Շոշափող

Ֆունկցիայի գրաֆիկ (սև կոր) և շոշափող (կարմիր ուղիղ)

Շոշափող, ուղիղ, որն անցնում է կորի տվյալ կետով և այդ կետում համընկնում է նրա հետ։

Խիստ Սահմանումը

• Դիցուք, $f:U(x_0)\subset ℝ\to ℝ$ ֆունցիան սահմանվում է որոշակի $x_0\in ℝ$ կետի շրջակայքում և դրանում դիֆերենցելի է՝ $f\in 𝒟(x_0)$։ $f$ ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափող $x_0$ կետում, կոչվում է այն գծային ֆունցիայի գրաֆիկը, որը տրվում է հետևյալ հավասարմամբ՝
• ։ $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0),x\in ℝ$.
• Եթե $f$ ֆունցիան $x_0$ կետում ունի $f^{\prime }(x_0)=\pm \mathrm{\infty },$ անվերջ ածանցյալներ, ապա այդ կետում շոշափող կոչվում է ուղղահայաց ուղիղը, որը տրվում է հետևյալ բանաձևով
• ։ $x=x_0.$

Ծանոթագրություն

Հենց սահմանումից հետևում է, որ շոշափողի գրաֆիկն անցնում է $(x_0,f(x_0))$ կետով։ Կորի շոշափողի ու Ох առանցքի միջև ընկած $\alpha$ անկյունը բավարարում է հետևյալ հավասարմանը

$\mathrm{tg}\alpha =f^{\prime }(x_0)=k,$

որտեղ $\mathrm{tg}$–ը նշանակում է տանգենս, իսկ $\mathrm{k}$–ը՝ շոշափողի թեքման կոեֆիցենտ։ $x_0$ կետում ածանցյալը հավասար է այդ կետում $y=f(x)$ ֆունկցիայի շոշափողի թեքման կոեֆիցենտին։

Շոշափողը որպես հատողի սահմանային վիճակ

Դիցուք $f:U(x_0)\to ℝ$ և $x_1\in U(x_0).$ Այս դեպքում ուղիղը, որն անցում է $(x_0,f(x_0))$ և $(x_1,f(x_1))$ կետերով տրվում է հետևյալ հավասարմամբ՝

$y=f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0).$

Այդ ուղիղն անցնում է $(x_0,f(x_0))$ կետով յուրաքանչյուր $x_1\in U(x_0),$ և նրա թեքման $\alpha (x_1)$ անկյունը բավարարում է հետևյալ հավասարմանը՝

$\mathrm{tg}\alpha (x_1)=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$

Հաշվի առնելով, որ $f$ ֆունցիայի ածանցյալը գոյություն ունի $x_0,$ կետում, անցնելով $x_1\to x_0,$ սահմանը, ստանում ենք, որ գոյություն ունի նաև հետևյալ սահմանը՝

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x_1\to x_0}\mathrm{tg}\alpha (x_1)=f^{\prime }(x_0),$

իսկ արկտանգենսի անընդհատության դեպքում և հետևյալ սահմանային անկյունը

$\alpha =\mathrm{arctg}{f}^{\prime }(x_0).$

$(x_0,f(x_0))$ կետով անցնող և թեքման սահմանային անկյուն ունեցող ուղիղը, որը բավարարում է $\mathrm{tg}\alpha =f^{\prime }(x_0),$ տրվում է շոշափողի բանաձևով

$y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$

Շրջանագծի շոշափողներ

Շոշափողի հատվածներ

Ուղիղը, որը շրջանագծի հետ մեկ ընդհանուր կետ ունի և ընկած է նրա հարթության մեջ, կոչվում է շրջանագծի շոշափող։

Հատկություններ

1. Շրջանագծի շոշափողն ուղղահայաց է շոշափման կետով տարված շառավղին։
2. Մի կետից տարված շոշափողի հատվածները հավասար են և հավասար անկյուններ են կազմում այդ կետով ու շրջանագծի կենտրոնով անցնող ուղղի հետ։

Վարիացիաները և ընդհանրացումները

Միակողմանի կիսաշոշափողներ

• Եթե գոյություն ունի աջ ածանցյալ $f{\text{'}}_{+}(x_0)<\mathrm{\infty },$ ապա ֆունկցիայի գրաֆիկի աջ կիսաշոշափողը $f$ $x_0$ կետում կոչվում է ճառագայթ։

$y=f(x_0)+f{\text{'}}_{+}(x_0)(x-x_0),x⩾x_0.$

• Եթե գոյություն ունի ձախ ածանցյալ $f{\text{'}}_{-}(x_0)<\mathrm{\infty },$ ապա $f$ ֆունկցիայի գրաֆիկի ձախ կիսաշոշափողը $x_0$ կետում կոչվում է ճառագայթ։

$y=f(x_0)+f{\text{'}}_{-}(x_0)(x-x_0),x⩽x_0.$

• Եթե գոյություն ունի անվերջ աջ ածանցյալ $f{\text{'}}_{+}(x_0)=+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty }),$ ապա $f$ ֆունցիայի աջ կիսաշոշափողը $x_0$ կետում կոչվում է ճառագայթ։

$x=x_0,y⩾f(x_0)(y⩽f(x_0)).$

• Եթե գոյություն ունի անվերջ ձախ ածանցյալ $f{\text{'}}_{-}(x_0)=+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty }),$ ապա $f$ ֆունցիայի գրաֆիկի աջ կիսաշոշափողը $x_0$ կոտում կոչվում է ճառագայթ։

$x=x_0,y⩽f(x_0)(y⩾f(x_0)).$

Գրականություն

• Շոշափող // Բրոքհաուսի և Էֆրոնի հանրագիտարանային բառարան։ 86 հատորով (82 հիմնական հատոր և 4 լրացուցիչ)՝ 1890—1907։