Միջին հարմոնիկ

Միջին հարմոնիկ-միջոց է որոշակի թվերի հավաքածուի «միջին» մեծությունը հասկանալու համար։ Հաճախ օգտագործվում է միջին արագությունը որոշելիս։ Այն կարելի է սահմանել հետևյալ կերպ․ դիցուք տրված են դրական $x_1,\dots ,x_n$ թվերը, ապա նրանց միջին հարմոնիկը կլինի այն $H$ թիվը, որը

$\frac{n}{H}=\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}$.

Կարելի է ստանալ միջին հարմոնիկի համար իրական բանաձև․

$H(x_1,\dots ,x_n)=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}=\frac{1}{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$,

այսինքն միջին հարմոնիկը $x_1,\dots ,x_n$ թվերի հակադարձների միջինի հակադարձ մեծությունն է։

Հատկությունները

• Միջին հարմոնիկը իսկապես հանդիսանում է միջին այն իմաստով, որ $\min (x_1,\dots ,x_n)⩽H(x_1,\dots ,x_n)⩽\max (x_1,\dots ,x_n)$։
• Ընդհանրապես միջին հարմոնիկը միջին աստիճանային է -1 աստիճանով։
• Միջին հարմոնիկը երկակի է միջին թվաբանականին հետևյալ իմաստով․

$H(x_1,\dots ,x_n)=A^{-1}(x_1^{-1},\dots ,x_n^{-1})$ и

$A(x_1,\dots ,x_n)=H^{-1}(x_1^{-1},\dots ,x_n^{-1})$ (երբ վերջինս որոշված է)։

• Միջին հարմոնիկը չի գերազանցում միջին երկրաչափականին, միջին թվաբանականին և միջին քառակուսայինին, ընդ որում․ բոլոր միջինները հավասար են բոլոր $x_1=\dots =x_n,$ թվերի հավասարության դեպքում, այսինքն․

$H\le G\le A\le S,$

որտեղ $H$ — միջին հարմոնիկն է;

$G$ — միջին երկրաչափականն է;

$A$ — միջին թվաբանականն է;

$S$ — միջին քառակուսայինն է։

Կշռված միջին հարմոնիկ

Դիցուք տրված է ոչ բացասական թվերի $x_1,\dots ,x_n$ համախումբը և $w_1,\dots ,w_n$ թվերի համախումբը, որտեղ $w_i$-ն կոչվում է $x_i$ մեծության «զանգված»։ Ապա նրանց կշռված միջին հարմոնիկ է կոչվում հետևյալ թիվը․

$H(x_1,\dots ,x_n;w_1,\dots ,w_n)=\frac{w_1+\dots +w_n}{\frac{w_1}{x_1}+\dots +\frac{w_n}{x_n}}$։

Հեշտ է նկատել, որ երբ

$w_1=\dots =w_n\ne 0$

(երբ բոլորը հավասարամեծ են)ստացվումէ սովորական միջին հարմոնիկ։

У սեղանի անկյունագծերի հատման կետով անցնող հատվածը զուգահեռ է հիմքերին, և հավասար է նրանց միջին հարմոնիկին

։

Ներկված շրջանների տրամագծերը նույնն են(կոչվում են երկվորյակ շրջաններ) և հավասար են AB և BC հատվածների վրա կառուցված կիսաշրջանագծերի շառավիղների միջին հարմոնիկին

։

Օրինակներ

Վիճակագրության մեջ միջին հարմոնիկը օգտագործվում է այն դեպքում, երբ դիտարկումները, որոնց համար անհրաժեշտ է թվաբանական միջինի հաշվում ձեռք , տրվում են հակադարձ արժեքներով։

Բարակ ոսպնյակի բանաձևում երկու անգամ կիզակետային երկարությունը հավասար է ոսպնյակներից մինչև առարկայի հեռավորության ը և ոսպնյակներից մինչև պատկերի հեռավորության միջին հարմոնիկին։ Նմանատիպ եղանակով, միջին հարմոնիկը ներառված է գնդաձև հայելու համար բանաձևում։ Միջին արագությունը մի ճանապարհի վրա, որը բաժանված է հավասար մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա արագությունը կայուն է, հավասար է ուղու այդ հատվածների արագությունների նմիջին հարմոնիկին։ Ընդհանուր առմամբ, եթե ուղին բաժանվում է մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա արագությունը կայուն է, ապա միջին արագությունը հավասար կլինի կշռված միջին հարմոնիկ արագությանը (յուրաքանչյուր արագություն գալիս է համապատասխան քաշի երկարությանը հավասար քաշով)։ Ալյումինի միջին խտությունը հավասար է ձուլված նյութերի կշռված միջին հարմոնիկ խտությանը (կշիռներ - համապատասխան նյութերի մասերի զանգվածներ)։ Զուգահեռ միացված են մի քանի դիմադրիչների ձեռք բերած դիմադրությունը հավասար է դրանց դիմադրությունների միջին հարմոնիկին՝ բաժանված ըստ դրանց քանակի։ Նմանատիպ հայտարարությունը ճշմարիտ է շարքի միացված կոնդենսատորների համար։

Տես նաև

• Հարմոնիկ համամասնություն
• Հարմոնիկ շարք
• Միջին թվաբանական

Արտաքին հղումներ

• Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld—A Wolfram Web Resource