Երկրաչափական պրոգրեսիա

Կաղապար:Անաղբյուր Երկրաչափական պրոգրեսիա, $b_1,b_2,b_3,\dots$ թվերի (պրոգրեսիայի ոչ զրոյական անդամների) այնպիսի հաջորդականություն, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ (բացի առաջինից) հավասար է նախորդ անդամի և միևնույն $q$ թվի (պրոգրեսիայի հայտարարի) արտադրյալին՝

$b_1=0$, $q=0$։ $b_1,b_2=b_{1}q,b_3=b_{2}q,\dots ,b_n=b_{n-1}q$

Նկարագրություն

Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ ստացվում է հետևալ բանաձևի միջոցով՝

$b_n=b_1{q}^{n-1}$

Եթե $b_1>0$ և $q>1$, պրոգրեսիան կոչվում է աճող, իսկ $0<q<1$ դեպքում՝ նվազող, իսկ $q=1$ —ի դեպքում հաստատուն

Պրոգրեսիայի անվանումը կապված է միջին երկրաչափականի հետ (յուրաքանչյուր անդամ հավասար է նույն «հեռավորության» վրա գտնվող նախորդ և հաջորդ անդամների միջին երկրաչափականին)՝

$|b_n|=\sqrt{b_{n-k}{b}_{n+k}},$

Օրինակներ

• $\pi ,\pi ,\pi ,\pi$ — երկրաչափական պրոգրեսիա 1 հայտարարով (և թվաբանական պրոգրեսիա 0 տարբերությամբ)
• 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — անվերջ նվազող պրոգրեսիա -½ հայտարարով
• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — տասներեք անդամներից բաղկացած պրոգրեսիա 2 հայտարարով

Հատկություններ

• Երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների լոգարիթմները (եթե որոշված են) կազմում են թվաբանական պրոգրեսիա։

Ապացույց.

Դիցուք $w_n$-ը հաջորդականություն է՝ $w_n={\log }_p{b}_n$

$\mathrm{\forall }n>1\frac{w_{n-1}+w_{n+1}}{2}=\frac{{\log }_p{b}_{n-1}+{\log }_p{b}_{n+1}}{2}=\frac{{\log }_p{b}_1{q}^{n-2}+{\log }_p{b}_1{q}^n}{2}=\frac{{\log }_p(b_1^2{q}^{2n-2})}{2}=\frac{2\cdot {\log }_p{b}_1{q}^{n-1}}{2}={\log }_p{b}_n=w_n$

Ստացված հարաբերակցությունը բնորոշ է թվաբանական պրոգրեսիային.

• $b_n^2=b_{n-i}{b}_{n+i},i<n$

Ապացույց.

$b_n^2=b_n{b}_n=b_1{q}^{n-1}{b}_1{q}^{n-1}=b_1{q}^{n-1-i}{b}_1{q}^{n-1+i}=b_{n-i}{b}_{n+i}$

• Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների արտադրյալը կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝
• ։ $P_n=(b_1\cdot b_n{)}^{\frac{n}{2}}$,

Ապացույց.

$P_n=\prod _{i=1}^n{b}_i=\prod _{i=1}^n{b}_1{q}^{i-1}=b_1^n\prod _{i=1}^n{q}^{i-1}=b_1^{\frac{n}{2}}{b}_1^{\frac{n}{2}}{q}^{\frac{n(0+(n-1))}{2}}=(b_1{b}_1{q}^{n-1}{)}^{\frac{n}{2}}=(b_1{b}_n{)}^{\frac{n}{2}}$

• Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին $n$ անդամների գումարը՝
• ։ $S_n=\{\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^n{b}_i=\frac{b_1{q}^n-b_1}{q-1}=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1},& \text{if }q\ne 1\\ n{b}_1,& \text{if }q=1\end{array}$

Ապացույց.

• Գումարի միջոցով՝
• ։ $S_n=\sum _{i=1}^n{b}_1{q}^{i-1}=b_1+\sum _{i=2}^n{b}_1{q}^{i-1}=b_1+q\sum _{i=2}^n{b}_1{q}^{i-2}=b_1+q\sum _{i=1}^{n-1}{b}_1{q}^{i-1}=b_1+q\sum _{i=1}^n{b}_1{q}^{i-1}-b_1{q}^n\Rightarrow$

։ $\Rightarrow (1-q)\sum _{i=1}^n{b}_1{q}^{i-1}=b_1-b_1{q}^n\Rightarrow \sum _{i=1}^n{b}_1{q}^{i-1}=b_1\frac{1-q^n}{1-q}$

• Եթե $\left|q\right|<1$, ապա $b_n\to 0$ երբ $n\to +\mathrm{\infty }$, և
• ։ $S_n\to \frac{b_1}{1-q}$ այն դեպքում երբ $n\to +\mathrm{\infty }$.

Տես նաև

• Թվաբանական պրոգրեսիա
• Հաջորդականություն (մաթեմատիկա)