Ինտեգրալ հավասարումներ

Ինտեգրալ հավասարումներ, հավասարումներ, որոնք որոնելի ֆունկցիաների նկատմամբ պարունակում են ինտեգրման գործողություններ։ Առանձնապես կարևոր և բազմակողմանիորեն ուսումնասիրված գծային ինտեգրալ հավասարումների թվին են պատկանում

$a(p)\phi (p)+\underset{D}{\overset{}{\int }}k(p,q)\phi (q)dq=f(p),p\in D\subset R^n$ (1)

$a(x)\phi (x)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}k(x,y)\phi (y)dy=f(x),x\in (a,b)$ (2)

հավասարումները, որտեղ $\phi (p),\phi (x)$ որոնելի ֆունկցիաներ են. իսկ $a(p),f(p),k(p,q),a(x),f(x),k(x,y)$ նախապես տրված անընդհատ ֆունկցիաներ են իրենց որոշման տիրույթում։ $a(p)=0$ դեպքում (1)-ը կոչվում է Ֆրեդհոլմի առաջին սեռի, իսկ $a(p)=1$ դեպքում՝ Ֆրեդհոլմի երկրորդ սեռի ինտեգրալ հավասարում (շվեդ մաթեմատիկոս Ի. Ֆրեդհոլմի (Fredholm E. J., 1866–1927) անունով)։ Նմանապես, $a(x)=0$ դեպքում (2)-ը կոչվում է Վոլտերայի առաջին սեռի, իսկ $a(x)=1$ դեպքում՝ Վոլտերայի երկրորդ սեռի ինտեգրալ հավասարում (իտալացի մաթեմատիկոս Վ. Վոլտերայի (Volterra V., 1860–1940) անունով)։ Երբ $k(p,q)$ ֆունկցիան (համապատասխանաբար $k(x,y)$-ը), որը կոչվում է ինտեգրալ հավասարման կորիզ, ունի

$k(p,q)=\sum _{k=1}^N{\alpha }_1(p){\beta }_1(q)$

($k(x,y)=\sum _{k=1}^N{\alpha }_1(x){\beta }_1(y)$)

մասնավոր տեսքը, (1) և (2) հավասարումների լուծումը բերվում է գծային հանրահաշվական հավասարումների լուծման։ Այն ինտեգրալ հավասարումները, որոնց կորիզն ունի ոչ ինտեգրելի եզակիություն (օրինակ, երբ $k(x,y)=(x-y{)}^{-1}$), կոչվում են սինգուլյար ինտեգրալ հավասարում։ Ոչ գծային ինտեգրալ հավասարմներից կարևորներն են

$\phi (x)+\underset{0}{\overset{1}{\int }}k(x,t,\phi (t))dt$

Ուրիսոնի հավասարումը և նրա մասնավոր դեպքը՝

$\phi (x)+\underset{0}{\overset{1}{\int }}k(x,t)F(t,\phi (t))dt$

Համերշտայնի հավասարումը։

Ինտեգրալ հավասարումների տեսությունը արդի բնագիտության հզոր միջոցներից է և ունի ամենալայն ու բազմապիսի կիրառություններ։