Անշարժ կետ

Երեք անշարժ կետերով արտացոլում

Անշարժ կետ, մաթեմատիկայում ֆունկցիայի տիրույթի տարր, որտեղ ֆունկցիայի արժեքը հավասար է այդ կետին, այլ կերպ ասած՝ $f(x)=x$ հավասարման լուծումը։ Օրինակ եթե $f(x)=x^2-3x+3$-ը իրական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիա է, ապա $f$-ի անշարժ կետերն են $x=1$ և $x=3$, քանի որ $f(1)=1$ և $f(3)=3$։

Սա նշանակում է, որ $f(f(...f(x)...))=f^n(x)=x$ կամայական x անշարժ կետի համար, ինչը կարևոր դիտարկում է ֆունկցիան ռեկուրսիվ հաշվելու համար։ Անշարժ կետերի բազմությունը երբեմն կոչում են անշարժ բազմություն։

Ամեն ֆունկցիաները չէ, որ ունեն անշարժ կետեր, օրինակ, $f(x)=x+1$ ֆունկցիան անշարժ կետեր չունի, քանի որ $x=x+1$։ արտահայտությունը կամայական իրական թվի համար սխալ է։ Գրաֆիկորեն $x$-ը $f$ ֆունկցիայի անշարժ կետ է, եթե $(x,f(x))$ կետը գտնվում է $y=x$ ուղղի վրա, այլ կերպ ասած՝ $f$ ֆունկցիայի գրաֆիկը հատվում է $y=x$ ուղղի հետ։

Այն կետերը, որը վերադառնում են ինքին իրեն որոշակի թվով լուծումներից հետո $f(f(\dots f(x)\dots ))=x$, կոչվում են պարբերական, մասնավորապես, անշարժ կետերը 1 պարբերությամբ կետեր են։ Պրոյեկտիվ երկրաչափությունում պրոեկտիվության անշարժ կետը կոչվում է կրկնակի կետ։

Ձգող անշարժ կետեր

$x_{n+1}=\cos (x_n)$ սկզբնակոտը $x_1=-1$Դոտի թիվը համարվում է սահման։

$f$ արտապատկերման $x=f(x)$ անշարժ կետը ձգող է, եթե $f$-ի նախնական կիրառումը $y$ -ի նկատմամբ $x$-ին բավականին մոտ կետի վրա, կձգտի $x$-ի։

$\underset{n}{\underbrace{f(f(\dots f(y)\dots ))}}\to x,n\to \mathrm{\infty }$.

Ընդ որում պահանջվում է, որ ամեն ինտերեցիայի արդյունքում ստացվող կետը X կետի շրջակա որոշակի տարացքից դուրս չընկն, որպեսզի X կետը լինի ասիմտոտապես հաստատուն։

Մասնաորապես, որպեսզի կետը լինի ձգող՝ բավարար պայման է հանդիսանում $|f^{\prime }(x)|<1$։

Նյուտոնի մեթոդ

Ձգող անշարժ կետի գաղափարի առաջին օգտագործումը հանդիսանում է Նյուտոնի մեթոդը, որի դեպքում հավասարման լուծումը հանդիսանում է ձգող անշարժ կետ, այդ իսկ պատճառով կարելի է այն գտնել, որպես շատ արագ մոտարկվող թվերի սահման, որոնք ստացվում են մեթոդի կրկնակի կիրառմամբ։

Այդ մեթոդի կիրառման ամենահայտնի օրինակ է հանդիսանում $a⩾0$ թվի քառակուսի արմատի հաշվումը, որպես արտապատկերման ինտերացիայի սահման․

$f(x)=\frac{x+\frac{a}{x}}{2}$.

Գրականություն

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976. — Гл. 2, п. 4.
• Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. - М.: Наука, 1975. — Гл. 5.
• Agarwal R. P., Meehan M., O'Regan D. Fixed Point Theory and Applications. - Cambridge University Press, 2001. - ISBN 0-521-80250-4.
• Borisovich Yu. G., Gel'man B. D., Myshkis A. D., Obukhovskii V. V. Multivalued mappings // Journal of Soviet Mathematics, 1984. - Vol. 24, Issue 6, pp 719–791.
• Fitzpatrick P. M., Petryshyn W. V. Fixed point theorems for multivalued noncompact acyclic mappings // Pacific Journal of Mathematics, 54:2, 1974.