Դիտել Պարզ թվերի թեորեմ էջի վիքիկոդը

[[Թվերի տեսություն|Թվերի տեսության]] մեջ '''պարզ թվերի թեորեմը,''' նկարագրում է պարզ թվերի ասիմպտոտ բաշխումը դրական ամբողջ թվերի մեջ։ Այն ֆորմալացնում է այն ինտուիտիվ գաղափարը, որ որքան թվերը մեծանում են այնքան սակավ են հանդիպում պարզ թվեր, ճշգրիտ հաշվելով դրանց հանդիպման հաճախականությունը։ Թեորեմն 1896 թվականին իրարից անկախ ապացուցել են [[Ժակ Ադամար]]ի և [[Շառլ Ժան դը լա Վալե Պուսեն]]ը՝ օգտագործելով [[Բեռնարդ Ռիման]]ի կողմից ներդրված գաղափարները (մասնավորապես՝ Ռիմանի zeta ֆունկցիան)։

Առաջին նման բաշխման գտնվում է հետևյալ բանաձևով {{math|''π''(''N'') ~ {{sfrac|''N''|log(''N'')}}}}, որտեղ  {{math|''π''(''N'')}}-ը պարզ թվերի հաշվարկի ֆունկցիան է, իսկ {{math|log(''N'')}}-ը {{mvar|N}}-ի բնական լոգարիթմն է։ Սա նշանակում է, որ բավականաչափ մեծ {{mvar|N}}-ի համար, հավանականությունը այն բանի որ {{mvar|N}}-ից ոչ մեծ պատահական թիվը պարզ է, շատ մոտ է {{math|1 / log(''N'')}}-ին։ Հետևաբար, ամենաշատը {{math|2''n''}} թվանշան ունեցող պատահական ամբողջ թվի ( բավականաչափ մեծ {{mvar|n}}-ի համար)  պարզ լինելու հավանականությունը կիսով չափ է, քան ամենաշատը {{mvar|n}} թվանշան ունեցող պատահական ամբողջ թվինը։ Օրինակ, 1000 թվանշան ունեցող դրական ամբողջ թվերի մեջ, 2300-ից մոտավորապես մեկն է պարզ ({{math|log(10<sup>1000</sup>) ≈ 2302.6}}), մինչդեռ  ամենաշատը 2000 թվանշան ունեցող դրական ամբողջ թվերի մեջ, 4600-ից մեկն է պարզ ({{math|log(10<sup>2000</sup>) ≈ 4605.2}})։ Այլ կերպ ասած, առաջին {{mvar|N}} ամբողջ թվերի մեջ հաջորդական պարզ թվերի հեռավորությունը մոտավորապես {{math|log(''N'')}} է<ref>{{Cite book |last=Hoffman |first=Paul |url=https://archive.org/details/manwholovedonlyn00hoff/page/227 |title=The Man Who Loved Only Numbers |publisher=Hyperion Books |year=1998 |isbn=978-0-7868-8406-3 |location=New York |page=[https://archive.org/details/manwholovedonlyn00hoff/page/227 227] |mr=1666054 |url-access=registration}}</ref>։

== Պնդում ==
[[Պատկեր:Prime number theorem ratio convergence.svg|thumb|300px|Պարզ թվերի հաճախականության հաշվման {{math|''π''(''x'')}} ֆունկցիայի հարաբերակցության գրաֆիկը իր երկու մոտարկումներին՝ {{math|''x'' / log ''x''}} և {{math|Li(''x'')}}։ {{mvar|x}}-ի աճին զուգընթաց (նշենք, որ {{mvar|x}} առանցքը լոգարիթմական է), երկու հաարաբերություններն էլ ձգտում են 1-ի։ {{math|''x'' / log ''x''}} հարաբերությունը զուգամիտում է վերևից շատ դանդաղ, մինչդեռ {{math|Li(''x'')}} հարաբերությունը զուգամիտում է ներքևից ավելի արագ։]]
[[Պատկեր:Prime number theorem absolute error.svg|thumb|300px|{{math|''x'' / log ''x''}}-ի և {{math|Li(''x'')}}-ի բացարձակ սխալը ցույց տվող Log-log գրաֆիկ, {{math|''π''(''x'')}} պարզ թվի հաշվարկի ֆունկցիայի երկու մոտարկումներ։ Ի տարբերություն հարաբերության, {{math|''π''(''x'')}} և {{math|''x'' / log ''x''}} ֆունկցիաների տարբերությունը {{mvar|x}}-ի մեծանալուն զուգընթաց անսահման աճում է։ Մյուս կողմից {{math|Li(''x'') − ''π''(''x'')}} տարբերությունը նշանը փոխում է անվերջ շատ անգամ։]]

Ենթադրենք {{math|''π''(''x'')}}-ը պարզ թվերի հաշվարկի ֆունկցիան է, որ կամայական իրական &nbsp;{{mvar|x}} թվի համար տալիս է {{mvar|x}}-ից փոքր կամ հավասար պարզ թվերի քանակը։ Օրինակ, {{math|''π''(10) {{=}} 4}}, քանի որ 10-ից փոքր չորս պարզ թիվ կան (2, 3, 5 և 7)։ Պարզ թվերի թեորեմը պնդում  է, որ {{math|''x'' / log ''x''}}-ը {{math|''π''(''x'')}}-ին լավ մոտարկում է (այստեղ log-ը բնական ալգորիթմ է նշանակում), այն իմաստով, որ երկու՝ {{math|''π''(''x'')}} և {{math|''x'' / log ''x''}} ֆունկցիաների ''քանորդը'' {{mvar|x}}-ի անսահման աճի դեպքում հավասար է 1-ի։

: <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\;\pi(x)\;}{\;\left[ \frac{x}{\log(x)}\right]\;} = 1,</math>

հայտնի որպես '''պարզ թվերի բաշխման ասիմտոտիկ օրենք'''։ Ասիմպտոտիկ նշանակում օգտագործելով այս արդյունքը կարելի է վերաձևակերպել որպես

:<math>\pi(x)\sim \frac{x}{\log x}.</math>

Այս նշանակումը (և [[թեորեմ]]ը) երկու ֆունկցիաների ''տարբերության'' սահմանի մասին ոչինչ ''չի'' ասում, երբ {{mvar|x}}-ը անսահման աճում է։ Փոխարենը, թեորեմը նշում է, որ {{math|''x'' / log ''x''}} մոտենում է  {{math|''π''(''x'')}}-ին, այն իմաստով, որ {{mvar|x}}-ի անսահման աճի դեպքում, այս մոտարկման հարաբերական սխալը  ձգտում է 0-ի։

Պարզ թվերի թեորեմը համարժեք է {{mvar|n}}րդ պարզ թիվը {{mvar|p<sub>n</sub>}} բավարարում է

:<math>p_n \sim n\log(n),</math>

պնդմանը, ասիմպտոտիկ նշանակման իմաստը կրկին նույնն է՝ {{mvar|n}}-ի անսահման աճի դեպքում մոտարկման հարաբերական սխալը ձգտում է 0-ի։ Օրինակ, {{val|2|e=17}}րդ պարզ թիվը = է {{val|8512677386048191063}}<ref>{{Cite web |date=2011 թ․ հոկտեմբերի 9 |title=Prime Curios!: 8512677386048191063 |url=http://primes.utm.edu/curios/cpage/24149.html |work=Prime Curios! |publisher=University of Tennessee at Martin}}</ref>, և ({{val|2|e=17}})log({{val|2|e=17}}) կլորացվում է {{val|7967418752291744388}}-ի, մոտ 6.4% հարաբերական սխալով։

Պարզ թվերի թեորեմը համարժեք է նաև{{Citation needed|date=April 2020}}
:<math>\lim_{x\to\infty} \frac{\vartheta (x)}x = \lim_{x\to\infty} \frac{\psi(x)}x=1,</math>
որտեղ {{mvar|ϑ}} և {{mvar|ψ}} համապատասխանաբար առաջին և երկրորդ Չեբիշևյան ֆունկցիաներն են։

== Պարզ թվերի ասիմպտոտիկ օրենքի ապացույցի պատմությունը ==
Անտոն Ֆելկելի և Յուրի Վեգայի աղյուսակների հիման վրա,  1797 կամ 1798 թվականին Ադրիեն-Մարի Լեժանդրը ենթադրություն արեց, որ {{math|''π''(''a'')}} մոտարկվում է  {{math|''a'' / (''A'' log ''a'' + ''B'')}} ֆունկցիայով, որտեղ {{mvar|A}}-ն և {{mvar|B}}-ն չճշտված հաստատուններ են։ Թվերի տեսության վերաբերյալ իր գրքի երկրորդ հրատարակության մեջ (1808) նա ավելի ճշգրիտ ենթադրություն արեց՝ A = 1 և B = .081.08366: Համաձայն 1849 թվականի իր հիշողությունների, Կառլ Գաուսը 15 կամ 16 տարեկան հասակում նույն հարցերն է դիտարկել 1792 կամ 1793 թվականին<ref>C. F. Gauss. ''Werke'', Bd 2, 1st ed, 444–447. Göttingen 1863.</ref>։ 1838 թվականին Պետեր Գուստավ Դիրիխլեն իր մոտարկման {{math|li(''x'')}} լոգարիտմական ինտեգրալ ֆունկցիան առաջարկեց։ Թե Լեժենդրը, թե Դիրիխլեն ենթադում էին {{math|''π''(''x'')}} և {{math|''x'' / log(''x'')}} վերոնշյալ միևնույն ասիմտոտիկ համարժեքությունը, չնայած պարզվեց, որ Դիրիխլեի մոտարկումը զգալիորեն ավելի լավն է, երբ քանորդի փոխարեն տարբերություն է դիտարկվում։

1848 և 1850 թվականների երկու աշխատանքներում ռուս մաթեմատիկոս [[Պաֆնուտի Չեբիշև]]ը փորձել է ապացուցել պարզ թվերի բաշխման ասիմտոտիկ օրենքը։ Նրա աշխատանքը նշանակալի է "{{mvar|s}}" արգումենտի իրական արժեքների համար zeta {{math|''ζ''(''s'')}} ֆունկցիայի օգտագործմամբ, ինչպես [[Լեոնարդ Էյլեր]]ի 1737 թվականի վաղ աշխատանքներում։ Շեբիշևի աաշխատանքները նախորդելեն 1859 թվականի Ռիմանի հանրահայտ հիշողություններին, և նրան հաջողվել էր ապացուցել ասիմտոտիկ օրենքի մի փոքր ավելի թույլ ձևը, մասնավորապես, եթե {{math|''π''(''x'') / (''x'' / log(''x''))}}-ի սահմանը {{mvar|x}}-ի անսահման աճի դեպքում գոյություն ունի, ապա այն անպայմանորեն հավասար է մեկի<ref>{{Cite journal |last=Costa Pereira |first=N. |date=August–September 1985 |title=A Short Proof of Chebyshev's Theorem |journal=American Mathematical Monthly |volume=92 |issue=7 |pages=494–495 |doi=10.2307/2322510 |jstor=2322510}}</ref>։ Նա կարողացավ անվերապահորեն ապացուցել, որ այս հարաբերությունը վերևից և ներքևից սահմանափակված է մեկին մոտ երկու հստակ ներկայացված հաստատուններով, բոլոր բավականաչափ մեծ {{mvar|x}}-ի համար<ref>{{Cite journal |last=Nair |first=M. |date=1982 թ․ փետրվար |title=On Chebyshev-Type Inequalities for Primes |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1982-02_89_2/page/126 |journal=American Mathematical Monthly |volume=89 |issue=2 |pages=126–129 |doi=10.2307/2320934 |jstor=2320934}}</ref>։ Չնայած Չեբիշևի աշխատանքը չի ապացուցում պարզ թվերի թեորեմը, {{math|''π''(''x'')}}-ի վերաբերյալ նրա գնահատականները բավականաչափ ուժեղ էին Բերտրանի պոստուլատն ապացուցելու համար՝ յուրաքանչյուր {{math|''n'' ≥ 2}} ամբողջ թվի համար {{math|''n''}} և {{math|2''n''}} թվերի միջև պարզ թիվ գոյություն ունի։

Պարզ թվերի բաշխման վերաբերող կարևոր հոդված էր Ռիմանի 1859 թվականի հրապարակած "Տված մեծությունից փոքր պարզ թվերի քանակի մասին" աշխատանքը, որը այդ թեմայով նրա գրած միակ հոդվածն էր։ Ռիմանը թեմայում նոր գաղափարներ մտցրեց, որոնցից գլխավորը պարզ թվերի բաշխումը սերտորեն կապված է [[Ռիման]]ի կոմպլեքս փոփոխականի անալատիկորեն ընդլայնված zeta ֆունկցիայի զրոների հետ։   Մասնավորապես Ռիմանի այս հոդվածում է ծագում կոմպլեքս անալիզի մեթոդները կիրառել {{math|''π''(''x'')}} իրական ֆունկցիայի ուսումնասիրության համար։  Ռիմանի գաղափարներն ընդլայնելով, [[Ժակ Ադամար]]ը և Շառլ Պուսենը իրարից անկախ ստացան պարզ թվերի բաշխման օրենքի երկու ապացույցները և հրապարակեցին միևնույն տարում (1896)։ Երկու ապացույցն էլ օգտագործել են կոմպլեքս անալիզի մեթոդներ, ապացույցի որպես գլխավոր քայլ հաստատելով, որ Ռիմանի    {{math|''ζ''(''s'')}} զետա ֆունկցիան զրոյից տարբեր է, {{mvar|s}} փոփոխականի բոլոր կոմպլեքս արժեքների համար, որոնք {{math|''s'' {{=}} 1 + ''it''}} ձևն ունեն, երբ {{math|''t'' > 0}}<ref>{{Cite book |last=Ingham |first=A. E. |url=https://archive.org/details/distributionprim00ingh_745 |title=The Distribution of Prime Numbers |publisher=Cambridge University Press |year=1990 |isbn=978-0-521-39789-6 |pages=[https://archive.org/details/distributionprim00ingh_745/page/n4 2]–5}}</ref>։

20-րդ դարի ընթացքում Ադամարի և Պուսինի թեորեմը նույնպես հայտնի է դառնում որպես պարզ թվերի թեորեմ։ Գտնվել են մի քանի տարբեր ապացույցներ, ներառյալ Աթլե Սելբերգի և Պաուլ Էրդոսի "տարրական" ապացույցները (1949)։ Թեև Ադամարդի և դե լա Վալեի Պուսինի բնօրինակ ապացույցները երկար և խճճված են, հետագայում ապացույցներում տարբեր պարզեցումներ են մտցվել Թաուբերիայի թեորեմների օգտագործման միջոցով, բայց ըմբռնելու առումով մնացել են դժվար։ 1980  թվականին ամերիկացի մաթեմատիկոս Դոնալդ Նյումանը կարճ ապացույց հայտնաբերեց<ref>{{Cite journal |last=Newman |first=Donald J. |year=1980 |title=Simple analytic proof of the prime number theorem |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1980-11_87_9/page/693 |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=87 |issue=9 |pages=693–696 |doi=10.2307/2321853 |jstor=2321853 |mr=0602825}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Zagier |first=Don |year=1997 |title=Newman's short proof of the prime number theorem |url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/newmans-short-proof-of-the-prime-number-theorem |journal=American Mathematical Monthly |volume=104 |issue=8 |pages=705–708 |doi=10.2307/2975232 |jstor=2975232 |mr=1476753 |access-date=2024-07-25 |archive-date=2021-04-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210420035204/https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/newmans-short-proof-of-the-prime-number-theorem |url-status=dead }}</ref>։ Նյումանի ապացույցը թերևս թեորեմի հայտնի ապացույցներից ամենապարզն է, չնայած այն տարրական չէ, այն իմաստով որ օգտագործում է Կոմպլեքս անալիզից Չաուշի ինտեգրալ թեորեմը։

== Ապացույցի ուրվագիծը ==
Այստեղ բերված է ապացույցի ուրվագիծը Տերենս Տաոյի դասախոսություններից<ref>{{Cite web |last1=Tao |first1=Terence |authorlink=Terence Tao |title=254A, Notes 2: Complex-analytic multiplicative number theory |url=https://terrytao.wordpress.com/2014/12/09/254a-notes-2-complex-analytic-multiplicative-number-theory/ |website=Terence Tao's blog}}</ref>։ Պարզ թվերի թեորեմի բոլոր ապացույցների նման այն սկսվում է խնդրի վերաձևակերպումից պակաս ինտուիտիվ, բայց պարզ թվերի հաշվարկի համար ավելի հարմար ֆունկցիայով։ Միտքը կայանում է նրանում, որ պետք է բաշխել պարզ թվերը իրենց կշիռներով, որպեսզի ստանալ ավելի հարթ ասիմպտոտիկայով ֆունկցիա։ Հաճախ, որպես այդպիսի ընդհանրացված բաշխման ֆունկցիա վերցնում են՝ Չեբիշևի ֆունկցիան։ Որը սահմանվում է հետևյալ կերպ՝

:<math>\psi(x) =\!\!\!\! \sum_\stackrel{p^k \le x,}{p \text{ պարզ է}} \!\!\!\!\log p.</math>

Սա երբեմն գրվում է որպես

:<math>\psi(x)=\sum_{n\le x} \Lambda(n),</math>

որտեղ {{math|''Λ''(''n'')}} Մանգոլտի ֆունկցիան է, մասնավորապես

:<math>\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \text{եթե }n=p^k \text{որոշ պարզ թվերի համար } p \text{ և ամբողջ թիվ } k \ge 1, \\ 0 & \text{հակառակ դեպքում} \end{cases}</math>

Այժմ համեմատաբար հեշտ է ստուգել, որ պարզ թվերի թեորեմը համարժեք է պնդմանը․
:<math>\lim_{x\to\infty} \frac{\psi(x)}{x}=1.</math>
Իսկապես սա բխում է պարզ գնահատականներից
:<math>\psi(x) = \sum_{p\le x} \log p \left\lfloor \frac{\log x}{\log p} \right\rfloor \le \sum_{p\le x} \log x = \pi(x)\log x</math>
և (օգտագործելով {{mvar|O}} նշումը) յուրաքանչյուր {{math|''ε'' > 0}},
:<math>\psi(x) \ge \!\!\!\!\sum_{x^{1-\varepsilon}\le p\le x}\!\!\!\! \log p\ge\!\!\!\!\sum_{x^{1-\varepsilon}\le p\le x}\!\!\!\!(1-\varepsilon)\log x=(1-\varepsilon)\left(\pi(x)+O\left(x^{1-\varepsilon}\right)\right)\log x.</math>

Հաջորդ քայլը {{math|''ψ''(''x'')}}-ի համար օգտակար ներկայացում գտնելն է։ Ենթադրենք {{math|''ζ''(''s'')}} Ռիմանի զետա ֆունկցիան է։ Կարելի է ցույց տալ, որ   {{math|''ζ''(''s'')}}-ը կապված է Մանգոլտ ֆունկցիայի հետ {{math|''Λ''(''n'')}}, և հետևաբար {{math|''ψ''(''x'')}},

:<math>-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_{n = 1}^\infty \Lambda(n) n^{-s}. </math> կապի միջոցով։

Այս հավասարման և zeta ֆունկցիայի համապատասխան հատկությունների մանրակրկիտ վերլուծությունը, օգտագործելով Մելլինի ձևափոխությունը և Պերոնի բանաձևը, ցույց է տալիս որ ոչ ամբողջ {{mvar|x}} թվի համար,

:<math>\psi(x) = x - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \log(2\pi)</math>

հավասարումը տեղի ունի, որտեղ գումարը ֆունկցիայի բոլոր զրոներով է (տրիվիալ և ոչ տրիվիալ)։ Այս բանաձևը թվերի տեսության այսպես կոչված բացահայտ բանաձևերից է, և արդեն իսկ հուշում է արդյունքը, որն ուզում ենք ստանալ։

Ապացույցի հաջորդ քայլը ներառում է zeta ֆունկցիայի զրոների ուսումնասիրությունը։ Տրիվիալ զրոները −2, −4, −6, −8, ... կարող են դիտարկվել առանձին․ 
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n\,x^{2n}} = -\frac{1}{2}\log\left(1-\frac{1}{x^2}\right),</math>
որը մեծ {{mvar|x}}-երի համար անհետանում է։ Ոչ տրիվիալ զրոները, մասնավորապես {{math|0 ≤ Re(''s'') ≤ 1}} կրիտիկական շերտի վրա գտնվողները, կարող են ասիմպտոտիկ կարգով համեմատելի լինել {{mvar|x}} հիմնական փոփոխականի հետ, եթե {{math|Re(''ρ'') {{=}} 1}}, ուստի մեզ պետք է ապացուցել որ բոլոր զրոները ունեն իրական մաս, խիստ փոքր 1-ից։

== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}

== Արտաքին հղումներ ==
* [https://web.archive.org/web/20101115185805/http://www.scs.uiuc.edu/~mainzv/exhibitmath/exhibit/felkel.htm Table of Primes by Anton Felkel].
* [https://www.youtube.com/watch?v=3RfYfMjZ5w0 Short video] visualizing the Prime Number Theorem.
* [http://mathworld.wolfram.com/PrimeFormulas.html Prime formulas] and [http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html Prime number theorem] at [[MathWorld]].
* {{planetmath reference|id=199|title=Prime number theorem}}
* [http://primes.utm.edu/howmany.shtml How Many Primes Are There?]{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121015002415/http://primes.utm.edu/howmany.shtml |date=2012-10-15 }} and [http://primes.utm.edu/notes/gaps.html The Gaps between Primes] by Chris Caldwell, [[University of Tennessee at Martin]].
* [http://www.ieeta.pt/~tos/primes.html Tables of prime-counting functions] by Tomás Oliveira e Silva

[[Կատեգորիա:Պարզ թվեր]]