Հենման ֆունկցիա

Մաթեմատիկայում ոչ դատարկ փակ ուռուցիկ A բազմության, որը գտնվում է ${ℝ}^n$–ում, հենման ֆունկցիան՝ h_A–ն, բնութագրում է A–ի հենման հիպերհարթությունների հեռավորությունները կորդինատային կենտրոնից։ Յուրաքանչյուր ոչ դատարակ փակ ուռուցիկ A բազմությունը միակ ձևով է որոշվում h_A–ից։ Ավելին հենման ֆունկցիան A ուռուցիկ բազմության համար մրցում է շատ այլ բնական երկրաչափական օպերատորների հետ, ինչպիսիք են շրջումը, Մինկովսկու գումարը և այլ օպերատորներ։ Այս հատկությունների շնորհիվ հենման ֆունկցիան Ուռուցիկ Երկրաչափության մեջ հիմնական գաղափարներից է։

Սահմանում

Հենման ֆունկցիան $h_A:{ℝ}^n\to ℝ$ տես . A ոչ դատարակ ուռուցիկ ${ℝ}^n$-ում բազմության համար տրվում է հետևյալ կերպ.

$h_A(x)=\sup \{x\cdot a:a\in A\},$$x\in {ℝ}^n$;

Ներկայացումը ստացվում է ավելի ինտուիտիվ, երբ $x$-ը միավոր վեկտոր է. այսինք, երբ A-ն գտնվում է փակ կիսահարթության մեջ։

$\{y\in {ℝ}^n:y\cdot x⩽h_A(x)\}$

Եւ առնվազն մի կետ կա A-ի սահմանային տիրույթում, որ գտնվում է

$H(x)=\{y\in {ℝ}^n:y\cdot x=h_A(x)\}$

այս կիսահարթության մեջ։ H(x) հիպերհարթությունը այդ պատճառով կոչվում է X միավոր վեկտորին հենված արտաքին կիսահարթություն ։ Արտաքին բառը կարևոր է այստեղ, քանի որ X-ի ուղղոությունը շատ կարևոր է դեր է խաղում։ H(x) բազմությունը ընդհանուր առմամբ տարբեր է H(-x)-ից։ Այս դեպքում h_A -ն H(x)-ի հեռավորությունն է կենտրոնից։

Օրինակներ

A={a} միատարր բազմության հենման ֆունցիան ներկայացվում է $h_A(x)=x\cdot a$ տեսքով։

Էվկլիդյան B₁ միավոր գնդի հենման ֆունցիան ներկայացվում է $h_{B_1}(x)=|x|$ տեսքով։

Հատկություններ

Որպես A-ից կախված ֆունկցիա

Վերափոխված կամ ընդլայնված բազմությունների հենման ֆունկցիան սերտ կապ ունի հիմական A բազմությոնից

$h_{\alpha A}(x)=\alpha h_A(x),\alpha \ge 0,x\in {ℝ}^n$

և

$h_{A+b}(x)=h_A(x)+x\cdot b,x,b\in {ℝ}^n.$

ավելի ընդհանրացված տեսքը․

$h_{A+B}(x)=h_A(x)+h_B(x),x\in {ℝ}^n,$

որտեղ A + B-ն Մինկովսկու գումար-ն է․

$A+B:=\{a+b\in {ℝ}^n\mid a\in A,b\in B\}.$

2 ոչ դատարկ կոմպակտ ուռուցիկ բազմությունների Հաուսդորֆյան հեռավորությունը՝ $d_{\mathrm{H}}(A,B)=\Vert h_A-h_B{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ -ն կարող են ներկայացվեն հենման ֆունկցիայի տեսքով։

$d_{\mathrm{H}}(A,B)=\Vert h_A-h_B{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

որտեղ, աջ կողմի արտահայտության մեջ միավոր նորմն է օգտագործվում։

Հենման ֆունկցիայի հատկությունները, որպես A բազմությունից ֆունկցիա, երբեմն ընդհանրացվում է ասույթով, որ $\tau$:A $\mapsto$ h _A արտածում է ոչ դատարկ կոմպակտ ուռուցիկ բազմությունները միավոր գնդի վրա որոշված միակ ֆունկցիայի միջոցով, որի դրական համասեռ ընդլայնումը ուռուցիկ է։