Անորոշ ինտեգրալ

Կաղապար:Անաղբյուր Անորոշը ինտեգրալը $f(x)$ ֆունկցիայի համար իր նախնական ֆունկցիայի բոլոր տվյալների ամբողջությունն է։ Եթե $f(x)$ ֆունկցիան որոշված է և անընդհատ է $(a,b)$ միջակայքում, իսկ իր նախնական $F(x)$-ը, այսինքն՝ $F^{\prime }(x)=f(x)$, երբ $a<x<b$, ապա

$\int f(x)dx=F(x)+C,$ $a<x<b$,

որտեղ С-ն անկախ հաստատուն է։

$d(\int f(x)dx)=f(x)dx$

$\int d(F(x))=F(x)+C$

$\int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx$

$\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

Եթե $\int f(x)dx=F(x)+C$, ապա $\int f(u)du=F(u)+C$ ևս, որտեղ $u=\phi (x)$, որը ածանցելի ֆունկցիա է անընդհատ ածանցյալով։

Դիֆերենցիալով հիմքի կառուցում

Դիֆերենցիալով հիմքի կառուցման ժամանակ օգտագործվում են հետևյալ հատկությունները՝

$du=d(u+C)$

$du=\frac{1}{a}d(au)$

$f^{\prime }(u)\cdot du=d(f(u))$

Ինտեգրման հիմնական մեթոդներ

1. Նոր արգումենտի ներմուծման մեթոդ։ Եթե

$\int g(x)dx=G(x)+C,$

ապա

$\int g(u)du=G(u)+C,$

որտեղ $u=\phi (x)$՝ անընդհատ դիֆերենցվող ֆունկցիա։

2. Բաժանման մեթոդ։ Եթե

$g(x)=g_1(x)+g_2(x),$

ապա

$\int g(x)dx=\int g_1(x)dx+\int g_2(x)dx.$

3. Տեղադրման մեթոդ։ Եթե $g(x)$-ն անընդհատ է, ապա ենթադրելով $x=\phi (t),$, որտեղ $\phi (t)$ անընդհատ է իր ${\phi }^{\prime }(t)$ ածանցյալի հետ միասին, կստանանք

$\int g(x)dx=\int g(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt.$

4. Մասերով ինտեգրում։ Եթե $u$ և $v$՝ որոշ դիֆերենցվող ֆունկցիաներ են $x$-ից կախված, ապա

$\int udv=uv-\int vdu.$

Հիմնական անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ

$\int 0\cdot dx=C;$

$\int 1\cdot dx=x+C;$

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $(n\ne -1);$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \mid x\mid +C;$

$\int e^{x}dx=e^x+C;$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,$ $(a>0,a\ne 1);$

$\int \cos xdx=\sin x+C;$: $\int \sin xdx=-\cos x+C;$

$\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\mathrm{t}\mathrm{g}x+C;$

$\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+C;$

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C^{\prime }(C^{\prime }=\frac{\pi }{2}+C);$

$\int \frac{dx}{1+x^2}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+C;$

$\int \mathrm{c}\mathrm{h}xdx=\mathrm{s}\mathrm{h}x+C;$

$\int \mathrm{s}\mathrm{h}xdx=\mathrm{c}\mathrm{h}x+C;$

Յուրաքանչյուր հավասարման ձախ մասում նախնական ֆունկցիայի ածանցյալն է (բայց որոշված) համապատասխան ինտեգրալի տակ ընկած ֆունկցիայի համար, իսկ աջ մասում՝ որոշված նախնական ֆունկցիան, որին նաև ավելացվում է այնպիսի $C$, որ պահպանվի հավասարությունը ֆունկցիաների միջև։ Այս բանաձևերում նախնական ֆունկցիաները որոշված են և անընդհատ են այն միջակայքերում, որում որոշված են և անընդհատ ինտեգրալի տակ ընկած ֆունկցիաները։ Այս օրինաչափությունը պատահական չէ, քանի որ ինչպես վերը նշված է, ցանկացած անընդհատ ֆունկցիա ինչ-որ միջակայքում ունի իր անընդհատ նախնական ֆունկցիան։

Լուծման օրինակներ

$1.$$\int x^{2}dx=\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C=\frac{x^3}{3}+C$

$2.$$\int (a^x+\cos x)dx=\int a^{x}dx+\int \cos xdx=\frac{a^x}{\ln a}+\sin x+C$

$3.$$\int \frac{dx}{1+x^2}+\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int \frac{dx}{1+x^2}+\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}+C=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+\arcsin x+C$

Տես նաև

• Նախնական ֆունկցիա
• Որոշյալ ինտեգրալ
• Վերլուծության հիմնական թեորեմ
• Ինտեգրալի նշան
• Թվային ինտեգրում
• Ինտեգրման մեթոդներ
• Տարրական ֆունկցիաների ինտեգրման ցանկ
• Ինտեգրալների աղյուսակ
• Ինտեգրալ հաշիվ

Արտաքին հղումներ

• Կաղապար:MathWorld
• Wolfram Integrator — ինտեգրալների առցանց հաշվարկում Mathematica համակարգի օգնությամբ
• Ինտեգրալների առցանց հաշվիչ
• Онлайн калькулятор интегралов с подробным пошаговым решением на русском языке