Մինկովսկու գումար

Կարմիր պատկերը կապույտ և կանաչ պատկերների Մինկովսկու գումարն է։

Երկրաչափությունում էվկլիդյան տարածության մեջ գտնվող դիրքային վեկտորների 2 բազմության Մինկովսկու գումարը ձևավորվում է առաջին բազմության յուրաքանչյուր վեկտորի և երկրորդ բազմության յուրաքանչյուր վեկտորի գումարներով․

$A+B=\{𝐚+𝐛|𝐚\in A,𝐛\in B\}$

Նման կերպ ստացվում է նաև Մինկովսկու տարբերության սահմանումը․

$A-B=\{𝐜|𝐜+B\subseteq A\}$

Կարևոր է նկատել, որ ընդհանուր առմամաբ $A-B\ne A+(-B)$։ Մինկովսկու գումարի և տարբերության կապի ճշգրիտ բանաձևը ներկայացվում է հետևյալ տեսքով

$A-B=(A^c+(-B){)}^c$

Հասկացությունը կոչվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Հերման Մինկովսկու անվամբ.

Օրինակներ

Օրինակ, եթե մենք ունենք 2 բազմություններ, և յուրաքանչյուր բազմության մեջ կա երեք դիրքային վեկտոր՝ ներկայացնող 2 եռանկայան գագաթներ ${ℝ}^2$-ում, հետևյալ կոորդինատներով

$A=\{(1,0),(0,1),(0,-1)\}$

և

$B=\{(0,0),(1,1),(1,-1)\},$

ապա նրանց Մինկովսկու գումարը կստացվի

$A+B=\{(1,0),(2,1),(2,-1),(0,1),(1,2),(0,-1),(1,-2)\},$

որը համընկնում է հեքսագոնի գագաթների հետ։

Մինկովսկու գումարի համար զրոյական բազմությունը՝ {0}, պարունակող միայն զրոյական վեկտորը, 0 միավոր էլեմենտ է կամայական S վեկտորական ենթաբազմության համար

$S+\{0\}=S.$

Դատարկ բազմությունը կարևոր է Մինկովսկու գումարի համար, քանի որ դատարկ բազմությունը վերացնում է ամեն մի այլ ենթաբազմություն՝ կամայական վեկտորական տարածության S ենթաբազմության համար, իր և դատարկ բազմության գումարը դատարկ բազմություն է

$S+\mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }.$

Մինկովսկու գումարի ուռուցիկ գծային կոմբինացիան

Մինկովսկու գումարը լավ է իրեն դրսևորում, երբ վերցնում ենք ուռուցիկ գծային կոմբինացիան, ինչպես նշված է հետևյալ հատկութկունում․

• Յուրաքանչյուր ոչ դատարկ S₁ և S₂ ենթաբազմություննների Մինկովսկու գումարի ուռուցիկ գծային կոմբինացիան հավասար է իրենց ուռուցիկ գծային կոմբինացիաների Մինկովսկու գումարին․

$\mathrm{Conv}(S_1+S_2)=\mathrm{Conv}(S_1)+\mathrm{Conv}(S_2).$

Այս արդյունքը պահպանում է ավելի ընդհանուր կամայական ոչ դատարկ բազմությունների համար․

$\mathrm{Conv}(\sum S_n)=\sum \mathrm{Conv}(S_n).$

Մաթեմատիկայի տերմինաբանության մեջ Մինկովսկու գումարի օպերատորը և ուռուցիկ գծային կոմբինացիան կոմուտատիվ օպերատորներ են։

Եթե Կաղապար:Mvar -ը ուռուցիկ բազմություն է, ապա նույնպես ուռուցիկ բազմություն է։ Ավելին

$\mu S+\lambda S=(\mu +\lambda )S$

կամայական $\mu ,\lambda \ge 0$: Եվ հակառակը, եթե բաշխվածությունը տեղի ունի յուրաքանչյուր իրական $\mu ,\lambda$-ի համար, ապա բազմությունը ուռուցիկ է․

Մինկովսկու գումարը գծայնորեն է գործում 2 չափանի տարածության մեջ գտնվող ուռուցիկ մարմնի պարամետրի վրա։ Ավելին, եթե K-ն հաստատուն լայնության կորի արտաքին մասն է․ ապա K-ի և իր 180° շրջման Մինկովսկու գումարը դիսկ է։ Այս երկու փաստերը կարող ենք միախառնել ստանալու Բարբիերի թեորեմի կարճ ապացույցը հաստատուն լայնության կորի պարամետրի վրա։