Դիտել Շարք էջի վիքիկոդը

'''Շարք''', մաթեմատիկական հասկացություն, որը վերջավոր գումարի ընդհանրացումն է անվերջ քանակությամբ գումարելիների դեպքում, սահմանվում է որպես <math>u_1+u_2+u_3+....u_n+....</math> կարճ՝ <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_n) \qquad (1) </math> տեսքի պայմանանշան (սիմվոլ), որտեղ <math>u_1, u_2, u_3,....u_n....</math> թվեր են, կամ ֆունկցիաներ, կամ Էլ, ընդհանուր դեպքում՝ նորմավորված կամ գծային տոպոլոգիական տարածության տարրեր։ <math>u_1, u_2, u_3,....u_n....</math>-երը անվանում են (1) շարքի անդամներ (<math>u_n</math>–ը՝ <math>n</math>–րդ անդամ)։ Եթե <math>u_n</math>–երը թվեր են (իրական կամ կոմպլեքս), ապա (1)-ը անվանում են թվային շարք, եթե ֆունկցիաներ՝ ֆունկցիոնալ շարք։ 

'''Թվային շարք'''․ <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n=u_1+u_2+u_3+....u_n+.... \qquad (2) </math> թվային շարքի համար կազմում են <math>S_1, S_2, S_3,....S_n,....</math> հաջորդականությունը, որտեղ՝ <math>S_1=u_1, S_2=u_1+u_2, S_3=u_1+u_2+u_3, ....,S_n=u_1+u_2+u_3+ ....+u_n, [S_n</math>-ը անվանում են (2) շարքի <math>n</math>-րդ մասնակի գումար]։ Եթե <math>{S_n}</math> հաջորդականությունն ունի սահման, ապա ասում են, որ (2) շարքը զուգամետ Է․ ընդ որում՝ <math>S=\lim_{n \to \infty} S_n</math> սահմանը անվանում են (2)-ի գումար և գրում՝ 
: <math>S= \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n=u_1+u_2+u_3+....u_n+....</math> 

Օրինակ՝ <math>1+q+q^2+q^3+....+q^n+.... (|q|< 1) </math> շարքը՝ [[անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա]]յի գումարը, զուգամետ Է, ընդ որում՝  <math>S= \frac {1}{1-q} = 1+q+q^2+q^3+....+q^n+....</math>:

Այսպիսով (2) շարքի գումարը ոչ թե հաջորդական գումարման արդյունք Է, այլ՝ այդ շարքի հետ կապված որոշակի հաջորդականության (<math>S_n</math>–ի) սահման։ Ոչ զուգամետ շարքը անվանում են տարամետ շարք․ օրինակ` <math>1+q+q^2+q^3+....+q^n+....</math> շարքը <math>|q|>1</math> դեպքում տարամետ Է։ Եթե <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}(|u_n|)</math>  շարքը զուգամետ է (այդ  դեպքում զուգամետ է նաև <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n</math> –ը), ապա (2)-ը անվանում են բացարձակ զուգամետ, եթե <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n</math>–ը զուգամետ է, իսկ <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n|</math>-ը՝ ոչ, ապա (2)-ը անվանում են պայմանական զուգամետ։ Օրինակ՝ ապացուցվում է, որ <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n=1-\frac {1}{2}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+....</math> շարքը զուգամետ է․ և քանի որ <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n|=1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3}+ ... +\frac{1}{n}+ ... </math> [[հարմոնիկ շարք]]ը տարամետ է, ապա <math>1-\frac {1}{2}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+....</math> շարքը պայմանական զուգամետ է։

Բացարձակ զուգամետ շարքի վրա առավել լրիվ կերպով են տարածվում վերջավոր գումարների շատ հատկություններ՝ [[տեղափոխականություն]], [[զուգորդականություն]] ևն․ իսկ պայմանական զուգամետ շարքի գումարը՝ անդամները տեղափոխելիս, կարող է փոխվել, ավելին՝ Ռիմանի թեորեմը պնդում է, որ պայմանական զուգամետ շարքի գումարը՝ անդամների տեղերը հարմար ձևով տեղափոխելու միջոցով, կարելի է դարձնել նախապես տրված ցանկացած թիվը, օրինակ՝
:<math>1- \frac{1}{2} + \frac{1}{3}- \frac{1}{4} + \frac{1}{5}- \frac {1}{6} + \frac{1}{7}- \frac{1}{8}+ \frac{1}{9} + ... =ln2</math>
բայց՝
:<math>1+ \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+ \frac{1}{5} + \frac{1}{7}- \frac {1}{4} + \frac{1}{9}+ \frac{1}{11}- \frac{1}{6} + ... =\frac{3}{2}ln2</math>:

'''Ֆունկցիոնալ շարք'''․ եթե <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) \qquad (3) </math> ֆունկցիոնալ շարքը զուգամետ է <math>E</math> բազմության յուրաքանչյուր կետում, ապա ասում են, որ այն զուգամետ է <math>E</math>-ի վրա․ ընդ որում՝ <math>S(x) =\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)</math> հավասարությամբ որոշվող <math>S(x)</math> ֆունկցիան անվանում են (3)-ի գումար։ (3) շարքը անվանում են հավասարաչափ զուգամետ <math>E</math>-ի վրա, եթե <math>E</math>-ի վրա հավասարաչափ զուգամետ է (3)-ի մասնակի գումարների {<math>S_n(x)</math>} հաջորդականությունը (տես [[Հավասարաչափ զուգամիտություն]])։

<math>[a, b]</math>-ի վրա անընդհատ ֆունկցիաներից կազմված հավասարաչափ զուգամետ շարքի գումարը անընդհատ ֆունկցիա է․ իսկ ինտեգրելի ֆունկցիաների գումարը՝ ինտեգրելի․ ընդ որում՝
: <math> \int\limits_{a}^{b} \left (\sum_{n=1}^{\infty} U_n(x)\right)d(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x)dx</math>

Ֆունկցիոնալ շարքի կարևորագույն տեսակներ են [[աստիճանային շարք]]ը և եռանկյունաչափական շարքը։
:1) <math>a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+... +a_n(z-z_0)^n+...\qquad (4)</math> տեսքի ֆունկցիոնալ շարքը անվանում են աստիճանային շարք (<math>u_n(z)=a_n(z-z_0)^n, a_n</math>-երը և <math>z_0</math>-ն կոմպլեքս կամ իրական թվեր են)։ Բոլոր այն <math>z</math> կոմպլեքս (իրական) թվերի բազմության ներքին կետերի բազմությունը, որոնց համար (4) շարքը զուգամետ է, <math>z_0</math> կենտրոնով և <math>R</math> շառավղով բաց շրջան է՝ զուգամիտության շրջան (միջակայք է՝ զուգամիտության միջակայք)․ մասնավոր դեպքում այն կարող է վերածվել <math>z_0</math> կետի՝ <math>R=0</math>, կամ ամբողջ կոմպլեքս հարթությանը՝ <math>R=\infty</math>: <math>R</math>-ը որոշվում է <math> {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow \infty}} \, \sqrt[n]{|a_n|}</math> հավասարությունից ([[Կոշի-Ադամարի թեորեմ]])։

Զուգամիտության շրջանի ներսում (4) շարքի գումարը [[անալիտիկ ֆունկցիա]] է, որի [[Թեյլորի շարք]]ը <math>z_0</math> կետում հենց (4)-ն է։
:2) <math>\sum_{n=0}^{\infty} (a_ncosnx-b_nsinnx)</math> տեսքի ֆունկցիոնալ շարք (<math>u_n(x)=a_ncosnx+b_nsinnx, a_n, b_n</math>-երը թվեր են) անվանում են եռանկյունաչափական շարք: Բավականաչափ լայն դասի ֆունկցիաներ ներկայացվում են եռանկյունաչափական շարքերով․ օրինակ՝ <math> \frac{\pi-x}{2}=sinx+ \frac{sin2x}{2}+ \frac{sin3x}{3}+...</math>: Եռանկյունաչափական շարքերի կարևոր ենթադաս են կազմում [[Ֆուրիեի շարք]]երը: Շարքի վերածելը ֆունկցիաների ուսումնասիրության արդյունավետ միջոց է։ Այն կիրառվում է ֆունկցիաների մոտավոր արժեքները հաշվելու, ինտեգրալները հաշվելու և գնահատելու, բազմապիսի հավասարումներ ([[Հանրահաշվական հավասարում|հանրահաշվական]], [[Դիֆերենցիալ հավասարումներ|դիֆերենցիալ]], [[Ինտեգրալ հավասարումներ|ինտեգրալ]] ևն) լուծելու համար։ Շարքին, բացի սովորական իմաստով գումար վերագրելուց, վերագրում են ընդհանրացված գումարներ (տես [[Շարքերի գումարման մեթոդներ]]):

== Արտաքին հղումներ ==
{{Արտաքին հղումներ}}

{{ՀՍՀ|հատոր=8|էջ=469}}
[[Կատեգորիա:Շարքեր]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ]]