Դիտել Մոնտի Հոլի պարադոքս էջի վիքիկոդը

[[պատկեր:Monty open door.svg|thumb|right|Ավտոմոբիլի որոնման ժամանակ խաղացողն ընտրում է թիվ 1 դուռը։ Այդ ժամանակ հաղորդավարը բացում է 3-րդ դուռը, որի հետևը գտնվում է այծը։ Հաղորդավարն առաջարկում է խաղացողին փոխել իր ընտրությունը երկրորդ դռնով։ Արժի՞ որ նա գնա այդ քայլին։]]
[[պատկեր:Monty hall solution expanded second version.png|thumb|right|Հավանականությունների բաշխում։ Նրանք, որոնք փոխել են դուռը (ներքի ձախ անկյուն), երկուս ստացել են մեքենա և մեկը՝ այծ։ Իսկ նրանք, որոնք չեն փոխել (ներքևի աջ անկյուն)՝ հակառակը։]]
'''Մոնտի Հոլի պարադոքս''', [[Հավանականությունների տեսություն|հավանականությունների տեսության]] հայտնի առաջադրանքներից մեկը, որի լուծումն, առաջին հայացքից, հակասում է առողջ բանականությանը։ Այս առաջադրանքը, բառի նեղ իմաստով, պարադոքս չէ, քանի որ իր մեջ չի պարունակում հակասություն։ Այն կոչվում է պարադոքս այն պատճառով, որ առաջադրանքի լուծումը կարող է թվալ անսպասելի։ Ավելին, շատ մարդկանց համար դժվար է ընդունել ճիշտ որոշում նույնիսկ այն բանից հետո, երբ նրան բացատրվում է ճիշտ լուծումը<ref>{{Статья |автор=Воронцов, И.Д., Райцин, А.М. |заглавие=ПАРАДОКС МОНТИ ХОЛЛА |ссылка=http://srd-mtuci.ru/attachments/article/249/ТИТ-2-2016.pdf#page=7 |язык=ru |издание=ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ |год=2015 |номер=2 |страницы=7}}</ref>։

Առաջադրանքն առաջին անգամ հրապարակվել է<ref>{{статья |ref=harv |заглавие=A problem in probability (letter to the editor) |издание=The American Statistician |том=29 |номер=1 |страницы=67 |jstor=2683689 |язык=en |автор=Selvin, Steve |тип=journal}}</ref><ref>{{статья |ref=harv |заглавие=On the Monty Hall problem (letter to the editor) |издание=American Statistician |том=29 |номер=3 |страницы=134 |jstor=2683443 |язык=en |автор=Selvin, Steve |тип=journal}}</ref> (պատասխանի հետ միասին) 1975 թվականին «The American Statistician» ամսագրում, [[Բերկլիի կալիֆորնյան համալսարան]]ի պրոֆեսոր Սթիվ Սելվինի կողմից։ Այն դարձել է առավել հայտնի 1990 թվականին, երբ հրապարակվել է «Parade» ամսագրում<ref name="nytimes91">{{Citation |last=Tierney |first=John |author-link= John Tierney (journalist) |url=https://query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9D0CEFDD1E3FF932A15754C0A967958260 |title=Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer? |journal=The New York Times |date=July 21, 1991 |accessdate= 2008-01-18}}</ref>։

== Ձևակերպում ==
Առաջադրանքը ձևակերպվում է որպես խաղի նկարագրություն, որը հիմնված է ամերիկյան «Let’s Make a Deal» հեռուստախաղի վրա և անվանվել է ի պատիվ հեռուստախաղի հաղորդավարի։ Այս առաջադրանքի ամենատարածված տարբերակներից մեկը, որը 1990 թվականին հրապարակվել է «Parade Magazine»մ ամսագրում, ձևակերպվում է հետևյալ կերպ․
{{քաղվածք|Պատկերացրեք, որ խաղի մասնակից եք, որի ժամանակ պետք է ընտրել երեք դռներից մեկը։ Դռներից մեկի հետևում գտնվում է ավտոմեքենա, իսկ մյուս երկուսի հետևում՝ [[այծ]]եր։ Դուք ընտրում եք դռներից մեկը, օրինակ, 1-ին դուռը, որից հետո հաղորդավարը, որը գիտի, թե որ դռան հետևում է գտնվում ավտոմեքենան, իսկ որտեղ են գտնվում այծերը, բացում է մնացած երկու դռներից մեկը, օրինակ, 3-րդ դուռը, որի հետևում գտնվում է այծը։ Դրանից հետո հաղորդավարը հարցնում է ձեզ՝ չե՞ք ցանկանա արդյոք փոխել ձեր ընտրությունը և ընտրել երկրորդ դուռը։ Մեծանո՞ւմ են արդյոք ձեր շանսերը՝ հաղթելու ավտոմեքենա, եթե դուք ընդունեք հաղորդավարի առաջարկը և փոխեք ձեր որոշումը։}}

Հրապարակումից անմիջապես հետո պարզ դարձավ, որ առաջադրանքը ոչ ճիշտ է ձևակերպված։ Չեն նշվել բոլոր պայմանները։ Օրինակ, հաղորդավարը կարող է կիրառել «դժոխային Մոնտիի» ռազմավարությունը․ առաջարկել փոխել ընտրությունն այն ժամանակ և միայն այն դեպքում, երբ խաղացողն առաջին քայլով ընտրել է ավտոմեքենան։ Միանշանակ է, որ առաջին ընտրության փոփոխությունը կարող է տանել երաշխավորված պարտության իրավիճակի (տես ստորև)։

Հավելյալ պայմաններով ամենահայտնի առաջադրանքը համարվում է հետևյալը<ref>[https://www.cambridge.org/core/books/martin-gardner-in-the-twentyfirst-century/monty-hall-problem-reconsidered/0F9B317BB799EA305C9FA0FFAA0DDFF4 The Monty Hall Problem, Reconsidered]. Martin Gardner in the Twenty-First Century</ref>։ Խաղի մասնակցին նախապես հայտնի են հետևյալ պայմանները․

* ավտոմեքենան համահավասար կարող է գտնվել երեք դռներից յուրաքանչյուրի հետևում, 
* հաղորդավարը գիտի, թե որտեղ է գտնվում ավտոմեքենան,
* հաղորդավարը ցանկացած պարագայում պետք է բացի այն դռներից մեկը, որտեղ գտնվում է այծը (սակայն, ոչ այն, որն ընտրել է մասնակիցը) և առաջարկի փոխել իր ընտրությունը,
* եթե հաղորդավարն ունի ընտրություն, թե որ երկու դռներից մեկը բացի, նա ընտրում է երկուսից ցանկացածը` միևնույն հավանականությամբ։
Ստորև ներկայացված տեքստում Մոնտի Հոլի առաջադրանքը քննարկվում է հենց այս ձևակերպմամբ։

== Վերլուծություն ==
{| class="wikitable" style="margin:auto; text-align: center;"
|-
! Դուռ 1 || Դուռ 2 || Դուռ 3 || Արդյունքը, եթե մասնակիցը փոխել է ընտրությունը || Արդյունքը, եթե մասնակիցը չի փոխել ընտրությունը
|-
| Ավտոմեքենա || Այծ || Այծ || '''Այծ''' || '''Ավտոմեքենա'''
|-
| Այծ || Ավտոմեքենա || Այծ || '''Ավտոմեքենա''' || '''Այծ'''
|-
| Այծ || Այծ || Ավտոմեքենա || '''Ավտոմեքենա''' || '''Այծ'''
|}

Հաղթելու ռազմավարության համար կարևոր է հետևյալը. եթե դուք, հաղորդավարի գործողություններից հետո, փոխում եք դռան ընտրությունը, ապա դուք հաղթում եք, եթե սկզբնապես ընտրել էիք սխալ դուռը։ Սրա հավանականությունը կազմում է {{Frac|2|3}}, քանի որ ի սկզբանե սխալ դուռ ընտրելու հնարավորությունը կազմում է երկու (հնարավոր երեք դռների մեջ)։

Սակայն հաճախ այս առաջադրանքի լուծման ժամանակ խաղացողները մտածում են հետևյալ կերպ. հաղորդավարը միշտ էլ հեռացնում է սխալ դռներից մեկը, և այդ դեպքում ավտոմեքենայի գտնվելը երկու հնարավոր դռներից մեկի հետևում դառնում է հավասար <big>½</big>, անկախ առաջնային ընտրությունից։ Սակայն այս փաստը ճիշտ չէ։ Չնայած որ ընտրության հնարավորությունը իրոք մնում է երկու դռների միջև, այդ հնարավորությունները (ներառյալ նաև նախապատմությունը), հավասար հավանական չեն։ Դա այդպես է, քանի որ ի սկզբանե բոլոր դռներն ունեցել են հավասար շանսեր` դառնալու հաղթող, սակայն ավելի ուշ ունեցել են տարբեր հավանականություններ` լինելու բացառված։

Մարդկանց մեծամասնության համար այս եզրահանգումը հակասում է իրավիճակի ինտուիտիվ ընկալմանը և ի շնորհիվ տրամաբանական եզրահանգման և պատասխանի միջև առկա անհամապատասխանության, որին հանգում է ինտուիտիվ մտածելակերպը, առաջադրանքը հենց այդպես էլ կոչվում է «Մոնտի Հոլի պարադոքս»։

Դռների հետ կապված իրավիճակը դառնում է էլ ավելի ակնառու, եթե պատկերացնենք, որ դռների թիվը ոչ թե 3 է, այլ ասենք, 1000 և մասնակցի ընտրությունից հետո հաղորդավարը հեռացնում է 998 ավելորդ դռները և թողնում երկու դուռ. այն, որը ընտրել է մասնակիցը և ևս մեկը։ Ավելի ակնհայտ է դառնում այն, որ ավտոմեքենայի երկու դռներից մեկի հետևում գտնվելու հավանականությունը տարբեր է և հավասար չէ <big>½</big>-ի։ Եթե մենք փոխենք դռները, ապա պարտվում ենք միայն այն դեպքում, երբ ի սկզբանե ընտրել էինք մրցանակային դուռը, որի հավանականությունը կազմում է 1:1000-ի։ Հաղթում ենք մենք նաև այն պարագայում, եթե մեր նախնական ընտրությունը '''չի եղել''' ճիշտ, իսկ դրա հավանականությունը կազմում է 999:1000-ի։ Երեք դռների պարագայում տրամաբանությունը պահպանվում է, սակայն հաղթանակի հավանականությունը, ընտրության փոփոխության պարագայում, կազմում է {{Frac|2|3}}, այլ ոչ` {{Frac|999|1000}}:

Դիտարկման մեկ այլ տարբերակ է երկտար պայմանների փոփոխությունը։ Պատկերացնենք, որ մասնակցի կողմից նախնական ընտրության (թող այն միշտ լինի N 1 դուռը) և դրան հաջորդող հաղորդավարի կողմից այծով դռներից մեկի բացման փոխարեն (այսինքն, թող այդ ընտրությունը միշտ լինի 2-րդ և 3-րդ դռների միջև), մասնակիցը պետք է առաջին փորձից գուշակի, թե որ դռան հետևում է գտնվում ավտոմեքենան։ Սակայն նրան նախապես տեղեկացվում է, որ առաջին դռան հետևում ավտոմեքենան կարող է գտնվել 33 % հարաբերակցությամբ, իսկ մյուս երկու դռների պարագայում նշվում է, որ կոնկրետ այս մի դռան հետևում չի գտնվում ավտոմեքենան (0 %)։ Համապատասխանաբար, մյուս դռանը բաժին է ընկնում 67 % հավանականություն և նրա ընտրության ռազմավարությունը դառնում է առաջնային։

== Հաղորդավարի այլ վարքագիծ ==
Մոնտի Հոլի պարադոքսի դասական տարբերակը վկայում է, որ հաղորդավարը պետք է պարտադիր առաջարկի մասնակցին փոխել դռներն, անկախ այն հանգամանքից, թե ընտրել է նա ավտոմեքենան, թե` ոչ։ Սակայն հաղորդավարը կարող է ցուցաբերել նաև ավելի բարդ վարքագիծ։ Այս աղյուսակում հակիրճ նկարագրված են վարքագծի հնարավոր տարբերակները։ Եթե չի ասվել հակառակը, մրցանակները հավասար հավանականությամբ գտնվում են դռների հետևում և հաղորդավարը գիտի, թե որ դռան հետևում է ավտոմեքենան։ Իսկ եթե կա ընտրություն, հաղորդավարը հավասար հավանականությամբ ընտրում է այծերից մեկին։

<div style="text-align:center;">
{| style="width:80%;" class="wikitable"
|-
!colspan=2|Հաղորդավարի հնարավոր վարքագիծ
|-
!Հաղորդավարի վարքագիծ
!Արդյունք
|-
|«Դժոխային Մոնտի»` հաղորդավարն առաջարկում է փոխել ընտրությունը, եթե ընտրված դուռը ճիշտ է<ref name="nytimes91" />։
|Ընտրության փոփոխության արդյունքում խաղացողը միշտ պարտվում է, քանի որ ընտրում է այծին։
|-
|«Հրեշտակային Մոնտի»` հաղորդավարն առաջարկում է փոխել ընտրությունը, եթե ընտրված դուռը ճիշտ չէ<ref>Granberg, Donald (1996). «To Switch or Not to Switch». Appendix to vos Savant, Marilyn, ''The Power of Logical Thinking''. St. Martin’s Press. ISBN 0-312-30463-3, ({{Google books|jNndlc2W4pAC&pg|restricted online copy|page=169}}).</ref>։
|Ընտրության փոփոխության արդյունքում խաղացողը հաղթում է ավտոմեքենա։
|-
|«Անտեղյակ Մոնտի» կամ «Մոնտի Բուհ` հաղորդավարը պատահականորեն ընկնում է, բացվում է դուռը և պարզվում, որ դռան հետևում ավտոմեքենան չէ։ Այլ խոսքերով, հաղորդավարն ինքն էլ չգիտի, թե ինչեր են դռների հետևում։ Դուռը բացվում է պատահականորեն և միայն, բարեբախտաբար, դռան հետևում չի գտնվում ավտոմեքենան<ref>Granberg, Donald and Brown, Thad A. (1995). "The Monty Hall Dilemma, " ''Personality and Social Psychology Bulletin'' '''21'''(7): 711—729.</ref><ref name="roz1">{{статья |ref=refRosenthal2005a |заглавие=Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl |издание={{Iw|Math Horizons}} |страницы=September issue, 5—7 |язык=en |автор=Rosenthal, Jeffrey S. |год=2005a |тип=magazine}} [http://probability.ca/jeff/writing/montyfall.pdf Online reprint, 2008].</ref><ref name="roz2">Rosenthal, Jeffrey S. (2005b): ''Struck by Lightning: the Curious World of Probabilities''. Harper Collings 2005, ISBN 978-0-00-200791-7.</ref>։
|Ընտրության փոփոխությունը տալիս է հաղթանակ` դեպքերի <big>½</big> պարագայում։<br>Հենց այդ սկզբունքով է ստեղծված ամերիկյան «Deal or No Deal» հեռուստաշոուն. ճիշտ է պատահական դուռը բացում է հենց խաղացողը։ Եվ եթե դրա հետևում ավտոմեքենան չէ, ապա հաղորդավարն առաջարկում է փոխել։
|-
|Հաղորդավարն ընտրում է այծերից մեկը և բացում այդ դուռը, եթե խաղացողն ընտրել է այլ դուռ։
|Ընտրության փոփոխությունը տալիս է հաղթանակ` դեպքերի <big>½</big> պարագայում։
|-
|Հաղորդավարը միշտ բացում է այծերից մեկի դուռը։ Եթե մասնակիցն ընտրել է ավտոմեքենան, ձախ այծը բացվում է ''p'' հավանականությամբ, իսկ աջը` ''q''=1−''p'' հավանականությամբ<ref name="roz1" /><ref name="roz2" /><ref>Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. (1991). [https://www.jstor.org/stable/2684453 "Let’s make a deal: The player’s dilemma, "] ''American Statistician'' '''45''': 284—287.</ref>։
|Եթե հաղորդավարը բացել է ձախ դուռը, ընտրության փոփոխությունը տալիս է հաղթանակ` <math>\frac{1}{1+p}</math> հավանականությամբ, իսկ եթե աջը` <math>\frac{1}{1+q}</math> հավանականությամբ։ Սակայն փորձարկվողը ոչ մի կերպ չի կարող ազդել այն հավանականության վրա, որ կբացվի աջ դուռը. անկախ իր ընտրությունից, այն տեղի կունենա <math>\frac{1+q}{3}</math> հավանականությամբ։
|-
|Նույնը` ''p''=''q''=<big>½</big> (դասական դեպք)։
|Փոփոխությունը տալիս է հաղթանակ` {{Frac|2|3}} հավանականությամբ։
|-
|Նույնը` ''p''=1, ''q''=0 («Անուժ Մոնտի»` հոգնած հաղորդավարը կանգնած է ձախ դռան մոտ և բացում է այն այծի դուռը, որն իրեն ամենամոտն է:)։
|Եթե հաղորդավարը բացեր իրենից աջ գտնվող դուռը, ապա փոփոխությունը կտար երաշխավորված հաղթանակ։ Իսկ եթե ձախը, ապա հավանականությունը կկազմեր <big>½</big>:
|-
| Հաղորդավարը միշտ բացում է այցեծրից մեկի դուռը, եթե մասնակիցն ընտրել է ավտոմեքենան և <big>½</big> հավանականությամբ` հակառակ դեպքում<ref>Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (May 1999). [http://econpapers.repec.org/paper/wpawuwpex/9906001.htm «The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making»], University of Missouri Working Paper 99-06. Retrieved June 10, 2010.</ref>։
|Ընտրության փոփոխությունը տալիս է հաղթանակ` <big>½</big> հավանականությամբ։
|-
|Ընդհանուր դեպք. խաղը կրկնվում է մի քանի անգամ։ Այս կամ այն դռան հետևում ավտոմեքենայի թաքցման հավանականությունը, ինչպես նաև այս կամ այն դռան բացումը կամայական է, սակայն հաղորդավարը գիտի, թե որտեղ է ավտոմեքենան և միշտ առաջարկում է փոփոխություն` բացելով այծերից մեկին<ref>Gill, Richard (2010) Monty Hall problem. pp. 858—863, ''International Encyclopaedia of Statistical Science'', Springer, 2010. Eprint [http://arxiv.org/pdf/1002.3878v2]</ref><ref>[[Гилл, Ричард|Gill, Richard]] (2011) The Monty Hall Problem is not a probability puzzle (it’s a challenge in mathematical modelling). ''Statistica Neerlandica'' '''65'''(1) 58-71, February 2011. Eprint [http://arxiv.org/pdf/1002.0651v3]</ref>։
|[[Նեշի հավասարում]]. հաղորդավարին ամենաձեռնտուն Մոնտի Հոլի հենց դասական տարբերակն է (հաղթանակի հավանականությունը` {{Frac|2|3}}): Մեքենան գտնվում է դռներից յուրաքանչյուրի հետևում` <big>⅓</big> հավանականությամբ։ Եթե կա ընտրություն, ապա պատահականորեն բացվում է այծերից որևէ մեկի դուռը։
|-
|Նույնը, սակայն հաղորդավարը կարող է չբացել և ոչ մի դուռ։ 
|Նեշի հավասարում. հաղորդավարին ձեռք չի տալիս բացել դռներից մեկը, որի արդյունքում հաղթանակի հավանականությունը մնում է <big>⅓</big>:
|}
</div>

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}
== Գրականություն ==
* ''Гмурман В. Е. '' Теория вероятностей и математическая статистика, — {{М}}: Высшее образование. 2005
* <span class="citation" id=refGnedin2011>Gnedin, Sasha [http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf «The Mondee Gills Game.»]{{Չաշխատող արտաքին հղում|bot=InternetArchiveBot }} Журнал ''The Mathematical Intelligencer'', 2011</span>
* Савант, Мэрилин вос. Колонка «Ask Marilyn», журнал ''Parade Magazine'' от 17 февраля 1990.
* Савант, Мэрилин вос. Колонка «Ask Marilyn», журнал ''Parade Magazine'' от 26 февраля 2006.
* Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara. «A three-door game show and some of its variants». Журнал ''The Mathematical Scientist'', 1992, № 2.
* Tijms, Henk. ''Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life''. Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)
== Արտաքին հղումներ ==
* [http://www.smartvideos.ru/probabilit-problem Объясняющий видеоролик] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190824122542/http://www.smartvideos.ru/probabilit-problem/ |date=2019-08-24 }} на сайте [http://www.smartvideos.ru/ Smart Videos .ru] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190824122527/http://www.smartvideos.ru/ |date=2019-08-24 }}
* {{MathWorld|MontyHallProblem|Парадокс Монти Холла}}
* [http://www.letsmakeadeal.com/problem.htm Парадокс Монти Холла] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100408200824/http://www.letsmakeadeal.com/problem.htm |date=2010-04-08 }} на сайте телешоу [http://www.letsmakeadeal.com Let’s Make a deal] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070502063233/http://www.letsmakeadeal.com/ |date=2007-05-02 }}
* [http://univertv.ru/video/matematika/matematicheskaya_smes/matematicheskie_zagadki_i_paradoksy/paradoks_monti_holla/?mark=popular Ron Clarke Парадокс Монти Холла] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200919050417/http://univertv.ru/video/matematika/matematicheskaya_smes/matematicheskie_zagadki_i_paradoksy/paradoks_monti_holla/?mark=popular |date=2020-09-19 }}
* [https://web.archive.org/web/20120304195637/http://dr-piliulkin.livejournal.com/47055.html Отрывок из книги С.Лукьяненко], в котором используется парадокс Монти Холла
* [http://www.nsu.ru/phorum/read.php?f=6&i=6624&t=6618 Ещё одно решение по Байесу] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304204909/http://www.nsu.ru/phorum/read.php?f=6&i=6624&t=6618 |date=2016-03-04 }} Ещё одно решение по Байесу на форуме Новосибирского Государственного Университета
* [http://rosettacode.org/wiki/Monty_Hall_problem Реализация симулятора парадокса Монти Холла на разных языках] (на сайте Rosetta Code)
{{Արտաքին հղումներ}}
{{Պարադոքսներ}}

[[Կատեգորիա:Հավանականությունների տեսության խնդիրներ]]