Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ

Կաղապար:Ինտեգրալների ցանկ Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ, ստորև ներկայացված են էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների անորոշ և որոշյալ ինտեգրալների ցանկերը։ Անորոշ ինտեգրալների համար ինտեգրման հաստատունը բաց է թողնված։

Անորոշ ինտեգրալներ

$\int e^x\mathrm{d}x=e^x$

$\int f^{\prime }(x)e^{f(x)}\mathrm{d}x=e^{f(x)}$

$\int e^{cx}\mathrm{d}x=\frac{1}{c}{e}^{cx}$

$\int a^{cx}\mathrm{d}x=\frac{1}{c\cdot \ln a}{a}^{cx}$ $a>0,a\ne 1$

$\int x{e}^{cx}\mathrm{d}x=\frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)$

$\int x^2{e}^{cx}\mathrm{d}x=e^{cx}(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3})$

$\int x^n{e}^{cx}\mathrm{d}x=\frac{1}{c}{x}^n{e}^{cx}-\frac{n}{c}\int x^{n-1}{e}^{cx}\mathrm{d}x={\left(\frac{\partial }{\partial c}\right)}^n\frac{e^{cx}}{c}=e^{cx}\sum _{i=0}^n(-1{)}^i\frac{n!}{(n-i)!c^{i+1}}{x}^{n-i}$

$\int \frac{e^{cx}}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(cx{)}^n}{n\cdot n!}$

$\int \frac{e^{cx}}{x^n}\mathrm{d}x=\frac{1}{n-1}(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int \frac{e^{cx}}{x^{n-1}}\mathrm{d}x)\text{( }n\ne 1\text{)}$

$\int e^{cx}\ln x\mathrm{d}x=\frac{1}{c}(e^{cx}\ln |x|-\mathrm{Ei}(cx))$

$\int e^{cx}\sin bx\mathrm{d}x=\frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx-b\cos bx)=\frac{e^{cx}}{\sqrt{c^2+b^2}}\sin (bx-\varphi )\cos (\varphi )=\frac{c}{\sqrt{c^2+b^2}}$

$\int e^{cx}\cos bx\mathrm{d}x=\frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx+b\sin bx)=\frac{e^{cx}}{\sqrt{c^2+b^2}}\cos (bx-\varphi )\cos (\varphi )=\frac{c}{\sqrt{c^2+b^2}}$

$\int e^{cx}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x=\frac{e^{cx}{\sin }^{n-1}x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}{\sin }^{n-2}x\mathrm{d}x$

$\int e^{cx}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x=\frac{e^{cx}{\cos }^{n-1}x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}{\cos }^{n-2}x\mathrm{d}x$

$\int x{e}^{c{x}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2c}{e}^{c{x}^2}$

$\int e^{-c{x}^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi }{4c}}\mathrm{erf}(\sqrt{c}x)$ (ուր $\mathrm{erf}$- ը սխալի ֆունկցիան է)

$\int x{e}^{-c{x}^2}\mathrm{d}x=-\frac{1}{2c}{e}^{-c{x}^2}$

$\int \frac{e^{-x^2}}{x^2}\mathrm{d}x=-\frac{e^{-x^2}}{x}-\sqrt{\pi }\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(x)$

$\int \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(\mathrm{erf}\frac{x-\mu }{\sigma \sqrt{2}})$

$\int e^{x^2}\mathrm{d}x=e^{x^2}\left(\sum _{j=0}^{n-1}{c}_{2j}\frac{1}{x^{2j+1}}\right)+(2n-1)c_{2n-2}\int \frac{e^{x^2}}{x^{2n}}\mathrm{d}xn>0,$

ուր $c_{2j}=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)}{2^{j+1}}=\frac{(2j)!}{j!2^{2j+1}}.$

$\int \underset{m}{\underbrace{x^{x^{{\cdot }^{{\cdot }^x}}}}}dx=\sum _{n=0}^m\frac{(-1{)}^n(n+1{)}^{n-1}}{n!}\mathrm{\Gamma }(n+1,-\ln x)+\sum _{n=m+1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_{mn}\mathrm{\Gamma }(n+1,-\ln x)\text{( }x>0\text{)}$

$\int \frac{1}{a{e}^{\lambda x}+b}\mathrm{d}x=\frac{x}{b}-\frac{1}{b\lambda }\ln (a{e}^{\lambda x}+b)$ $b\ne 0$, $\lambda \ne 0$, $a{e}^{\lambda x}+b>0.$

$\int \frac{e^{2\lambda x}}{a{e}^{\lambda x}+b}\mathrm{d}x=\frac{1}{a^2\lambda }[a{e}^{\lambda x}+b-b\ln (a{e}^{\lambda x}+b)]$ $a\ne 0$, $\lambda \ne 0$, $a{e}^{\lambda x}+b>0.$

Որոշյալ ինտեգրալներ

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x\cdot \ln a+(1-x)\cdot \ln b}\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{a}{b}\right)}^x\cdot b\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{a}^x\cdot b^{1-x}\mathrm{d}x=\frac{a-b}{\ln a-\ln b}$ $a>0,b>0,a\ne b$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ax}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a{x}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a}}(a>0)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a{x}^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi }{a}}(a>0)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a{x}^2\pm 2bx+c}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{-\frac{ac-b^2}{a}}(a>0)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-a(x-b{)}^2}\mathrm{d}x=b\sqrt{\frac{\pi }{a}}(a>0)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{e}^{-a{x}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a^3}}(a>0)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{e}^{-ax}\mathrm{d}x=\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1)}{a^{n+1}}& (n>-1,a>0)\\ \frac{n!}{a^{n+1}}& (n=0,1,2,\dots ,a>0)\end{array}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ax}\sin bx\mathrm{d}x=\frac{b}{a^2+b^2}(a>0)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ax}\cos bx\mathrm{d}x=\frac{a}{a^2+b^2}(a>0)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-ax}\sin bx\mathrm{d}x=\frac{2ab}{(a^2+b^2{)}^2}(a>0)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-ax}\cos bx\mathrm{d}x=\frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2{)}^2}(a>0)$

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_0(x)$ ($I_0$ -ն առաջին կարգի Բեսսելի ֆունկցիա է )

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_0\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx,=\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s)$

Տես նաև

• Ֆունկցիայի ածանցյալ
• Ածանցելի ֆունկցիաներ

Գրականություն

Գրքեր

• Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е издание). М.։ Наука, 1963. ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
• Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб։ «Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева», 1995.-176 с. ISBN 5-85529-029-8.
• D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. ISBN 0-486-61272-4

Ինտեգրալների աղյուսակներ

• Ինտեգրալներ EqWorld-ում
• S.O.S. Մաթեմատիկա

Ինտեգրալների հաշվում

• The Integrator (Wolfram Research)
• Թվեր