Շարք

Շարք, մաթեմատիկական հասկացություն, որը վերջավոր գումարի ընդհանրացումն է անվերջ քանակությամբ գումարելիների դեպքում, սահմանվում է որպես $u_1+u_2+u_3+....u_n+....$ կարճ՝ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(u_n)(1)$ տեսքի պայմանանշան (սիմվոլ), որտեղ $u_1,u_2,u_3,....u_n....$ թվեր են, կամ ֆունկցիաներ, կամ Էլ, ընդհանուր դեպքում՝ նորմավորված կամ գծային տոպոլոգիական տարածության տարրեր։ $u_1,u_2,u_3,....u_n....$-երը անվանում են (1) շարքի անդամներ ($u_n$–ը՝ $n$–րդ անդամ)։ Եթե $u_n$–երը թվեր են (իրական կամ կոմպլեքս), ապա (1)-ը անվանում են թվային շարք, եթե ֆունկցիաներ՝ ֆունկցիոնալ շարք։

Թվային շարք․ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=u_1+u_2+u_3+....u_n+....(2)$ թվային շարքի համար կազմում են $S_1,S_2,S_3,....S_n,....$ հաջորդականությունը, որտեղ՝ $S_1=u_1,S_2=u_1+u_2,S_3=u_1+u_2+u_3,....,S_n=u_1+u_2+u_3+....+u_n,[S_n$-ը անվանում են (2) շարքի $n$-րդ մասնակի գումար]։ Եթե $S_n$ հաջորդականությունն ունի սահման, ապա ասում են, որ (2) շարքը զուգամետ Է․ ընդ որում՝ $S=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n$ սահմանը անվանում են (2)-ի գումար և գրում՝

$S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=u_1+u_2+u_3+....u_n+....$

Օրինակ՝ $1+q+q^2+q^3+....+q^n+....(|q|<1)$ շարքը՝ անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը, զուգամետ Է, ընդ որում՝ $S=\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+....+q^n+....$:

Այսպիսով (2) շարքի գումարը ոչ թե հաջորդական գումարման արդյունք Է, այլ՝ այդ շարքի հետ կապված որոշակի հաջորդականության ($S_n$–ի) սահման։ Ոչ զուգամետ շարքը անվանում են տարամետ շարք․ օրինակ` $1+q+q^2+q^3+....+q^n+....$ շարքը $|q|>1$ դեպքում տարամետ Է։ Եթե $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(|u_n|)$ շարքը զուգամետ է (այդ դեպքում զուգամետ է նաև $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ –ը), ապա (2)-ը անվանում են բացարձակ զուգամետ, եթե $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$–ը զուգամետ է, իսկ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|u_n|$-ը՝ ոչ, ապա (2)-ը անվանում են պայմանական զուգամետ։ Օրինակ՝ ապացուցվում է, որ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....$ շարքը զուգամետ է․ և քանի որ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|u_n|=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+...$ հարմոնիկ շարքը տարամետ է, ապա $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....$ շարքը պայմանական զուգամետ է։

Բացարձակ զուգամետ շարքի վրա առավել լրիվ կերպով են տարածվում վերջավոր գումարների շատ հատկություններ՝ տեղափոխականություն, զուգորդականություն ևն․ իսկ պայմանական զուգամետ շարքի գումարը՝ անդամները տեղափոխելիս, կարող է փոխվել, ավելին՝ Ռիմանի թեորեմը պնդում է, որ պայմանական զուգամետ շարքի գումարը՝ անդամների տեղերը հարմար ձևով տեղափոխելու միջոցով, կարելի է դարձնել նախապես տրված ցանկացած թիվը, օրինակ՝

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+...=ln2$

բայց՝

$1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6}+...=\frac{3}{2}ln2$:

Ֆունկցիոնալ շարք․ եթե $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(x)(3)$ ֆունկցիոնալ շարքը զուգամետ է $E$ բազմության յուրաքանչյուր կետում, ապա ասում են, որ այն զուգամետ է $E$-ի վրա․ ընդ որում՝ $S(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$ հավասարությամբ որոշվող $S(x)$ ֆունկցիան անվանում են (3)-ի գումար։ (3) շարքը անվանում են հավասարաչափ զուգամետ $E$-ի վրա, եթե $E$-ի վրա հավասարաչափ զուգամետ է (3)-ի մասնակի գումարների {$S_n(x)$} հաջորդականությունը (տես Հավասարաչափ զուգամիտություն)։

$[a,b]$-ի վրա անընդհատ ֆունկցիաներից կազմված հավասարաչափ զուգամետ շարքի գումարը անընդհատ ֆունկցիա է․ իսկ ինտեգրելի ֆունկցիաների գումարը՝ ինտեգրելի․ ընդ որում՝

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_n(x))d(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}_n(x)dx$

Ֆունկցիոնալ շարքի կարևորագույն տեսակներ են աստիճանային շարքը և եռանկյունաչափական շարքը։

1) $a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0{)}^2+...+a_n(z-z_0{)}^n+...(4)$ տեսքի ֆունկցիոնալ շարքը անվանում են աստիճանային շարք ($u_n(z)=a_n(z-z_0{)}^n,a_n$-երը և $z_0$-ն կոմպլեքս կամ իրական թվեր են)։ Բոլոր այն $z$ կոմպլեքս (իրական) թվերի բազմության ներքին կետերի բազմությունը, որոնց համար (4) շարքը զուգամետ է, $z_0$ կենտրոնով և $R$ շառավղով բաց շրջան է՝ զուգամիտության շրջան (միջակայք է՝ զուգամիտության միջակայք)․ մասնավոր դեպքում այն կարող է վերածվել $z_0$ կետի՝ $R=0$, կամ ամբողջ կոմպլեքս հարթությանը՝ $R=\mathrm{\infty }$: $R$-ը որոշվում է $\frac{1}{R}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[n]{|a_n|}$ հավասարությունից (Կոշի-Ադամարի թեորեմ)։

Զուգամիտության շրջանի ներսում (4) շարքի գումարը անալիտիկ ֆունկցիա է, որի Թեյլորի շարքը $z_0$ կետում հենց (4)-ն է։

2) $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_{n}cosnx-b_{n}sinnx)$ տեսքի ֆունկցիոնալ շարք ($u_n(x)=a_{n}cosnx+b_{n}sinnx,a_n,b_n$-երը թվեր են) անվանում են եռանկյունաչափական շարք: Բավականաչափ լայն դասի ֆունկցիաներ ներկայացվում են եռանկյունաչափական շարքերով․ օրինակ՝ $\frac{\pi -x}{2}=sinx+\frac{sin2x}{2}+\frac{sin3x}{3}+...$: Եռանկյունաչափական շարքերի կարևոր ենթադաս են կազմում Ֆուրիեի շարքերը: Շարքի վերածելը ֆունկցիաների ուսումնասիրության արդյունավետ միջոց է։ Այն կիրառվում է ֆունկցիաների մոտավոր արժեքները հաշվելու, ինտեգրալները հաշվելու և գնահատելու, բազմապիսի հավասարումներ (հանրահաշվական, դիֆերենցիալ, ինտեգրալ ևն) լուծելու համար։ Շարքին, բացի սովորական իմաստով գումար վերագրելուց, վերագրում են ընդհանրացված գումարներ (տես Շարքերի գումարման մեթոդներ):