Լամեի հաստատուններ

Լամեի հաստատուններ, դեֆորմացվող իզոտրոպ պինդ մարմնի որևէ կետում առաձգական լարման և դեֆորմացիայի բաղադրիչները կապող մեծություններ։ Կոչվում են ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Գաբրիել Լամեի անվամբ։ Լամեի հաստատուններով լարման և դեֆորմացիայի բաղադրիչների կապը գրվում է

σ = 2 μ ε + λ T r (ε) I

տեսքով, որտեղ OT-ն և X-և լարման նորմալ և շոշափող բաղադրիչներն են, e-ը՝ դեֆորմացիայի բաղադրիչները, X-ն և |ւ-ն՝ Լ. հ.։ Առաձգականության մոդուլների և v Պուասոնի գործակցի E հետ Լամեի հաստատունները կապված են

λ = \frac{ν E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)}

μ = \frac{E}{2 (1 + ν)}

առնչություններով, որտեղ E-ն երկայնական առաձգականության մոդուլն է, G-ն՝ սահքի մոդուլը։

Դիցուք եռաչափ տարածությունում տրված է կոորդինատների համակարգ՝ ${q_{1}, q_{2}, q_{3}}$ :Պատկերացնենք անվերջ փոքր վեկտոր $d s$ -ն՝ ներկայացված վեկտորների դեկարդյան $i, j, k$ բազիսով և կորագիծ կոորդինատային համակարգում բազիսային վեկտորների $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ հավաքածույով։

$d s = i d x + j d y + k d z$

$d s = e_{1} d q_{1} + e_{2} d q_{2} + e_{3} d q_{3}$

Որպեսզի $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ մեծությունները կարողանան դիտարկվել վորպես էլեմենտի կոորդինատներ, տարածության որոշակի մասում, անհրաժեշտ է հակառակ արտահայտությունը.

${\begin{matrix} x = x (q_{1}, q_{2}, q_{3}) \\ y = y (q_{1}, q_{2}, q_{3}) \\ z = z (q_{1}, q_{2}, q_{3}) \end{matrix}$

(1) Հավասարման մեջ դեկարդյան կոորդինատների դիֆերենցիալները արտահայտենք կորագծային կոորդինատների դիֆերենցիալներով.

$d x = \frac{\partial x}{\partial q_{1}} d q_{1} + \frac{\partial x}{\partial q_{2}} d q_{2} + \frac{\partial x}{\partial q_{3}} d q_{3},$

$d y = \frac{\partial y}{\partial q_{1}} d q_{1} + \frac{\partial y}{\partial q_{2}} d q_{2} + \frac{\partial y}{\partial q_{3}} d q_{3},$

$d z = \frac{\partial z}{\partial q_{1}} d q_{1} + \frac{\partial z}{\partial q_{2}} d q_{2} + \frac{\partial z}{\partial q_{3}} d q_{3}$

այդ դեպքում.

$e_{1} = i \frac{\partial x}{\partial q_{1}} + j \frac{\partial y}{\partial q_{1}} + k \frac{\partial z}{\partial q_{1}},$

$e_{2} = i \frac{\partial x}{\partial q_{2}} + j \frac{\partial y}{\partial q_{2}} + k \frac{\partial z}{\partial q_{2}},$

$e_{3} = i \frac{\partial x}{\partial q_{3}} + j \frac{\partial y}{\partial q_{3}} + k \frac{\partial z}{\partial q_{3}}$

Եթե կոորդինատների ${q_{1}, q_{2}, q_{3}}$ համակարգը ուղղանկյուն է, ապա տարածության յուրաքանչյուր կետում $e_{1}, e_{2}$ և $e_{3}$ վեկտորները զույգ առ զույգ ուղղանկյուն են։

$e_{i} e_{j} = ‖ e_{i} ‖^{2} δ_{i} j$

Որտեղ $‖ e_{i} ‖$ -ն $e_{i}$ վեկտորի նորմն է,

$δ_{i} j$ -ն Կրոնեկերի դելտա-սիմվոլը, որը որոշվում է հետևյալ բանաձևով.

$δ_{i} j = δ_{j} i = {\begin{matrix} 1, i = j \\ 0, i \neq j \end{matrix}$

$e_{i}$ վեկտորի նորմ անվանում են նաև Լամեի գործակից` $H_{i}$ , $q_{i}$ կոորդինատի համար $M$ կետում։

$H_{i} = \sqrt{(\frac{\partial x}{\partial q_{i}})^{2} + (\frac{\partial y}{\partial q_{i}})^{2} + (\frac{\partial z}{\partial q_{i}})^{2}}$ , $(i = 1, 2, 3)$

(1) և (2) բանաձևերից հետևում է որ, ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում կամայական թեքի կորության երկարության դիֆերենցիալի քառակուսին կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ.

$d s^{2} = d x^{2} + d y^{2} + d z^{2},$

$d s^{2} = H_{1}^{2} d q_{1}^{2} + H_{2}^{2} d q_{2}^{2} + H_{3}^{2} d q_{3}^{2}$

Եթե ${q_{1}, q_{2}, q_{3}}$ համակարգից երկու կոորդինատներ ֆիքսենք, ապա (7) հավասարումը կբերվի, Լամեի գործակիցների համար, հետևյալ տեսքի.

$H_{i} = \frac{\partial s}{\partial q_{i}}$ $(i = 1, 2, 3)$

Արդյունքում մենք ստանում ենք Լամեի գործակիցների հաշվարկի մեկ այլ միջոց, համաձայն որի բավական է նշել կոորդինատային $q_{i}$ գծի անվերջ փոքր էլեմենտի կորի երկարության հարաբերությունը $q_{i}$ կոորդինատի դիֆերենցիալին:Օրինակ գլանային կոորդինատների համակարգում $ρ$ և $z$ կոորդինատային գծերն են հանդիսանում կիսաուղիղը և ուղիղը համապատասխանաբար, որի հետևանքով $H_{ρ} = H_{z} = 1$ :Քանի որ կոորդինատային $φ$ գիծ հանդիսանում է $ρ$ շառավղով շրջանագիծը, ապա $d s = ρ d φ$ և $H_{φ} = ρ :$ Կորագիծ կոորդինատային համակարգում ծավալի էլեմենտը որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

$d V = H_{1} H_{2} H_{3} d q_{1} d q_{2} d q_{3}$

Այդ դեպքում գլանային կոորդինատային համակարգում `

$d V = ρ d ρ d φ d z$

Գնդային կոորդինատային համակարգում՝

$d V = r^{2} \sin θ d r d φ d θ :$ Կաղապար:ՀՍՀ

Լամեի հաստատուններ

Նավարկման ցանկ

Որոնում