Հաուսդորֆյան հեռավորություն

Մաթեմատիկայում, Հաուսդորֆյան հեռավորությունը կամ Հաուսդորֆյան տարածությունը, նաև կոչվում է Պոմպեյ—Հաուսդորֆյան հեռավորություն, չափում է, թե ինչ հեռավորության վրա են գտնվում մետրիկական տարածության մեջ գտնվող երկու ոչ դատարկ կոմպակտ ենթաբազմությունները։ Այն վերափոխում է ոչ դատարկ կոմպակտ ենթաբազմությունը մետրիկական տարախության իրական ձևի։ Այն կոչվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Ֆելիքս Հաուսդորֆֆի պատվին։

Այսպես ասած 2 բազմությունները մոտ են Հաուսդորֆյան տարածության մեջ, եթե յուրաքանչյուր կետ մի բազմությունից մոտ է ինչ-որ կետին մյուս բազմությունից։ Այլ կերպ ասած Հաուսդորֆյան հեռավորությունը, մի բազմության կետերից մյուս բազմությունից ամենահեռու գտնվող կետի հեռավորությունն է մյուս բազմության իրեն ամենամոտ կետից։

Ինչպես երևում է առաջին անգամ այս մեծությունը սահմանվել է Հաուսդորֆի կողմից իր գրքոում, առաջին անգամ 1914 թվականինտպագրված, չնայած շատ մոտ գաղափար է առաջ քաշվել Մորիս Ռենեի կողմից 1906-ին իր դոկտորական աշխատանքի մեջ։

Սահամնում

Հաուսդորֆյան հեռավորության բաղադրիչները X կանաչ գծի և Y կապույտ գծի միջև.

Վերցնենք X և Y ոչ դատարկ ենթաբազմություները մետրիկական տարածության մեջ (M, d)։ Մենք սահմանում ենք իրենց Հաուսդորֆյան հեռավորությունը Կաղապար:Nowrap

$d_{\mathrm{H}}(X,Y)=\max \{\underset{x\in X}{\sup }\underset{y\in Y}{\inf }d(x,y),\underset{y\in Y}{\sup }\underset{x\in X}{\inf }d(x,y)\}\text{,}$ -ի միջոցով։

որտեղ sup ներկայացնում է Սուպրեմիումը և inf-ը՝ Ինֆինիումը։

Համարժեքորեն

$d_H(X,Y)=\inf \{ϵ\ge 0;X\subseteq Y_{ϵ}\text{and}Y\subseteq X_{ϵ}\}$,

որտեղ

$X_{ϵ}:=\bigcup _{x\in X}\{z\in M;d(z,x)\le ϵ\}$ ,

որը $ϵ$ շառավիղով ընդլայնված X բազմությունն է։

Հատկություններ

• Ընդհանուր դեպքում d_H(X,Y)-ը կարող է լինել անվերջ․ Եթե և՜ X-ը և՜ Y-ը սահամանփակ են, ապա երաշխավորված է, որ կլինի վերջավոր․
• d_H(X,Y) = 0, այն և միայն այն դեպքում, երն X-ն ու Y-ը ունեն նույն սահմանները․
• Կամայական x կետի համար M-ից և որևէ ոչ դատարկ Y և Z բազմությունները M-ից d(x,Y) ≤ d(x,Z) + d_H(Y,Z), որտեղ d(x,Y)-ը x կետի և Y բազմության մեջ x -ին ամենամոտ կետի հեռավորությունն է
• |diameter(Y)-diameter(X)| ≤ 2 d_H(X,Y), որտեղ diameter-ը բազմության շառավիղն է.։
• Եթե X∩Y հատումը ոչ դատարկ բազմություն է, ապա գոյություն ունի r>0 հաստատուն , այնպիսին, որ կամայանկան X′ բազմություն, որի Հաուսդորֆյան հեռավորությունը X-ից փոքր է r-ից, հատում է նաև Y-ը։