Շրյոդինգերի պատկերացում

Էրվին Շրյոդինգերը (1887 – 1961)
1933 թվականին Շրյոդինգերը Պոլ Դիրակի հետ համատեղ ֆիզիկայի Նոբելյան մրցանակ ստացավ քվանտային մեխանիկայում իր ներդրումների համար

Շրյոդինգերի պատկերացում, Շրյոդինգերի պատկեր, քվանտային մեխանիկայի ձևակերպում, որտեղ քվանտային վիճակի վեկտորը փոփոխվում է ժամանակի ընթացքում, բայց օպերատորները հաստատուն են մնում։ Սա տարբերվում է Հայզենբերգի ներկայացումից, որը վիճակը հաստատուն է պահում, մինչ քվանտային դիտարկելին (անգլ․ observable) փոփոխվում են ժամանակի ընթացքում, և փոխազդեցության ներկայացումից, որտեղ և վիճակը, և դիտարկելին փոփոխվում են ժամանակի ընթացքում։ Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի պատկերացումները կապված են ակտիվ և պասիվ ձևափոխությունների հետ և կոմուտացման առնչությունները օպերատորների միջև պահպանվում են մմի պատկերից մյուսին անցնելիս։

Շրյոդինգերի պատկերում համակարգի վիճակը զարգանում է ժամանակի ընթացքում։ Փակ քվանտային համակարգի զարգացումը տրվում է ունիտար օպերատորով՝ ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորով։ Քանի որ ժամանակի ձևավորում է $|\psi (t_0)⟩$ վիճակի վեկտոր t₀պահին $|\psi (t)⟩$ վիճակի վեկտորին t պահին, ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը սովորաբար գրվում է $U(t,t_0)$, և ունենք

$|\psi (t)⟩=U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩.$

Այն դեպքում, երբ համակարգի համիլտոնյանը չի փոխվում ժամանակի ընթացքում, ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը ունի

$U(t,t_0)=e^{-iH(t-t_0)/\hslash },$

տեսքը, որտեղ էքսպոնենտը հաշվարկվում է Թեյլորի շարքի միջոցով։

Շրյոդինգերի պատկերացումն օգտակար է, երբ գործ ունենք ժամանակից անկախ համիլտոնյանի հետ H, այսինքն՝ ${\partial }_{t}H=0$։

Հիմքը

Քվանտային մեխանիկայում քվանտամեխանիկական համակարգի վիճակը ներկայացվում է Կաղապար:Math կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիայով։ Ավելի աբստրակտ կերպով վիճակը կարող է ներկայացվել վիճակի վեկտորի տեսքով կամ փակագծային նշանակումներով (բրե֊քիտ նշանակումներ, անգլ․՝ bra-ket notation), $|\psi ⟩$։ Այս նշանակումը հիլբերտյան տարածության տարր է՝ վեկտորական տարածություն, որը պարունակում է համակարգի բոլոր հնարավոր վիճակները։ Քվանտամեխանիկական օպերատորը ֆունկցիա է, որը որպես արգումենտ վերցնում է $|\psi ⟩$ «քիտը» և ներկայացնում է այլ քիտ՝ $|{\psi }^{\prime }⟩$։

Քվանտային մեխանիկայի Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի ներկայացումների տարբերությունները գործ ունեն ժամանակի ընթացքում փոխվող համակարգերի հետ, համակարգի՝ ժամանակից կախված բնույթը պետք է տեղի ունենա վիճակի վեկտորների և օպերատորների որոշ կոմբինացիայով։ Օրինակ, քվանտային ներդաշնակ տատանակը կարող է լինել $|\psi ⟩$ վիճակում, որի համար իմպուլսի սպասվող արժեքները՝ $⟨\psi |\hat{p}|\psi ⟩$, ժամանակի ընթացքում փոխվում են սինուսոիդով։ Կարելի է հարցնել, թե սինուսոիդալ տատանումը պետք է արտացոլվի $|\psi ⟩$ վիճակի վեկտորով, $\hat{p}$ իմպուլսի օպերատորով կամ թե երկուսն էլ։ Այս երեք ընտրություններն էլ ճիշտ են, առաջինը տալիս է Շրյոդինգերի պատկերացումը, երկրորդը՝ Հայզենբերգի պատկերացումը, երրորդը՝ փոխազդեցության պատկերացումը։

Էվոլյուցիայի օպերատոր

Սահմանում

U(t, t₀) ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը սահմանվում է որպես մի օպերատոր, որն ազդում է «քիտի» վրա t₀ պահին՝ ստանալու համար քիտը ժամանակի մի այլ t պահին․

$|\psi (t)⟩=U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩.$

Փակագծային նշանակումներով ունենք ունենք

$⟨\psi (t)|=⟨\psi (t_0)|U^{†}(t,t_0).$

Հատկություններ

• Ունիտարություն

Ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը պետք է լինի ունիտար, քանի որ մենք պահանջ ենք դնում, որ վիճակի քիտի նորմը պետք է չփոխվի ժամանակի ընթացքում։ Այսինքն՝

$⟨\psi (t)|\psi (t)⟩=⟨\psi (t_0)|U^{†}(t,t_0)U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩=⟨\psi (t_0)|\psi (t_0)⟩$։

Ուստի,

$U^{†}(t,t_0)U(t,t_0)=I$։

• Նույնականություն

Եթե t = t₀, ապա U֊ն նույնական օպերատոր է, քանի որ

$|\psi (t_0)⟩=U(t_0,t_0)|\psi (t_0)⟩.$

• Փակում

Էվոլյուցիան t₀֊ից t կարելի է դիտարկել որպես երկու քայլանի ժամանակային էվոլյուցիա, սկզբում՝ t₀֊ից t₁ միջանկյալ վիճակին, և ապա՝ t₁֊ից վերջնական t վիճակին։ Այսպիսով՝

$U(t,t_0)=U(t,t_1)U(t_1,t_0)$։

Դիֆերենցիալ հավասարումը ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորի համար

Ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորի t₀ ինդեքսը կարելի է անտեսել, պայմանով, որ Կաղապար:Nowrap և այն գրել որպես U(t)։ Շրյոդինգերի հավասարումը՝

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩=H|\psi (t)⟩,$

որտեղ H֊ը համիլտոնյանն է։ Կիրառելով ժամանակի էվոլյուցիայի U օպերատորը՝ գրելու համար $|\psi (t)⟩=U(t)|\psi (0)⟩$, կունենանք

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}U(t)|\psi (0)⟩=HU(t)|\psi (0)⟩$։

Քանի որ $|\psi (0)⟩$ հաստատուն «քիտ» է («քիտ» վիճակը Կաղապար:Nowrap֊ում) և քանի որ վերևի հավասարումը հիլբերտյան տարածությունում ճիշտ է ցանկացած հաստատուն «քիտի» համար, ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը պետք է ենթարկվի

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}U(t)=HU(t)$

հավասարմանը։ Եթե համիլտոնյանն անկախ է ժամանակից, վերևի հավասարման լուծումը կլինի

$U(t)=e^{-iHt/\hslash }$։

Քանի որ H֊ը օպերատոր է, էքսպոնենցիալ արտահայտությունը կհաշվարկվի Թեյլորի շարքի միջոցով՝

$e^{-iHt/\hslash }=1-\frac{iHt}{\hslash }-\frac{1}{2}{\left(\frac{Ht}{\hslash }\right)}^2+\cdots$։

Այսպիսով,

$|\psi (t)⟩=e^{-iHt/\hslash }|\psi (0)⟩$։

Նշենք, որ $|\psi (0)⟩$֊ն կամայական քիտ է։ Սակայն եթե սկզբնական «քիտը» համիլտոնյանի սեփական վիճակ է E սեփական արժեքով, կստանանք

$|\psi (t)⟩=e^{-iEt/\hslash }|\psi (0)⟩$։

Այսպիսով տեսնում ենք, որ համիլտոնյանի սեփական վիճակները ստացիոնար վիճակներ են։

Եթե համիլտոնյանը կախված է ժամանակից, բայց տարբեր պահերին համիլտոնյանները կոմուտացվում են, ապա ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը կարելի է գրել որպես

$U(t)=\exp \left(-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}H(t^{\prime })d{t}^{\prime }\right),$

Եթե համիլտոնյանը կախված է ժամանակից, բայց տարբեր պահերի համիլտոնյաները չեն կոմուտացվում, ապա ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը կարելի է գրել որպես

$U(t)=\mathrm{T}\exp \left(-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}H(t^{\prime })d{t}^{\prime }\right),$

որտեղ T֊ն ժամանակակարգավորված օպերատոր է, երբեմն հայտնի է Դայսոնի շարք անունով։

Բոլոր պատկերացումների համեմատական աղյուսակ

Էվոլյուցիա	Պատկերացում
ըստ	Հայզենբերգի	Փոխազդեցութան	Շրյոդինգերի
«Քիտ» վիճակ	հաստատուն	$|{\psi }_I(t)⟩=e^{i{H}_{0,S}t/\hslash }|{\psi }_S(t)⟩$	$|{\psi }_S(t)⟩=e^{-i{H}_{S}t/\hslash }|{\psi }_S(0)⟩$
Դիտարկելի (անգլ․ observable)	$A_H(t)=e^{i{H}_{S}t/\hslash }{A}_S{e}^{-i{H}_{S}t/\hslash }$	$A_I(t)=e^{i{H}_{0,S}t/\hslash }{A}_S{e}^{-i{H}_{0,S}t/\hslash }$	հաստատուն
խտության մատրից	հաստատուն	${\rho }_I(t)=e^{i{H}_{0,S}t/\hslash }{\rho }_S(t)e^{-i{H}_{0,S}t/\hslash }$	${\rho }_S(t)=e^{-i{H}_{S}t/\hslash }{\rho }_S(0)e^{i{H}_{S}t/\hslash }$

Տես նաև

• Հայզենբերգի պատկերացում
• Փոխազդեցության պատկերացում

Արտաքին հղումներ

• Կաղապար:Cite book
• Albert Messiah, 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E., Quantum Mechanics (3rd ed., John Wiley 1998) p. 430-1 ISBN 0-471-88702-1
• Կաղապար:Cite book Online copy
• R. Shankar (1994); Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, ISBN 978-0306447907 .
• J. J. Sakurai (1993); Modern Quantum mechanics (Revised Edition), ISBN 978-0201539295 .