Լոպիտալի կանոն

Գիյոմ Ֆրանսուա Լոպիտալ (1661-1704)

Լոպիտալի թեորեմ (նաև Լոպիտալ-Բեռնուլլի կանոն), մեթոդ, որով հաշվում են այն ֆունկցիաների սահմանները, որոնք պարունակում են $0/0$ և $\mathrm{\infty }/\mathrm{\infty }$ տեսքի անորոշություններ։ Թեորեմը պնդում է, որ որոշ պայմանների դեպքում ֆունկցիայում հարաբերության սահմանը հավասար է անդամների ածանցյալների հարաբերության սահմանին։

Ձևակերպումը

Եթե $f(x),g(x)$ ֆունկցիաները որոշված են որևէ $U$ տիրույթին պատկանող $a$ կետում, որտեղ $a$-ն իրական թիվ է կամ $+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$ սիմվոլներից մեկը, ընդ որում

1. $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }g(x)=0$ կամ $\mathrm{\infty }$;
2. $g^{\prime }(x)\ne 0$ $U$ տիրույթում;
3. գոյություն ունի $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$;

ապա գոյություն ունի $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$։ Սահմանը կարող է լինել նաև միակողմանի։

Պատմություն

Նման անորոշությունների բացահայտման մեթոդը հրապարակվել է 1696 թվականին Գիյոմ Լոպիտալի հեղինակած «Analyse des Infiniment Petits» դասագրքում։ Իսկ մեթոդը առաջին անգամ հայտնաբերել է մաթեմատիկոս Իոհանն Բեռնուլլին։

Օրինակներ

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+5x}{3x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x+5}{3}=\frac{5}{3}$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^3+4x^2+7x+9}{x^3+3x^2}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3x^2+8x+7}{3x^2+6x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{6x+8}{6x+6}=\frac{6}{6}=1$
  Այստեղ կարելի է Լոպիտալի կանոնը կիրառել 3 անգամ։ Բայց կարելի է վարվել նաև այլ կերպ․ անհրաժեշտ է համարիչը և հայտարարը բաժանել $x$ անհայտի ամենաբարձր աստիճանի վրա(այս դեպքում $x^3$). Այս օրինակը կլինի

  $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+4/x+7/x^2+9/x^3}{1+3/x}=\frac{1}{1}=1$

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{x^a}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{a\cdot x^{a-1}}=\dots =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{a!}=+\mathrm{\infty }$ — կանոնը կիրառել $a$ անգամ;
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^a}{\ln x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a{x}^{a-1}}{\frac{1}{x}}=a\cdot \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^a=+\mathrm{\infty }$ при $a>0$;
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\underset{x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^2}dt}{x^{-1}{e}^{-x^2}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{-e^{-x^2}}{-x^{-2}{e}^{-x^2}(1+2x^2)}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{1+2x^2}=\frac{1}{2}$.

Հետևանք

Ենթադրենք $f(x)$ ֆունկցիան որոշված է $a$ կետում, և գոյություն ունի $\underset{x\to a}{\lim }{f}^{\prime }(x)=A$, ապա $f(x)$ ֆունկցիան դիֆերենցելի է նաև $a$ կետում և $f^{\prime }(a)=A$ (այսինքն $f^{\prime }(x)$ անընդհատ է $a$ կետում)։ Ապացույցի համար բավարար է կիրառել Լոպիտալի կանոնը$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ հարաբերության նկատմամբ։

Տես նաև

Լոպիտալի կանոնի անալոգն է հանդիսանում Շտոլցի թեորեման։