Միջին երկրաչափական

Միջին երկրաչափական -մի քանի դրական իրական թվերի համար այն թիվն է, որով կարելի է փոխարինել թվերից յուրաքանչյուրը այնպես, որ այդ թվերի արտադրյալը մնա անփոփոխ։Առավել ճշգրիտ․

$G(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{1/n}$։

Երկու թվերի միջին երկրաչափականը կոչվում է նաև «միջին համամասնական», քանի որ երկու $a_1$ և $a_2$ թվերի $g$ միջին երկրաչափականը օժտված է հետևյալ հատկությամբ․ $\frac{a_1}{g}=\frac{g}{a_2}$, այսինքն․ միջին երկրաչափականը հարաբերվում է առաջին թվին այնպես, ինչպես երկրորդ թիվը միջին երկրաչափականին։

Հատկությունները

• ինչպես ցանկացած միջին արժեք՝ միջին երկրաչափականը ընկած է այդ թվերի մեծագույն և փոքրագույն արծեքների միջև․

$\min (x_1,x_2,\dots ,x_n)⩽G(x_1,x_2,\dots ,x_n)⩽\max (x_1,x_2,\dots ,x_n)$

• Երկու $a=A_0,b=G_0$ թվերի միջին երկրաչափականը այդ թվերի միջին թվաբանական- հարմոնիկն է, այսինքն հավասար է երկու հաջորդականությունների սահմանին․

$A_i=\frac{A_{i-1}+G_{i-1}}{2},G_i=\sqrt{A_{i-1}{G}_{i-1}}$

• երկու թվերի միջին երկրաչափականը հավասար է այդ թվերի միջին թվաբանականի և միջին հարմոնիկի միջին եկլրաչափականին։

Կշռված երկրաչափական միջին

Կաղապար:Main Կշռված երկրաչափական միջինը իրական թվերի $x_1,\dots ,x_n$ խմբի համար $w_1,\dots ,w_n$ իրական զանգվածներով որոշվում է հետևյալ կերպ․

$\overline{x}={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}\right)}^{1/\sum _{i=1}^n{w}_i}=\exp (\frac{1}{\sum _{i=1}^n{w}_i}\sum _{i=1}^n{w}_i\ln x_i)$

Այն դեպքում, երբ բոլոր զանգվածները իրար հավասար են, կշռված երկրաչափական միջինը հավասար է միջին երկրաչափականին։

Երկրաչափության մեջ

Հատվածների միջին երկրաչափական:
$BH=\sqrt{AH\cdot HC}=\sqrt{ab}$

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին իջեցրած բարձրությունը հավասար է ներքնաձիգի վրա էջերի պրոյեկցիաների միջին երկրաչափականին։ Իսկ յուրաքանչյուր էջ հավասար է ներքնաձիգի և նրա վրա այդ էջի պրոյեկցիայի միջին երկրաչափականին։ Սա հնարավորություն է տալիս երկրաչափորեն կառուցելու երկու հատվածների միջին երկրաչափականը․ հարկավոր է կառուցել շրջանագիծ, որի տրամագիծը այդ երկու հատվածների գումարն է, իսկ հատվածների միացման կետում կանգնեցված ուղղահայացը մինչև շրջանագծի հետ հատումը կլինի որոնելի մեծությունը Մինչև գնդի հորիզոն հեռավորությունը հավասար է գնդի ամենամոտ և ամենահեռու կետերի հեռավորությունների միջին երկրաչափականին։

Ֆինանսական

Երկրաչափական միջինը ժամանակ առ ժամանակ օգտագործվել է ֆինանսական ցուցանիշները հաշվարկելու համար (միջին ցուցանիշը գերազանցում է ինդեքսի բաղադրիչները)։ Օրինակ ՝ նախկինում FT 30 ինդեքսը օգտագործում էր երկրաչափական միջակայք։ Այն նաև օգտագործվում է Միացյալ Թագավորությունում և Եվրոպական Միությունում վերջերս ներդրված « RPIJ » գնաճի չափման մեջ։ Սա ազդեցություն է թողնում ցուցանիշի վրա շարժվող շարժումների ազդեցությանը `թվաբանության միջին օգտագործման համեմատությամբ։

Համեմատությունը թվաբանական միջինի հետ

Դրական թվերի ոչ դատարկ տվյալների հավաքածուի երկրաչափական միջինը միշտ առավելագույնը դրանց թվաբանական միջինն է։ Հավասարությունը ձեռք է բերվում միայն այն դեպքում, երբ տվյալների ամբողջ շարքում բոլոր համարները հավասար են. հակառակ դեպքում երկրաչափական միջինը փոքր է։ Օրինակ․ 242-ի և 288-ի երկրաչափական միջին ցուցանիշը հավասար է 264-ին, մինչդեռ դրանց թվաբանական միջինը 265 է։ Մասնավորապես, սա նշանակում է, որ երբ ոչ միանման թվերի մի շարք ենթակա է միջին պահպանման տարածման , այսինքն ` հավաքածուն իրարից ավելի «տարածվում» է, իսկ թվաբանական միջինը թողնելով անփոփոխ ՝ դրանց երկրաչափական միջին քանակը նվազում է։

Ընդհանրացում

• Միջին երկրաչափականը կարելի է դիտարկել որպես միջին աստիճաննայինների սահման․

$A_g(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[g]{\frac{x_1^g+\dots +x_n^g}{n}}$ при $g\to 0$.

• Միջին երկրաչափականը հանդիսանում է Կալմագորովի միջին երբ $\varphi (x)=\log x$։

Տես նաև

• Երկրաչափական պրոգրեսիա
• Երկրաչափական համամասնություն
• Շվեյցերի անհավասարում