }=x\sin \phi +y\cos \phi ,$

որտեղ $\phi$ — պտտման անկյունն է, իսկ պտտման կենտրոնը կոորդինատային կամակարգի կենտրոնն է։

Նույն պայմանների դեպքում ոչ սեփական պտույտը նկարագրվում է։

$x^{\prime }=x\cos \phi +y\sin \phi ,$

$y^{\prime }=x\sin \phi -y\cos \phi .$

Մատրիցային ձև

Մատրիցային մոտեցման դեպքում $(x,y)$կետը գրում են վեկտորի տեսքով, և բազմապատկում են մատրիցին

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$.

$(x^{\prime },y^{\prime })$ կետի կոորդինատներն են, որը ստացվել է $(x,y)$կետի պտույտից։

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ և $\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]$ վեկտորներըն ունեն նույն չափերը։

Կոմպլեքսային ձև

Կետը կարելի է պտտել կոմպլեքս թվերի օգնությամբ։բԱյդ թվերի մեծամասնությունը իրենից ներկայացնում է հարթություն։բ$(x,y)$կետը իրենից ներկայացնում է $z=x+iy$ տեսքի կոմպլեքս թիվը։

Կետի $\theta$ անկյան տակ պտտելը կարելի է իրականացնել բազմապատկելով $e^{i\theta }$, օգտվելով Էյլերի թեորեմից։

$\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }z& =(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\ & =(x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta )\\ & =(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\ & =x^{\prime }+i{y}^{\prime },\end{array}$

որի հետևանքով ստացվում է նույն արդյունքը

$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =x\cos \theta -y\sin \theta \\ y^{\prime }& =x\sin \theta +y\cos \theta .\end{array}$

Տես նաև

• Պտտական շարժում
• Անկյունային արագություն