Անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա

Անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա

$b_1,b_2,\dots ,b_n,\dots$ երկրաչափական պրոգրեսիան անվանում են անվերջ նվազող, եթե նրա հայտարարի բացարձակ արժեքը փոքր է 1-ից՝ $|q|<1$:

Օրինակներ՝

• $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\dots ,\frac{1}{2^{n-1}},\dots$ պրոգրեսիան անվերջ նվազող է, քանի որ հայտարարի բացարձակ արժեքը փոքր է 1-ից ($q=\frac{1}{2}$)։
• $-0.9,0.81,-0.729,\dots ,(-0.9{)}^n,\dots$ պրոգրեսիան անվերջ նվազող է, քանի որ հայտարարի բացարձակ արժեքը փոքր է 1-ից ($q=-0.9$)։

Անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումար

Հայտնի է, որ ցանկացած երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին $n$ անդամների գումարի բանաձևը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով․

$$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q},q\ne 1$$

Անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի դեպքում (կամ նույնն է՝ $|q|<1$) վերը նշված հավասարության մեջ եթե անցնենք սահմանի, երբ $n\to \mathrm{\infty }$։ Օգտվենք հաջորդականության սահմանի հատկություններից և որ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{q}^n=0,|q|<1$, կստանանք՝

$$S=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{b_1}{1-q}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1-q^n)=\frac{b_1}{1-q}$$

Հենց այդ թիվն էլ անվանում են $q(|q|<1)$ հայտարարով $b_1,b_2,\dots ,b_n,\dots$ անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումար $S=\frac{b_1}{1-q}$:

$$b_1+b_2+b_3+\dots +b_n+\dots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_k=\frac{b_1}{1-q}$$Նաև անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիան առաջին ուսումնասիրվող շարքն է մաթեմատիկական անալիզում։

Կաղապար:Անավարտ