Պարզ թվերի թեորեմ

Թվերի տեսության մեջ պարզ թվերի թեորեմը, նկարագրում է պարզ թվերի ասիմպտոտ բաշխումը դրական ամբողջ թվերի մեջ։ Այն ֆորմալացնում է այն ինտուիտիվ գաղափարը, որ որքան թվերը մեծանում են այնքան սակավ են հանդիպում պարզ թվեր, ճշգրիտ հաշվելով դրանց հանդիպման հաճախականությունը։ Թեորեմն 1896 թվականին իրարից անկախ ապացուցել են Ժակ Ադամարի և Շառլ Ժան դը լա Վալե Պուսենը՝ օգտագործելով Բեռնարդ Ռիմանի կողմից ներդրված գաղափարները (մասնավորապես՝ Ռիմանի zeta ֆունկցիան)։

Առաջին նման բաշխման գտնվում է հետևյալ բանաձևով Կաղապար:Math, որտեղ Կաղապար:Math-ը պարզ թվերի հաշվարկի ֆունկցիան է, իսկ Կաղապար:Math-ը Կաղապար:Mvar-ի բնական լոգարիթմն է։ Սա նշանակում է, որ բավականաչափ մեծ Կաղապար:Mvar-ի համար, հավանականությունը այն բանի որ Կաղապար:Mvar-ից ոչ մեծ պատահական թիվը պարզ է, շատ մոտ է Կաղապար:Math-ին։ Հետևաբար, ամենաշատը Կաղապար:Math թվանշան ունեցող պատահական ամբողջ թվի ( բավականաչափ մեծ Կաղապար:Mvar-ի համար) պարզ լինելու հավանականությունը կիսով չափ է, քան ամենաշատը Կաղապար:Mvar թվանշան ունեցող պատահական ամբողջ թվինը։ Օրինակ, 1000 թվանշան ունեցող դրական ամբողջ թվերի մեջ, 2300-ից մոտավորապես մեկն է պարզ (Կաղապար:Math), մինչդեռ ամենաշատը 2000 թվանշան ունեցող դրական ամբողջ թվերի մեջ, 4600-ից մեկն է պարզ (Կաղապար:Math)։ Այլ կերպ ասած, առաջին Կաղապար:Mvar ամբողջ թվերի մեջ հաջորդական պարզ թվերի հեռավորությունը մոտավորապես Կաղապար:Math է։

Պնդում

Պարզ թվերի հաճախականության հաշվման Կաղապար:Math ֆունկցիայի հարաբերակցության գրաֆիկը իր երկու մոտարկումներին՝ Կաղապար:Math և Կաղապար:Math։ Կաղապար:Mvar-ի աճին զուգընթաց (նշենք, որ Կաղապար:Mvar առանցքը լոգարիթմական է), երկու հաարաբերություններն էլ ձգտում են 1-ի։ Կաղապար:Math հարաբերությունը զուգամիտում է վերևից շատ դանդաղ, մինչդեռ Կաղապար:Math հարաբերությունը զուգամիտում է ներքևից ավելի արագ։

Կաղապար:Math-ի և Կաղապար:Math-ի բացարձակ սխալը ցույց տվող Log-log գրաֆիկ, Կաղապար:Math պարզ թվի հաշվարկի ֆունկցիայի երկու մոտարկումներ։ Ի տարբերություն հարաբերության, Կաղապար:Math և Կաղապար:Math ֆունկցիաների տարբերությունը Կաղապար:Mvar-ի մեծանալուն զուգընթաց անսահման աճում է։ Մյուս կողմից Կաղապար:Math տարբերությունը նշանը փոխում է անվերջ շատ անգամ։

Ենթադրենք Կաղապար:Math-ը պարզ թվերի հաշվարկի ֆունկցիան է, որ կամայական իրական  Կաղապար:Mvar թվի համար տալիս է Կաղապար:Mvar-ից փոքր կամ հավասար պարզ թվերի քանակը։ Օրինակ, Կաղապար:Math, քանի որ 10-ից փոքր չորս պարզ թիվ կան (2, 3, 5 և 7)։ Պարզ թվերի թեորեմը պնդում է, որ Կաղապար:Math-ը Կաղապար:Math-ին լավ մոտարկում է (այստեղ log-ը բնական ալգորիթմ է նշանակում), այն իմաստով, որ երկու՝ Կաղապար:Math և Կաղապար:Math ֆունկցիաների քանորդը Կաղապար:Mvar-ի անսահման աճի դեպքում հավասար է 1-ի։

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{\left[\frac{x}{\log (x)}\right]}=1,$

հայտնի որպես պարզ թվերի բաշխման ասիմտոտիկ օրենք։ Ասիմպտոտիկ նշանակում օգտագործելով այս արդյունքը կարելի է վերաձևակերպել որպես

$\pi (x)\sim \frac{x}{\log x}.$

Այս նշանակումը (և թեորեմը) երկու ֆունկցիաների տարբերության սահմանի մասին ոչինչ չի ասում, երբ Կաղապար:Mvar-ը անսահման աճում է։ Փոխարենը, թեորեմը նշում է, որ Կաղապար:Math մոտենում է Կաղապար:Math-ին, այն իմաստով, որ Կաղապար:Mvar-ի անսահման աճի դեպքում, այս մոտարկման հարաբերական սխալը ձգտում է 0-ի։

Պարզ թվերի թեորեմը համարժեք է Կաղապար:Mvarրդ պարզ թիվը Կաղապար:Mvar բավարարում է

$p_n\sim n\log (n),$

պնդմանը, ասիմպտոտիկ նշանակման իմաստը կրկին նույնն է՝ Կաղապար:Mvar-ի անսահման աճի դեպքում մոտարկման հարաբերական սխալը ձգտում է 0-ի։ Օրինակ, Կաղապար:Valրդ պարզ թիվը = է Կաղապար:Val, և (Կաղապար:Val)log(Կաղապար:Val) կլորացվում է Կաղապար:Val-ի, մոտ 6.4% հարաբերական սխալով։

Պարզ թվերի թեորեմը համարժեք է նաևԿաղապար:Citation needed

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\vartheta (x)}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\psi (x)}{x}=1,$

որտեղ Կաղապար:Mvar և Կաղապար:Mvar համապատասխանաբար առաջին և երկրորդ Չեբիշևյան ֆունկցիաներն են։

Պարզ թվերի ասիմպտոտիկ օրենքի ապացույցի պատմությունը

Անտոն Ֆելկելի և Յուրի Վեգայի աղյուսակների հիման վրա, 1797 կամ 1798 թվականին Ադրիեն-Մարի Լեժանդրը ենթադրություն արեց, որ Կաղապար:Math մոտարկվում է Կաղապար:Math ֆունկցիայով, որտեղ Կաղապար:Mvar-ն և Կաղապար:Mvar-ն չճշտված հաստատուններ են։ Թվերի տեսության վերաբերյալ իր գրքի երկրորդ հրատարակության մեջ (1808) նա ավելի ճշգրիտ ենթադրություն արեց՝ A = 1 և B = .081.08366: Համաձայն 1849 թվականի իր հիշողությունների, Կառլ Գաուսը 15 կամ 16 տարեկան հասակում նույն հարցերն է դիտարկել 1792 կամ 1793 թվականին։ 1838 թվականին Պետեր Գուստավ Դիրիխլեն իր մոտարկման Կաղապար:Math լոգարիտմական ինտեգրալ ֆունկցիան առաջարկեց։ Թե Լեժենդրը, թե Դիրիխլեն ենթադում էին Կաղապար:Math և Կաղապար:Math վերոնշյալ միևնույն ասիմտոտիկ համարժեքությունը, չնայած պարզվեց, որ Դիրիխլեի մոտարկումը զգալիորեն ավելի լավն է, երբ քանորդի փոխարեն տարբերություն է դիտարկվում։

1848 և 1850 թվականների երկու աշխատանքներում ռուս մաթեմատիկոս Պաֆնուտի Չեբիշևը փորձել է ապացուցել պարզ թվերի բաշխման ասիմտոտիկ օրենքը։ Նրա աշխատանքը նշանակալի է "Կաղապար:Mvar" արգումենտի իրական արժեքների համար zeta Կաղապար:Math ֆունկցիայի օգտագործմամբ, ինչպես Լեոնարդ Էյլերի 1737 թվականի վաղ աշխատանքներում։ Շեբիշևի աաշխատանքները նախորդելեն 1859 թվականի Ռիմանի հանրահայտ հիշողություններին, և նրան հաջողվել էր ապացուցել ասիմտոտիկ օրենքի մի փոքր ավելի թույլ ձևը, մասնավորապես, եթե Կաղապար:Math-ի սահմանը Կաղապար:Mvar-ի անսահման աճի դեպքում գոյություն ունի, ապա այն անպայմանորեն հավասար է մեկի։ Նա կարողացավ անվերապահորեն ապացուցել, որ այս հարաբերությունը վերևից և ներքևից սահմանափակված է մեկին մոտ երկու հստակ ներկայացված հաստատուններով, բոլոր բավականաչափ մեծ Կաղապար:Mvar-ի համար։ Չնայած Չեբիշևի աշխատանքը չի ապացուցում պարզ թվերի թեորեմը, Կաղապար:Math-ի վերաբերյալ նրա գնահատականները բավականաչափ ուժեղ էին Բերտրանի պոստուլատն ապացուցելու համար՝ յուրաքանչյուր Կաղապար:Math ամբողջ թվի համար Կաղապար:Math և Կաղապար:Math թվերի միջև պարզ թիվ գոյություն ունի։

Պարզ թվերի բաշխման վերաբերող կարևոր հոդված էր Ռիմանի 1859 թվականի հրապարակած "Տված մեծությունից փոքր պարզ թվերի քանակի մասին" աշխատանքը, որը այդ թեմայով նրա գրած միակ հոդվածն էր։ Ռիմանը թեմայում նոր գաղափարներ մտցրեց, որոնցից գլխավորը պարզ թվերի բաշխումը սերտորեն կապված է Ռիմանի կոմպլեքս փոփոխականի անալատիկորեն ընդլայնված zeta ֆունկցիայի զրոների հետ։ Մասնավորապես Ռիմանի այս հոդվածում է ծագում կոմպլեքս անալիզի մեթոդները կիրառել Կաղապար:Math իրական ֆունկցիայի ուսումնասիրության համար։ Ռիմանի գաղափարներն ընդլայնելով, Ժակ Ադամարը և Շառլ Պուսենը իրարից անկախ ստացան պարզ թվերի բաշխման օրենքի երկու ապացույցները և հրապարակեցին միևնույն տարում (1896)։ Երկու ապացույցն էլ օգտագործել են կոմպլեքս անալիզի մեթոդներ, ապացույցի որպես գլխավոր քայլ հաստատելով, որ Ռիմանի Կաղապար:Math զետա ֆունկցիան զրոյից տարբեր է, Կաղապար:Mvar փոփոխականի բոլոր կոմպլեքս արժեքների համար, որոնք Կաղապար:Math ձևն ունեն, երբ Կաղապար:Math։

20-րդ դարի ընթացքում Ադամարի և Պուսինի թեորեմը նույնպես հայտնի է դառնում որպես պարզ թվերի թեորեմ։ Գտնվել են մի քանի տարբեր ապացույցներ, ներառյալ Աթլե Սելբերգի և Պաուլ Էրդոսի "տարրական" ապացույցները (1949)։ Թեև Ադամարդի և դե լա Վալեի Պուսինի բնօրինակ ապացույցները երկար և խճճված են, հետագայում ապացույցներում տարբեր պարզեցումներ են մտցվել Թաուբերիայի թեորեմների օգտագործման միջոցով, բայց ըմբռնելու առումով մնացել են դժվար։ 1980 թվականին ամերիկացի մաթեմատիկոս Դոնալդ Նյումանը կարճ ապացույց հայտնաբերեց։ Նյումանի ապացույցը թերևս թեորեմի հայտնի ապացույցներից ամենապարզն է, չնայած այն տարրական չէ, այն իմաստով որ օգտագործում է Կոմպլեքս անալիզից Չաուշի ինտեգրալ թեորեմը։

Ապացույցի ուրվագիծը

Այստեղ բերված է ապացույցի ուրվագիծը Տերենս Տաոյի դասախոսություններից։ Պարզ թվերի թեորեմի բոլոր ապացույցների նման այն սկսվում է խնդրի վերաձևակերպումից պակաս ինտուիտիվ, բայց պարզ թվերի հաշվարկի համար ավելի հարմար ֆունկցիայով։ Միտքը կայանում է նրանում, որ պետք է բաշխել պարզ թվերը իրենց կշիռներով, որպեսզի ստանալ ավելի հարթ ասիմպտոտիկայով ֆունկցիա։ Հաճախ, որպես այդպիսի ընդհանրացված բաշխման ֆունկցիա վերցնում են՝ Չեբիշևի ֆունկցիան։ Որը սահմանվում է հետևյալ կերպ՝

$\psi (x)=\sum _{\stackrel{p^k\le x,}{p\text{ պարզ է}}}\log p.$

Սա երբեմն գրվում է որպես

$\psi (x)=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n),$

որտեղ Կաղապար:Math Մանգոլտի ֆունկցիան է, մասնավորապես

$\mathrm{\Lambda }(n)=\{\begin{array}{cc}\log p& \text{եթե }n=p^k\text{որոշ պարզ թվերի համար }p\text{ և ամբողջ թիվ }k\ge 1,\\ 0& \text{հակառակ դեպքում}\end{array}$

Այժմ համեմատաբար հեշտ է ստուգել, որ պարզ թվերի թեորեմը համարժեք է պնդմանը․

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\psi (x)}{x}=1.$

Իսկապես սա բխում է պարզ գնահատականներից

$\psi (x)=\sum _{p\le x}\log p\lfloor \frac{\log x}{\log p}\rfloor \le \sum _{p\le x}\log x=\pi (x)\log x$

և (օգտագործելով Կաղապար:Mvar նշումը) յուրաքանչյուր Կաղապար:Math,

$\psi (x)\ge \sum _{x^{1-\epsilon }\le p\le x}\log p\ge \sum _{x^{1-\epsilon }\le p\le x}(1-\epsilon )\log x=(1-\epsilon )(\pi (x)+O\left(x^{1-\epsilon }\right))\log x.$

Հաջորդ քայլը Կաղապար:Math-ի համար օգտակար ներկայացում գտնելն է։ Ենթադրենք Կաղապար:Math Ռիմանի զետա ֆունկցիան է։ Կարելի է ցույց տալ, որ Կաղապար:Math-ը կապված է Մանգոլտ ֆունկցիայի հետ Կաղապար:Math, և հետևաբար Կաղապար:Math,

$-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Lambda }(n)n^{-s}.$ կապի միջոցով։

Այս հավասարման և zeta ֆունկցիայի համապատասխան հատկությունների մանրակրկիտ վերլուծությունը, օգտագործելով Մելլինի ձևափոխությունը և Պերոնի բանաձևը, ցույց է տալիս որ ոչ ամբողջ Կաղապար:Mvar թվի համար,

$\psi (x)=x-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }-\log (2\pi )$

հավասարումը տեղի ունի, որտեղ գումարը ֆունկցիայի բոլոր զրոներով է (տրիվիալ և ոչ տրիվիալ)։ Այս բանաձևը թվերի տեսության այսպես կոչված բացահայտ բանաձևերից է, և արդեն իսկ հուշում է արդյունքը, որն ուզում ենք ստանալ։

Ապացույցի հաջորդ քայլը ներառում է zeta ֆունկցիայի զրոների ուսումնասիրությունը։ Տրիվիալ զրոները −2, −4, −6, −8, ... կարող են դիտարկվել առանձին․

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n{x}^{2n}}=-\frac{1}{2}\log (1-\frac{1}{x^2}),$

որը մեծ Կաղապար:Mvar-երի համար անհետանում է։ Ոչ տրիվիալ զրոները, մասնավորապես Կաղապար:Math կրիտիկական շերտի վրա գտնվողները, կարող են ասիմպտոտիկ կարգով համեմատելի լինել Կաղապար:Mvar հիմնական փոփոխականի հետ, եթե Կաղապար:Math, ուստի մեզ պետք է ապացուցել որ բոլոր զրոները ունեն իրական մաս, խիստ փոքր 1-ից։

Արտաքին հղումներ

• Table of Primes by Anton Felkel.
• Short video visualizing the Prime Number Theorem.
• Prime formulas and Prime number theorem at MathWorld.
• Կաղապար:Planetmath reference
• How Many Primes Are There?Կաղապար:Webarchive and The Gaps between Primes by Chris Caldwell, University of Tennessee at Martin.
• Tables of prime-counting functions by Tomás Oliveira e Silva