Ստյուարտի թեորեմ

Diagram of Stewart's theorem

Ստյուարտի թեորեմը կապ է հաստատում եռանկյան կողմերի և եռանկյան մի գագաթից դիմացի կողմին տարված հատողի երկարության միջև։ Թեորեմը անվանվել է շոտլանդացի մաթեմատիկոս Մեթյու Ստյուարտի պատվին, որը հրատարակել է թեորեմը 1746 թվականին։

Թեորեմը

Դիցուք $a$-ն, $b$-ն, և $c$-ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են։ Եթե $d$ հատվածը բաժանում է $a$ կողմը $m$ և $n$ երկարությամբ հատվածների, ապա ըստ Ստյուարտի թեորեմի՝

$b^{2}m+c^{2}n=a(d^2+mn)$

Ապոլոնիուսի թեորեմը այս թեորեմի մասնավոր դեպքն է (երբ d-ն միջնագիծ է)։

Ապացույց

Թեորեմը կարելի է ապացուցել հետևյալ եղանակով.

Դիցուք θ-ն m և d, իսկ θ′-ը՝ n և d հատվածների միջև ընկած անկյուններն են։ Սյդ անկյունները կից անկյուններ են, ուստի cos θ′ = −cos θ. Օգտվենք կոսինուսների թեորեմից θ և θ′ անկյունների համար.

$\begin{array}{cc}{c}^2& =m^2+d^2-2dm\cos \theta \\ b^2& =n^2+d^2-2dn\cos {\theta }^{\prime }\\ & =n^2+d^2+2dn\cos \theta .\end{array}$

Առաջին հավասարումը բազմապատկենք n-ով, իսկ երկրորդը՝ m-ով, և ապա գումարենք մեկը մյուսին՝

$\begin{array}{cc}& b^{2}m+c^{2}n\\ & =n{m}^2+n^{2}m+(m+n)d^2\\ & =(m+n)(mn+d^2)\\ & =a(mn+d^2)\\ \end{array}$

Արտաքին հղումներ

• Կաղապար:Cite book
• [1] Թեորեմի մասին mathworld-ում
• [2] Կաղապար:Webarchive, [3] Կաղապար:Webarchive Թեորեմի մասին planetmath-ում