Աստիճանային շարք

Աստիճանային շարք մեկ փոփոխականով, դա ֆորմալ հանրահաշվական արտահայտություն է։

$F(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n,$

որում գործակիցներ $a_n$ ընտրվում է մի ինչ որ $R$ օղակից։

Աստիճանային շարքերի տարածություն

Տարածությունը մեկ փոփոխականով աստիճանային շարքով և գործակիցներ $R$-ից նշանակում են$R[[X]]$. $R[[X]]$ տարածությունը ունի դիֆերենցիալ հանրահաշվի կառուցվածք (կոմուտատիվ $R$ օղակով, ամբողջական, միավորով, եթե այդպիսին է $R$) օղակը։ Այն հաճախ օգտագործում են մաթեմատիկայում նկատի առնելով, որ նրանում հեշտ ներկայացնելի և լուծելի է ֆորմալ դիֆերենցիալ-հանրահաշվական և նույնիսկ ֆունկցիոնալ հարաբերակցությունը (տես․ մեթոդ ածանցավոր ֆունկցիաներ)։ Դրա օգտագործումով այդ հարաբերակցությունը փոխակերպվում է աստիճանական գործակիցներով հանրահաշվական հավասարման։ Եթե այն թույլատրվում է, ասում է ֆորմալ աստիճանային շարքի տրված խնդրի լուծման մասին։

$R[[X]]$- ում սահմամված է գումարման, բազմապատկման, ֆորմալ դիֆերենցում և ֆորմալ վերադրում գործողությունները։

Ենթադրենք

$F(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n,G(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{X}^n,H(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{X}^n.$

Այդ ժամանակ։

$H=F+G\iff \mathrm{\forall }n{c}_n=a_n+b_n$

$H=F\cdot G\iff \mathrm{\forall }n{c}_n=\sum _{k+l=n}{a}_k{b}_l$

$H=F\circ G\iff \mathrm{\forall }n{c}_n=\sum _{s=1}^n{a}_s\sum _{k_1+\dots +k_s=n}{b}_{k_1}{b}_{k_2}\dots b_{k_s}$ (այդ դեպում անհրաժեշտ է, որ պահպանվի $b_0=0$)

$H=F^{\prime }\iff \mathrm{\forall }n{c}_n=(n+1)a_{n+1}$

Աստիճանային շարքի զուգամիտություն

Իրական կամ կոմպլեքս գործակիցներով ֆորմալ աստիճանային շարքից, գրառման ճանապարհով, ինչ որ $X$ իրական ֆորմալ փոփոխականի մեծությունից, իրական և կոմպլեքս դաշտում կարելի է ստանալ աստիճանային շարք։ Աստիճանային շարքը համարվում է զուգամիտվող (գումարվող), եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից և կոչվում է բացարձակ զուգամիտություն, եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից, վերցրած մոդուլով (նորմայով)։

Զուգամիտության հայտանիշներ

Աստիճանային շարքի համար գոյություն ունի մի քանի թեորեմ, նկարագրելով պայմանը և բնույթը զուգամիտության։

• Աբելի առաջին թեորեմ։ Ենթադրենք $\mathrm{\Sigma }{a}_n{x}^n$ շարքը զուգամիտվում է $x_0$ կետում։ Այդ ժամանակ այդ շարքը զուգամիտվում է բացարձակապես $|x|<|x_0|$ շրջանում և հավասարաչափորեն այդ շրջանի $x$ ցանկացած կոմպակտ ենթաբազմությունում։ Հակադարձելով այդ թեորեմային, ստանում ենք, եթե աստիճանային շարքը տարամիտվում է $x=x_0$ դեպքում, այն տարամիտվում է ցանկացած $x$ դեպքում, այնպիսիք որ $|x|>|x_0|$։ Աբելի առաջին թեորեմայից նույնպես հետևում է, որ գոյություն ունի շրջանագծի այդպիսի $R$ շառավիղ ( հնարավոր է, զրոյական կամ անվերջ), որ $|x|<R$-ի դեպքում շարքը զուգամիտում է բացարձակապես (և հավասարաչափորեն այդ շրջանի $x$-ի $|x|<R$) կոմպակտ ենթաբազմությունում, իսկ $|x|>R$ դեպքում տարամիտում է։ Այդ $R$ մեծությանը անվանում են շարքի զուգամիտության շառավիղ, իսկ $|x|<R$ շրջանը՝ զուգամիտության շրջան։
• Կոշի-Ադամարի բանաձև։ Աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը (եթե վերևի սահման գոյություն ունի և դրական է, Աստիճանային շարքի մասին Ադամարի թեորեմ) կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով․

$\frac{1}{R}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}|a_n{|}^{1/n}$

(Վերին սահմանի սահմանման առիթով $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}$ տես․ «Հաջորդականության մասնակի սահման» հոդվածը)։

Ենթադրենք $F(x)$ և $G(x)$, երկու աստիճանային շարք են $R_F$ և $R_G$ զուգամիտության շառավիղներով։ Այդ ժամանակ

$R_{F+G}\ge \min \{R_F,R_G\}$

$R_{F\cdot G}\ge \min \{R_F,R_G\}$

$R_{F^{\prime }}=R_F$

Եթե շարքի համար $G(x)$-ը զրոյական ազատ անդամ է, ապա

$R_{F\circ G}\ge \frac{R_F}{R_F+1}{R}_G$

Հարցը $|x|=R$ վերին սահմանի կետերում զուգամիտության շարքի մասին բավականին բարդ է շրջանի զուգամիտությունը և այստեղ ընդհանուր պատասխան չկա։ Ահա մի քանիսը շարքի զուգամիտության սահմանային կետերում շրջանի զուգամիտության մասին թեորեմայից։

• Դալամբերի հայտանիշ։ Եթե $n>N$ և $\alpha >1$ դեպքում,

$\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\ge R(1+\frac{\alpha }{n})$ անհավասարությունը տեղի ունի,

ապա $\mathrm{\Sigma }{a}_n{x}^n$ աստիճանային շարքը զուգամիտվում է $|x|=R$ շրջանի բոլոր կետերում և հավասարաչափ $x$-ով։

• Դիրիխլիի հայտանիշ։ Եթե $\mathrm{\Sigma }{a}_n{x}^n$ աստիճանային շարքի բոլոր գործակիցները դրական են և $a_n$ հաջորդականությունը մոնոտոն զուգամիտվում է 0-ի, ապա այդ շարքը զուգամիտվում է $|x|=1$ շրջանագծի բոլոր կետերում, բացի, գուցե $x=1$ կետում։

Աստիճանային շարքի գումարը, ինչպես $x$ կոմպլեքս պարամետրի ֆունկցիա, հանդիսանում է վերլուծական ֆունկցիայի տեսության ուսումնասիրման առարկա։

Փոփոխակումներ և ընդհանրացումներ

n փոփոխականով աստիճանային շարք, դա ֆորմալ հանրահաշվական տեսքի արտահայտություն է,

$F(X_1,X_2,\dots ,X_n)=\sum _{k_1,k_2,\dots ,k_n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{k_1,k_2,\dots ,k_n}{X}_1^{k_1}{X}_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}$ կամ բազմաինդեքս նշանակումներ,

$F(X)=\sum _{\alpha }{a}_{\alpha }{X}^{\alpha },$

որտեղ $X$-ը $X=(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ վեկտորն է, $\alpha$-ն ՝ $\alpha =(k_1,k_2,\dots k_n)$ մուլտիինդեքսը, $X^{\alpha }$-ն $X^{\alpha }=X_1^{k_1}{X}_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}$ միանդամը։ $n$ պարամետրերով և $R$ գործակիցներով աստիճանային շարքի տարածությունը նշանակվում է՝ $R[[X_1,X_2,\dots ,X_n]]$։ Նրանում սահմանված է գումարման, բազմապատկման, յուրաքանչյուր փոփոխականի դիֆերենցման և $n$-տեղային վերադրման գործողություններ։ Ենթադրենք

$F(X)=\sum _{\alpha }{a}_{\alpha }{X}^{\alpha },G(X)=\sum _{\alpha }{b}_{\alpha }{X}^{\alpha },H(X)=\sum _{\alpha }{c}_{\alpha }{X}^{\alpha }.$

Ապա.

$H=F+G\iff \mathrm{\forall }\alpha c_{\alpha }=a_{\alpha }+b_{\alpha }$

$H=F\cdot G\iff \mathrm{\forall }\alpha c_{\alpha }=\sum _{\beta +\gamma =\alpha }{a}_{\beta }{b}_{\gamma }$

$H=\frac{\partial F}{\partial X_i}\iff \mathrm{\forall }(k_1,k_2,\dots ,k_n)c_{k_1,k_2,\dots ,k_n}=(k_i+1)a_{(k_1,k_2,\dots ,k_i+1,\dots ,k_n)}$

$R[[X_1,X_2,\dots ,X_n]]$ տարածության մասին կարելի է գործնականում ասել նույնը, ինչ և $R[[X]]$։