Դիտել Պուասոնի ինտեգրալ էջի վիքիկոդը

'''[[Սիմեոն Պուասոն|Պուասոնի]] ինտեգրալ''', [[մաթեմատիկա]]կան  [[ինտեգրալ]] հավասարում։ Բանաձևային տեսքը`

<math>I=\int exp(-x^2)dx</math> :

Պուասոնի ինտեգրալի իմաստն այն է, որ ինտեգրման միջակայքը անվերջ թվային առանցքն է։ Արգումենտի մեծ արժեքների դեպքում էքսպոնենտի արագ ձգումը զրոյի ապահովում է ինտեգրալի վերջավոր լինելը, չնայած ինտեգրման միջակայքի անվերջությանը։

Այն հավասար է <math>\sqrt{\pi}</math>:

== Ապացույց ==
<math>\begin{cases} {\displaystyle I=\int exp(-x^{2})dx}

 \\ {\displaystyle I=\int exp(-y^{2})dy}  \end{cases}</math>                                              (1)

(1) հավասարումները ճիշտ են քանի որ որոշյալ ինտեգրալը կախված չէ ինտեգրման փոփոխականից։

Բազմապատկելով այս երկու ինտեգրալները, կստացվի՝

<math>I\cdot I=I^2=\iint exp(-(x^2+y^2))dxdy</math>                (2)

Դիտարկելով x-ն ու y-ն որպես [[կոորդինատական առանցքներ]], կրկնակի ինտեգրալը կունենա անվերջ հարթությամբ ինտեգրման իմաստ և կարելի է հաշվել հարթության վրա այն կոորդինատային համակարգում, որը հարմար է տվյալ դեպքում։ Քանի որ [[էքսպոնենտ]]ի ցուցիչում գրված է բևեռային շառավղի արտահայտությունը [[բևեռային կոորդինատային համակարգ]]ում։
[[Պատկեր:Siméon Denis Poisson. Lithograph. Wellcome V0004730.jpg|մինի|Գաուսյան ինտեգրալի հաշվման հեղինակ Սիմեոն Պուասոնը:]]

Անցնելով բևեռային համակարգի, (2) արտահայատությունը կգրվի հետևյալ կերպ՝

<math>I^2= \textstyle \int_{0}^{+\infty} \displaystyle\textstyle \int_{0}^{2\pi} \displaystyle exp(-(r^2))rdrd\varphi </math>                             (3)

Այստեղ առաջին հերթին փոխարինվել է կոորդինատային համակարգի  <math>x^2+y^2</math> արտահայտությունը բևեռային համակարգի <math>r^2</math>-ով, երկրորդ՝ դեկարտյան կորդինատային համակարգի մակերեսի <math>dxdy</math> միավորը՝ բևեռային <math>drd\varphi</math> -ով, երրորդը՝ փոխվել են ինտեգրման սահմանները՝ համաձայն նոր փոփոխականների։

Այստեղ ենթաինտեգրալային արտահայտությունը վերածվում է երկու արտահայտությունների արտադրյալի, որոնցից յուրաքանչյուրը կախված է միայն մեկ փոփոխականից՝

<math>I^2=\textstyle \int_{0}^{\infty} \displaystyle exp(-(r^2))rdr\textstyle \int_{0}^{2\pi} \displaystyle d\varphi</math>                             (4)

Այս անորոշ ինտեգրալները կարելի է հեշտորեն հաշվել։ Հարկ է ուշադրություն դարձնել, որ (4)-ի առաջին ինտեգրալը <math>rdr=-\left ( \frac{1}{2} \right )d(-r^2)</math>  արտահայտության առկայությամբ տարբերվում է (1) ինտեգրալից, որտեղ դիֆերենցիալի և էքսպոնենտի տակ գտնվող արտահայտությունները չեն համընկնում։

(4)-ը կգրվի որպես՝

<math>I^2=\textstyle \int_{0}^{\infty} \displaystyle dexp(-(r^2))\textstyle \int_{0}^{2\pi} \displaystyle d\varphi =-\left ( \frac{1}{2} \right )(0-1)2\pi=\pi</math>

Ստացվում է Պուասոնի ինտեգրալի հետևյալ արտահայտությունը՝

<math>I=\textstyle \int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle exp(-x^2)dx=\sqrt{\pi}</math>:

== Ընդհանրացում և վարիացիա ==
Պուասոնի ինտեգրալի հիմք և ընդհանրացում է համարվում Գաուսյան ինտերգրալը (նաև անվանում են Էյլեր-Պուասոնի ինտերգալ), որը [[գաուսյան ֆունկցիա]]յի ինտեգրա է։

=== Վարիացիաներ ===
Մաստշտաբավորված գաուսյան ֆունկցիայի գաուսյան ինտերգրալները՝
: <math>\int_{-\infty}^\infty \alpha e^{-x^2 /\beta^2}\,dx = \alpha \beta \sqrt{\pi}</math>,
և բազմաչափ գաուսյան ինտեգրալները՝
: <math>\int\alpha e^{- (x^2 /\beta_1^2 + y^2/\beta_2^2 + z^2/\beta_3^2 + \dots)}\,dx dy dz \dots = \alpha \beta_1\beta_2\beta_3\dots \sqrt{\pi^n} </math>,
պազրորեն բերվում են սովորական [[միաչափ ինտեգրալներ]]ի (ինտեգրումը կատարվում է ողջ տարածությունով)։

Վերոնշյալը վերաբերվում է նաև հետևյալ տեսքի բազմաչափ ինտեգրալներին՝
: <math>\int e^{x M x}\,dx_1 dx_2 dx_3 \dots dx_n = \sqrt{\frac{\pi^n}{|\det(M)|}}</math>, որտեղ ''x''-ը վեկտոր է, իսկ ''M''-ը՝ բացասական սեփական թվերով [[Սիմետրիա|սիմետրիկ]] [[մատրից]]։
Գործնական խնդիրներում (օրինակ` գաուսյան ֆունկցիայի [[ֆուրյե-ձևափոխության]] ժամանակ), հաճախ ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝
: <math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{- a x^2 + b x + c}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{\frac{b^2}{4a}+c},</math>

== Պատմություն ==
[[Պատկեր:Leonhard Euler 2.jpg|մինի|222x222px|Լեոնարդ էյլեր]]

Առաջին անգամ գաուսյան ինտեգրալը հայտաբերել է [[Լեոնարդ Էյլեր|Էյլերը]] 1729 թվականին, հետո [[Սիմեոն Պուասոն|Պուասոնը]] գտել է հաշվման պարզ մեթոդ։

Այդ պատճառով այն անվանվում է էյլեր-պուասոնի ինտեգրալ։

== Գրականություն ==
* Վ. Ֆ. Մորոզով, «Պուասոնի ինտեգրալը և նրա ածանցյալները», Երևանի համալսարանի հրատարակչություն, Երևան 2002։

[[Կատեգորիա:Պոտենցիալի տեսություն]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկական անալիզ]]